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Passo 2
t⇒ kAk ⇔ kAk ρ( AA)= ρ(C) =2 2|{z}(∗∗)Infine, se A e’ simmetrica, si ha: t t⇔ ⇒A simmetrica A = T ρ(C) = ρ( AA) = ρ(AA) 21 2
i1. {λ }Siano L = , . . . , λ . M = µ , . . . , µ rispettivamente l’insieme di tutti gli1 m mautovalori di C = AA e di tutti i quadrati degli autovalori di A.Si ha che µ , . . . , µ sono tutti gli autovalori di A, e inoltre L = M .1 m 9Poiche’ A e’ simmetrica, m∃ {v }, . . . , v base ortornormale di ,R1 m∈ ⇒A Sym (R) , . . . , v autovettori di A:Av = µ vv1 m i i im |{z} {µ }, . . . , µ insieme di tutti gli autovettori di A[GII,4.13,pg.72] 1 mh4i1. Dim L⊇M ∈ ⇒µ M Av = µ vi i i i 2Cv = AAv = Aµ v = µ vi i i i ii2 2⇒ ∈Cv = µ v µ Li ii ih4i2.
Dim LM∈ ⟹λ L Cu = λ u [*]i i i imXu = β vi j jj=1∈ ⟹ 6 ⟹ ∃β 6u B base u = 0 = 0i i k mm mX X X2 β vv = λ u = λCu = AAu = AAβ v = β μ j jj i i ii i j j j j |{z} j=1j=1 j=1 [*]m m mX XX 2 2 2⇔ - ⇔ - ∀j ⟹β μ v = λ β v (β μ λ β )v = 0 β μ λ β = 0 = 1, . . . , mj j i j j j i j j j i jj j j|{z}j=1 j=1 j=1 v ,...,v sono l.i.1 m2 2⟹ ⟹β μ = λ β λ = μk i k ik k|{z}k6 =02 ⟹ ∈λ = μ λ Mi ik 2h3i2. ρ(AA) = ρ(A) 2 2∈ ⟹ ∈ ⟹ |μ | ∀iA Sym (R) μ , . . . , μ = μ [*][*]R1 m im i|{z}[GII,4.11,pg.70] 21 2 2 2 |μ | |μ |ρ(AA) = max L = max M = max μ , . . . , μ = max , . . . , =1 mm|{z} |{z}h3i1passo [*][*]22{|µ |, |µ |})= (max . . . , = ρ(A)1 m|{z}h2i1passo 2ρ(AA) = ρ(A)In conclusione, p p 2 |ρ(A)|kAk ρ(AA) = ρ(A) = = ρ(A)=2 |{z}h3i2passon×mk − k −→Proposition 3.8. La funzione : e’ una norma. Inoltre, valgono leK R +p,qseguenti proprieta’: m,1kAxk ≤ kAk kxk ∀x ∈1. Kp p,q qm×r m×r∈ k − k −→Inoltre, data B e data la norma : , si haR K R +q,qkABk ≤ kAk kBk2. p,q p,q q,q10Proof :h1i1. k − k e’ una normap,qkAk ≥1. 0, infatti,p,q n okAk ≥kAxk | kxk kAxk= 0max = 1 =p,q pp q|{z} |{z}[3.7,pg.6] k−k e’ una normapn×mkAk ⇔2. = 0 A = 0 , infatti,p,q )( kAxk p | 6 ⇔ kAxk ∀x 6 ⇔ ∀x 6kAk x = 0 = 0 = 0 Ax = 0 = 0= max pp,q kxk |{z}q k−k e’ una normapAllora, scegliendo x in modo opportuno, si ha: 1 1⇔Per x = δ , i = 1, . . . , m si ha Ax = A , Ax = 0 A = 0i 1i p2 2⇔Per x = δ , i = 1,
. . . , m si ha Ax = A , Ax = 0 A = 0i 2i p... n n⇔Per x = δ , i = 1, . . . , m si ha Ax = A , Ax = 0 A = 0i ni pQuindi tutte le colonne di A sono nulle, ovvero A e’ la matrice nulla.kA ≤ kAk kBk3. + Bk + , infatti,p,q p,q p,qn okA k(A kAx | kxk kAx ≤+ Bk = max + B)xk = + Bxk = 1 = + Bxkp,q p p q pkBxk ≤ kAk kBk≤ kAxk + +p p p,q p,qh1i2. Dim 1.kxk ⇔ 6Se = 0 x = 0, la tesi e’ vera. Consideriamo quindi x = 0.q ( ) kAxkkAxk pp m×1 m×1kAk | ∈ 6 ≥ ∀x ∈ 6 ⇔= max x , x = 0 , x = 0K Kp,q kxk kxk|{z} q q[3.7,pg.6] m×1⇔ kAk kxk ≥ kAxk ∀x ∈ 6, x = 0Kp,q q ph1i3. Dim 2.r×1 m×r m×1∈ ∈ ⇒ ∈x , B Bx (1)R R RkABxk kA(Bx)k ≤ kAk kBxk ≤ kAk kBk kxk=p p p,q q p,q q,q q|{z} |{z}1.(1), 1. ( )kABxkkABxk pp m×1 kABk ≤ kAk kBk≤ kAk kBk ∀x ∈ ⇒ ≤ kAk kBk ⇔supRp,q q,q p,q q,q p,q p,q q,qkxk kxk |{z}q q [3.6,pg.5]n×nA
