Analisi numerica - Appunti

Notazione esponenziale normalizzata

Dato un numero x ∈ ℝ, la sua notazione esponenziale normalizzata è data di:

x = (-1)^s ∑_i=1^t a_i·B^-i·B^e

con:

• s = 0,1 (segno)
• 0 ≤ a_i ≤ B-1
• e ∈ ℤ
• B ∈ ℕ\{0}

In particolare, se x ∈ [B^L, B^U\{0}], allora il minimo e massimo rappresentabili sono:

• min: ∑_i=1^t a_i·B^-i = B^-1
• max: ∑_i=1^t a_i·B^-i = (B-1)B^-1 = (1-1/B) = 1(1/B)

In conclusione:

1/B ≤ ∑_i=1^t a_i·B^-i ≤ 1

Rappresentazione dei numeri reali sul calcolatore

Parola: segno, mantissa, caratteristica

In doppia precisione, a ciascuna parola sono riservati:

• 64 bit: 1 bit per il segno, 52 bit per la mantissa, 11 bit per la caratteristica

In singola precisione, a ciascuna parola sono riservati:

• 32 bit: 1 bit per il segno, 23 bit per la mantissa, 8 bit per la caratteristica

Insieme dei numeri macchine

L'insieme dei numeri macchina ℱ è descritto da quattro elementi:

• B: base
• t: numero di cifre memorizzabili
• L: numero min di cifre exp
• U: numero max di cifre exp

Dunque: ℱ(B,t,L,U) = {0} ∪ x ∈ ℝ/x = (-1)^s ∑_i=1^t a_i·B^-i·B^e

La cardinalità di ℱ (il numero massimo dei valori rappresentabili) è data da:

Card(ℱ) = 2·(B-1)B^t-1·(U-L+1) + 1

Ad esempio, se B=2, t=2, L=3 e U=3, allora i numeri rappresentabili sono:

Card(ℱ) = 2·1·2·1 + 1 = 2·1·2·1 + 1 = 28 + 1 = 29

Notazione esponenziale normalizzata

Dato un numero x ∈ ℝ, la sua notazione esponenziale normalizzata è data di:

x = (-1)^s ∑_i=1^t a_i·B^-i

con:

• s = 0,1 (segno)
• 0 ≤ a_i ≤ B-1
• e ∈ ℤ
• a₁ ≠ 0
• B ∈ ℕ\{0}

In particolare, se x ∈ [1/B, 1-{0}], allora il numero minimo e massimo rappresentabili nella parte decimale sono:

• min: ∑_i=1^t a_i·B^-i = 1/B
• max: ∑_i=1^t a_i·B^-i = (B-1)·B^-1 = 1

In conclusione:

1/B ≤ ∑_i=1^t a_i·B^-i ≤ 1

Rappresentazione dei numeri reali sul calcolatore

Parola: segno, mantissa, caratteristica

In doppia precisione, a ciascuna parola sono riservati 64 bit:

• 1 bit per il segno
• 52 bit per la mantissa
• 11 bit per la caratteristica

In singola precisione, a ciascuna parola sono riservati 32 bit:

• 1 bit per il segno
• 23 bit per la mantissa
• 8 bit per la caratteristica

Insieme dei numeri macchina

L'insieme dei numeri macchina F è descritto da quattro elementi:

• B: base
• t: numero di cifre memorizzabili
• L: numero min di cifre exp
• U: numero max di cifre exp

Dunque: F(B,t,L,U) = {0 ∪ x ∈ ℝ/x = (-1)^s ∑_i=1^t a_i·B^-i}

La cardinalità di F (numero massimo dei valori rappresentabili) è data da:

Card(F) = 2·(B-1)·B^t-1·(U-L+1) + 1

Ad esempio, se B=2, t=2, L=-3 e U=3, allora i numeri rappresentabili sono:

Card(F) = 2·(2-1)·2¹·(3-3+1) + 1 = 28 + 1 = 29

In particolare, se x∈F, allora il numero massimo e minimo rappresentabili nella parte decimale sono:

• min: a₁B⁻¹/B
• max: ∑_i=1^t (B−1)(B⁻ⁱ)(B−1) = ∑_i=1^t 1/Bⁱ

In conclusione:

1/B ≤ d ≤ 1−B^−t

Considerando anche la parte esponenziale, si ha:

B^e·( ∑_i=1^t a_i B⁻ⁱ) ≤ B^e·(1−B^−t)

A legare la mantissa e la parte decimale è la relazione:

m = dB^⊗

Quindi, in generale, per un numero x∈F, con x = dB^e si ha:

B⁻¹B^−t ≤ x ≤ x = dB^e = (1−B^−t) B^u

Rappresentazione del numero-macchina fl(x)

Il numero-macchina relativo a un numero x∈R e fl(x)∈F. Tale numero risulta approssimato rispetto a quello di appartenenza secondo un errore relativo definito come il rapporto:

e_x