Approccio assiomatico - Matem. finanziaria

Valutazione nel' approccio assiomatico

Definizione del valore

• Ipotesi: Contratti finanziari con poste monetarie finite e certe

1. Contratto finanziario elementare unitario (o titolo a cedola nulla unitario)

V(t₁, t₂) = N(t, s)

2. Contratto finanziario elementare non unitario

V(t, t₂) = x₁ N(t, s)

• Proprietà di indipendenza dall'importo

3. Flusso di importi

• Proprietà di linearità

V(t, t₀) = Σ x_k N(t, t_k)

+ Esempio

V(0, t_i) = 0,95

V(0, t₂) = 0,92

V(0, t₃) = 0,9

Leggi Finanziarie

1. Legge Lineare

   (o dell'interesse semplice)

   • Nei parametri: il tasso di interesse è base nulla di attivo

     Fattore montante:

   m(t,s) = 1 + i (s-t)

   Fattore di sconto:

   v(t,s) = 1 / [1 + i (s-t)]

   Perché lineare?

   La maggiorazione per interesse relativa al differimento dell'operazione per (s-t) è una quota che contribuisce a formare gli interessi per gli anni successivi che vogliono sempre calcolati in proporzione ald valore iniziale.

2. Legge Esponenziale

   (o dell'interesse composto)

   • Nei parametri:

     • Fattore montante:

   m(t,s) = (1 + i)^(s-t)

   • Fattore di sconto:

   v(t,s) = 1 / m(t,s) = (1 + i)^-(s-t)

   • Nei parametri:

     • Fattore montante:

   m(t,s) = e^s(s-t)

   • Fattore di sconto:

   v(t,s) = e^-t(s-t)

   Perché esponenziale?

   L'interesse è calcolato aggiungendo per ciascun anno una maggiorazione uguale ad una percentuale costante del debito accumulato.

Esercitazione

(1)

• V(0) = 100 € i = 2% s = 6 anni V(6) = ?
• V(6) = 100 (1 + 0,02 * 6) = 112 €

(2)

• V(0) = 100 € i = 2% s = 3 anni e 5 mesi = 3 + 5/12
• V(3) = 100 (1 + 0,02 * 41/12) = 108,83333 €

(3)

• V(0) = ? i = 2% V(3) = 120 €
• V(0) = 120 / (1 + 0,02 * 3) = 113,20754 €

(4)

• V(0) = 100 € i = 2% s = 6 anni V(6) = ?
• V(6) = 100 (1 + 0,02)⁶ = 112,616 €

(5)

• V(0) = ? V(3) = 120 € i = 2% s = 3 anni
• V(0) = 120 / (1 + 0,02)³ = 113,0794 €

(6)

• i_m = 0,2% mensile i_A = ?
• .L.E i_A = (1 + 0,002)¹² - 1 = 0,024265 = 2,426% !
• .L.I i_A = 12 * 0,002 = 0,024 = 2,4% !

(7)

• in trimestrale? i_T = 4 i_T / 1
• .L.E i_T = (1 + 0,04)^1/4 - 1 = 0,009853 = 0,9853% !
• .L.I i_T = 0,04 / 4 = 0,01 = 1% !

(8)

• i_m = 0,00234 = 0,234% ! n = 27 gg
• .L.E i_A = (1 + 0,00234)^360/27 - 1 = 0,03165 = 3,165% !
• .L.I i_A = 360/27 * 0,00234 = 0,0312 = 3,12% !

(9)

• i_A = 36% ! i_m = ? s = 128 gg N = 128
• .L.E i_N = (1 + 0,36)^128/360 - 1 = 0,12685 = 12,685% !
• .L.I i_N = 0,36/360 * 128 = 0,128 = 12,8% !

ESEMPIO

Chi è S(t,s) della L.E. di parametro s?

m(t,s) = e^ss-t

S(t,s) = 2/3 log m(t,s) = 2/3 log_e = S(s-t)

Se parametro è e ulteriore istatunità di interesse della L.E.

ESEMPIO

Chi è S(t,s) della L.I.?

m(t,s) = s + t/(s-t)

S(t,s) = 2/3 log m(t,s) = 2/3 log [1 + t/(s-t)] = 1/t + 1/(s-t)

Data S(t,s), come si ricava v(t,s) o m(t,s)?

PER m(t,s)

S(t,s) = 2/3 log m(t,s) = ∫_t^s S(t,u) du

m(t,s) = e^{∫_ts S(t,u) du}

PER v(t,s)

v(t,s) = e^{∫_ts S(t,u) du}

ESEMPIO

Dato S(t,s), S du e m(t,s)? (LEGGE ESPONENZIALE)

m(t,s) = e^{∫_ts S(t,u) du} = e^{∫_s S du} = e^{s(1) - S(t,s) = S(s-t)}

2

Si consideri il fattore numerario m(t,s) relativo ad un contratto finanziario con data inizio t e scadenza s.

1. l calcolare il tasso istantaneo di interesse.
2. Espandere il fattore numerario in funzione di S.

a) S(t,s) = - (1/s) log m(t,s) = - (1/s) log v(t,s)

b) S(t,s) = (1/s) log m(t,s)

Integrale:

3

Tasso annuo i = 5% in UE.

• Calcolare i_1/2, il tasso semestrale.
• i_1/2 = ((1 + i_ann.)/2 - 1) = (1 + 0,05)^1/2 - 1 = 0,024695 = 2,4695%
• Semestrale = ln(1 + 0,05) = 0,04879
• Sem = ln(1 + i_1/2) = ln(1 + 0,024695) = 0,024395
• oppure Sem = (S_ann - S_ann/2) / 2 = (0,04879 - 0,024395) / 2 = 0,024395

4

S_ann = 0,05 Calcolare: S_sem? i_p? i_ann?

• S_sem = 0,05/2 = 0,0041667
• i_p = δ = 0,05 = e^{- S_sem} - 1 = 0,051276
• i_ann = e^S_ann - 1 = 0,00417354
• oppure i_ann = (1 + 0,051276)^1/2 - 1 = 0,00417354

S(0, t₂) = ¹/_0,99906 - 1 = 0,00094

5) Intensità di interesse

γ(t, s) = - ^{m(t, s)}/_{s - t} = 4 * 0,0094 - ¹/₃ = 0,00188 anni^-1

6) Intensità istantanea di interesse

S(t, s) = - ²/₃ ln e ^{- 1/₃(t_s - t)} = - ²/₃ ln(1 + (t_s - t)/3)

S(0, t₂) = - ²/₃ [a_s + b_s]

= ²/₃ [a_s + b_s²] = a_s + 2b_s = 0,0045 + 2 * 0,0009

= 0,00725 anni^-1

Esercizio 3.1

x/t = {100, 200, 300}/{t₁, t₂, t₃}

ν(0, t₁) = 0,98350

ν(0, t₂) = 0,96250 valore finito?

ν(0, t₂) = 0,96467

V(t, x) = ^wΣ_k=4 x_k ν(t, t_k)

V(0, x) = 100 χ 0,98350 + 200 χ 0,96250 + 300 χ 0,96467 = 589,351

Dimostrazione

m(t₁, s) = m(t, T) χ m(T, s)

s(t₁ - s) = s(s - (t₁))

m(t₁, s) = m(t, T) * m(T, s)

⇒ ^{∫S(t, u)du}

⇒ e^{∫S(t, u)du}

e^{∫S(t, u)du} ∫S(t, u)du

quindi

e^{∫S(t, u)du} = e^{∫S(t, u) du}

siano uguali per (hp)

⇒ allora

S(t, u) = S(t, u) = S(u)