Anello carico

Anello carico

CAMPO ELETTRICO

Anello carico

CAMPO ELETTRICO

Supporre che nell’anello carico la carica q non sia distribuita uniformemente

sull’anello ma che su una metà della circonferenza sia distribuita uniforme-

mente la carica q₁ e sull’altra metà la carica q₂. Nell’ipotesi che q₁+q₂=q

a) trovare la componente del campo elettrico nella direzione dell’asse

b) " " " " " " " ortogonale all’asse

Il campo elettrico in P sarà dovuto al contributo delle cariche q₁, q₂ sui due

seminelli. Considerare prima un semianello, poi l'altro. La carica per uni-

tà di lunghezza sarà: 1^o semianello - q₁/πa; 2^o semianello = q₂/πa

Un elemento ds infinitesimo produce in P un campo E = ^Q/_4πεox² dove Q è la

carica dell'elemento. Nel nostro caso Q = ^q₁/_πa ds per il 1^o semianello. Considero

prima la componente secondo la direzione dell'asse: E_y = E cos Θ. Segue che:

dE_y1 = ^q₁/_4πεox² ds cos Θ, a questo occorre aggiungere il contributo del 2^o semi-

anello, che sarà analogo. dE_y2 = ^q₂/_4πεox² ds cos Θ. Sommo i due vettori:

dE_y1 + dE_y2 = ^{(q₁ + q₂)}/_4πεox² ds cos Θ. Integro: E_y = ∫_{I c} ^{qcos Θ}/_{4πaεo x²} ds; esprimo ora x

in funzione di x, distanza di P dal centro dell'anello:

x = r cos ϑ da cui r = ^x/_cosϑ; E_y = ∫_{I c} ^qcosϑcosϑ/_4πaεox² ds. L'integrale è esteso alla

semiconferenza di raggio a. Tutti i termini sono costanti, quindi li porto

fuori dal segno di integrazione E_y = ^qcos3ϑ/_4π²aεox² ∫_{I c} ds = ^qcos3ϑ/_4π²aεox² (πa) = ^qcos3ϑ/_4πεox² =

= ^q/_4πεox² * ^x3/_{(x² + a²)^3/2} = ^qx/_{4πεo(x² + a²)^3/2} esendo:

x = √(x² + a²) cos ϑ da cui: cos ϑ = ^x/_{√(x²+ a²)}

b) Per trovare Ex c'è qualche complicazione. Infatti i vettori dEx prodotti

dagli elementi ds, non hanno, come prima, tutti la stessa direzione. Essi giac-

ciono cioè su di un piano passante per P ed ortogonale all'asse.

I vettori Ex giacciono tutti sullo

stesso piano; però sono dispo-

sti a raggiera

Il modulo è sem-

pre uguale

Visione frontale