Analisi matematoca - disequazioni

Disequazioni irrazionali

Definizione generale

_p(n) / _q(n) ≥ 0, con _p(n) e _q(n) che sono polinomi in n.

Procedura di risoluzione

1. Si eliminano gli n: _q(n) = 0.
2. Si studia il segno di _p(n).
3. Si studia il segno di _q(n).
4. Si studia il segno del rapporto.

Esempio

²⁄_n-1 ≤ n + 1

²⁄_n+1 ≤ 0

^{2 - (n+1)(n-1)}⁄_n-1 ≤ 0

^{2 - n2 + n - 1}⁄_n-1 ≤ 0

^{-n2 + n + 1}⁄_n-1 ≤ 0 => ^{-n + 3}⁄_n-1 ≤ 0

^{n-1 + 3}⁄_n-1 ≤ 0 => n-3 ≥ 0

n ≥ √3

Funzione continua senza forma

_p(n)/_q(n) ≥ 0, 3n² + 2n + 16 ≤ 0

n = -1

Calcolo del discriminante

3n² + 2n - 16 > 0, Δ = 4 + 192 = 196

n² = 5, n = 13

Ulteriori esempi e condizioni

(3x - 2)/6n > -1, √n = 2n - 3

-5 < 2 &pm; (2/3)

±n > 1, n > -5

x² - (3/3)b/2a = &pm;&Sqrt;(b² - 4ac)/a² < - 5√(-8/3)

n > √(8/3), − B+58/3N > √(8/3)

Disequazioni irrazionali con radici

ⁿ√a(n) ≥ b(n)

Esempio

1. 3√8 = 8^1/3 = 2
2. ⁿ√a = b
3. 2√16 = ± 4
4. 3√27 = 3

Condizioni particolari

√5 non esiste

a(n) > 0, b(n) > 0

a(n) ≤ 0 → (a(n) ≥ b(n)ⁿ√a(n) ≥ b(n)

n pari: a(m) ≥ 0, b(n) ≥ 0, (a(m) ≥ b(n)

Altri esempi e sviluppi

√n+1 = n+1, n ≥ 1 → m ≥ 1

n+1 = n² - 2n + 1, n₂ = 9

Esempio: √n+1 > 2n+1 > 8 → n ≥ 9

ⁿ√a(n)^m ≥ (b(n))^ma^mn ≥ bⁿ(n)

Condizioni aggiuntive

n≥1:n≥1n+1 > 0

n-1 > 0

n+1 = (n-1)²m≥1:n≥1n² - 3n = 0 → n(n-3) = 0n₂ = 3