i singoli membri per abbiamo1 1 1≤ ≤ ··· ≤| | ||l |l |l1 2 n−1t −1che sono gli autovalori di A A , e quindi q −1pp−1 −1 −1 −1 −1t t tρ(A ) = ρ( A A ) = λ ( A A ) = λ ((A A) ) = DA CONTINUAREM M|{z}[3.7,pg.6] n×n∈ {λ }Proposition 3.11. Sia A invertibile e simmetrica. Siano i suoi autovalori, ordinatiR icome segue: |λ | ≥ |λ | ≥ · · · ≥ |λ |1 2 nSi ha |kAk |λ= 12 1−1kA k =2 |λ |n considerando che nel caso di AProof : Basta ripetere la dimostrazione della prop [3.10,pg.11],simmetrica si ha kAk = ρ(A) = λ (A)M2−1e che anche A e’ simmetrica, infatti, −1−1 −1t t(A ) = ( A) = A4 Sistemi lineariProposition 4.1. Sia dato un sistema triangolare superioren×n n∈ |A| 6 ∈Ax = b, con A , = 0, x, b,R RSi ha: nP−b a xij ji j=i+1 ∀i −= n, n 1,∈Proposition 3.9. Sia , si haR ∗≤ kAk ∀p, ∈1. ρ(A) q Np,q ∗n×n∀A ∈ ∀ε ∃p, ∈ kAk −2. > 0 q , dipendenti da A e da ε, tali che ρ(A) < εR R p,qkAk3. ρ(A) = inf p,q∗p,q∈N n×n t∈Proposition 3.10. Sia A invertibile. Sia λ ( AA) l’autovalore minimo in modulo diR m11t tAA e λ ( AA) l’autovalore massimo. Si haM p tkAk1. = λ ( AA)M2 1−1kA k2. =2 p tλ ( AA)mProof : La 1. si ha direttamente per la [3.7,pg.6].Dimostriamo la 2. −11Notiamo intanto che se λ e’ un autovalore di B allora e’ un autovalore di B , infatti,λAu = λu−1u = B λu1 −1u = B uλ tSe con l , . . . , l indichiamo gli autovalori di AA, e li ordiniamo in modo da avere1 n t t|l | ≥ |l | ≥ · · · ≥ |l |λ ( AA) = = λ ( AA)M 1 2 n m−1,elevando
. . . , 1x =i aii 12
Se Ax = b e’ un sistema triangolare inferiore, si ha:
i−1P−b a xi ij jj=1 ∀ix = = 1, . . . , ni aii
Il costo di questa soluzione e’: n(n + 1)2
Proof : nY|A| = = a (∗)ii|{z} i=1
A matrice triangolare6 ∀i|A| 6 ⇒ a = 0 = 1, . . . , n= 0 ii|{z}(∗)
h1i1. Triangolare superiore nX⇔ ⇔ ∀i − ⇔Ax = b a x = b = n, n 1, . . . , 1ij j i|{z} j=iA mat. triang. sup.
nX⇔ ∀i − ⇔a x + a x = b = n, n 1, . . . , 1ii i ij j ij=i+1
nP−b a xi ij jj=i+1⇔ ∀i −x = = n, n 1, . . . , 1i aii
h1i2. Triangolare inferiore iX⇔ ⇔ ∀i ⇔Ax = b a x = b = 1, . . . , nij j i|{z} j=1A mat. triang. inf.
i−1X⇔ ∀i ⇔a x + a x = b = 1, . . . , nii i ij j ij=1 i−1P−b a xi ij jj=1 ∀i⇔ = 1, . . . , nx =i aii
h1i3. Calcoliamo il costo
nnX X∗ ∗[x ] = a x /a = a x + [/a ] =i ij j ii ij j ii
j=i+1j=i+1nX * – –[a x ] + 1 = (n (i + 1) + 1) + 1 = n i + 1= ij jj=i+1 n n n n(n + 1) n(n + 1)XX X 2 2– –∀i – –[x ] = n i + 1 = n + n i == n, n 1, . . . , 1] = n + n =[xi i 2 2|{z}i=1 i=1i=1 [1.1,pg.1]Proposition 4.2. Riduzione di un sistema lineare a un sistema triangolare (riduzione naive di Gauss). 13
Sia dato un sistema n×n n∈ |A| 6 ∈Ax = b, con A , = 0, x, b,R R1
Il seguente e’ un algoritmo che riduce la matrice completa A = (A|b) del sistema Ax = b allanmatrice completa A di un sistema triangolare equivalente ad Ax = b:
k ak+1 k kik– ∀i ∀k –A := A A = k + 1, . . . , n = 1, . . . , n 1i ki kakk kk rappresenta l’i-esima riga, della matrice A .
dove A i k 6 ∀k –Attenzione: stiamo supponendo che a = 0 = 1, . . . , n 1.kk
In forma esplicita, l’algoritmo e’:
k ak+1 k kik– ∀j ∀i ∀k –a := a a = k, . . . , n + 1 = k + 1,
. . . , n = 1, . . . , n 1ij kjij kakk
Il codice ottimizzato: ∀k −= 1, . . . , n 1∀i = k + 1, . . . , nkaikm := kakk∀j = k, . . . , n + 1k+1 k k−a := a maij kjij
Il costo di quest’ultimo codice e’ 3 2 3− − − −(n 1)n 2(n 1) + 3(n 1) + n 1 n 2≈3 + + O(n )2 6 3ka
Il numero m = , viene chiamato moltiplicatore di posto i, k.ikik kakk 1
Proof : A = (A|b) la matrice completa del sistema Ax = b.
Proof sketch:Sia 1 2 2 3Ridurremo il sistema iniziale A , nel sistema equivalent
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