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Dimostrazione della proprietà di assenza di memoria
Ipotesi: X ha una distribuzione esponenziale
Tesi:
Prova:
Calcolo del valore atteso della legge esponenziale
Si possono seguire due metodi alternativi:
A) Metodo 1:
B) Metodo 2:
Poiché:
∫⇒ = − + =x x xxe dx d ( xe ) e dx[ ] [ ]∞ ∞− −− + − = +x xxe e 0 10 0si ottiene: ∞ [ ]1 1−∫ = =xxe dx E Xλ λ0∞ ∞ ∂[ ] λ λ− −∫ ∫λ λ= = −t tE X t e dt ( e )dtB) λ∂= =t 0 t 0 ∞∞∂ ∂ ⎡ ⎤1λ λ− −∫λ λ= − = − −t te dt e⎢⎣ ⎥λ λ λ∂ ∂ ⎦= 0t 0∂ ⎛ ⎞⎡ ⎤1 1 1λ λ= − = − − =⎜ ⎟⎢ ⎥λ λ λ∂ λ⎣ ⎦ ⎝ ⎠2OSSERVAZIONE: λ,Il reciproco del valore atteso della variabile aleatoria X è quell'unico parametro,che compare nella definizione della distribuzione esponenziale:{ }λ= − −F ( x ) 1 exp xX { }λ λ= −f ( x ) exp x .e nell'espressione della densità: X 40PasqualeLegato - Analisi Probabilistica, settembre 2006
Calcolo del momento del secondo ordine e della varianza
E' stato appena dimostrato che la media di una variabile aleatoria distribuita con legge esponenziale di parametro λ è pari a 1/λ. Dunque, è bene puntualizzare che se X rappresenta il tempo di vita di un componente non soggetto ad usura, allora il tempo medio al guasto è:
∞
∫
1
λ = -
∫
R(t) exp(-λt) dt
0
E, nella notazione anglosassone dell'affidabilità, è noto con l'acronimo MTTF (meantime to failure).
Dalla definizione:
∞
∫
2
E[Xt f(t) dt
X0
Ricordando che:
∫
f(t) dt = dR(t)
R(t) dt
Si ottiene:
∞
∫
2
-E[Xt R(t) dt
0
∞
∞
∞
-∫
∫
2
1
-+
t R(t) 2t R(t) dt 2t R(t) dt
0
∞
[2λ
-2 = R(t) exp(-λt) E[Xe
Di nuovo, con λ^2, risulta:
λ^2
Per calcolare la
varianza (del tempo di vita) si può usare la formula seguente, che sarà dimostrata più avanti:
[ ][ ] [ ]2= -2VAR X E X E X 2∞ ∞⎛ ⎞∫ ∫= - ⎜ ⎟2 t R (t ) dt R (t ) dt⎝ ⎠0 0[ ] 2 1 1= - =e per la legge esponenziale risulta: VAR X λ λ λ2 2 2
In alternativa a quanto fatto, media e varianza della legge esponenziale possono essere ricavate (per esercizio) usando la funzione generatrice dei momenti.
41Pasquale Legato - Analisi Probabilistica, settembre 2006
Media e varianza della legge di Weibull
Per la legge di Weibull, con densità: { }( ) α α-λ α λ λ α= -> ≥1f t t exp t , 0 , 0 , t 0°Xmomento del primo ordine è:
il { }∞[ ] α α-∫ λα λ1= -E X t t exp t dt0 α1 / α⎛ ⎞∞ λ{ }u =∫= -⎜ ⎟ u t°(avendo posto )exp u duλ⎝
- Bernoulliana (B) di parametro p: E[B] = p, VAR[B] = p(1-p)
- Binomiale (K) di parametri n e p: E[K] = np, VAR[K] = np(1-p)
- Geometrica (S) di parametro p, sullo spazio dei risultati 1,2,3, ...: E[S] = 1/p, VAR[S] = (1-p)/p^2
- Geometrica estesa (N) di parametro p, cioè sullo spazio dei risultati 0,1,2,3, ...: E[N] = (1-p)/p, VAR[N] = (1-p)/p^2
- Uniforme (U) sul segmento [a, b], cioè con: f(u) = 1/(b-a) per u ∈ ℝ: E[U] = (a+b)/2, VAR[U] = (b-a)^2/12
- Triangolare (X) sul segmento [a, b], cioè con:
f(x) =- 0 per x ≤ a
- 2(x-a)/(b-a)^2 per a ≤ x ≤ c
- 2(b-x)/(b-a)^2 per c ≤ x ≤ b
- 0 per x ≥ b
La varianza della legge triangolare è stata omessa perché non è importante nella pratica. Invece, è importante il valore del parametro c, corrispondente al massimo della densità (detto moda). Insieme ad a e b, esso determina completamente la forma del "triangolo"-densità di area unitaria.
43Pasquale Legato - Analisi Probabilistica, settembre 2006
Statistiche dell'Ordinamento
Data allora una collezione X ,..., X di variabili aleatorie indipendenti, sono utili1 n Y ,...,Y definite alla seguente nell'analisi probabilistica le variabili aleatorie 1 nmaniera: { }=Y min X , X ,..., Xˆ1 1 2 n[ ] [ ]{ } { }{ } { }= − = −Y min X , X ,..., X Y Y min X , X ,..., X Y ,Y ,...,Yˆ ˆ... − −2 1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 2 n 2{ }=Y max X , X ,..., Xn 1 2 ne note come statistiche dell'ordinamento.
Infatti, detta Y la statistica di ordine kX rappresenta il tempo al guasto del(k=1,...,n), è immediato riconoscere che, se icomponente i (i=1,...n), allora la statistica di ordine k = n-m+1 rappresenta il tempo al guasto di un sistema "m out of n".
In linea di principio, per calcolare l'affidabilità del sistema occorrerebbe determinare la funzione di distribuzione della statistica corrispondente, dato che: ∧= -R(t) * 1 - F(t)m/n Yk di tutti i componenti, è.
In pratica, note le funzioni di affidabilità R(t),...., R(t)1 n possibile ricavare direttamente l'affidabilità del sistema con le prove di Bernoulli.
Il sistema "m out of n" risulterà funzionante all'istante t se risulterà funzionante almeno uno dei campioni di almeno m componenti che è possibile estrarre dalla popolazione di numerosità pari a n. Dunque, riconoscendo che: -n j j[ ]∏ ∏−• 1 R(t) R
( t )i i= =i i1 è la probabilità che risulti funzionante all'istante t un campione di j componenti indipendenti ;⎛ ⎞n⎜ ⎟• è il numero di campioni di numerosità j che devono essere⎜ ⎟⎝ ⎠jconsiderati ;• j deve variare da m a n, in modo da considerare i campioni ditutte le dimensioni utili ; 44Pasquale Legato - Analisi Probabilistica, settembre 2006si ottiene: ⎞⎛ n [ ]( ) ∑ ∏ ∏⎟⎜ −=R t 1 R ( t ) R ( t )⎟⎜m / n i i⎠⎝ j= ≥ ∉ ∈I : I j m i I i I
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