Analisi matematica - retta

Retta nel piano

Ogni equazione del tipo anx + by + c = 0 con a e b non entrambi nulli descrive una retta nel piano cartesiano. Viceversa, ogni retta nel piano cartesiano è descritta dall'equazione anx + by + c = 0 con a e b non entrambi nulli.

anx + by + c = 0

Coordinate e equazione della retta

Le coordinate dei punti soddisfano questa equazione. L'equazione generale della retta è anx + by + c = 0 con a, b, c appartenenti a ℝ.

Casi particolari

• Retta verticale: b = 0 → anx + c = 0 → n = ^c/_a. P(n, y) ↔ P(^c/_a, y)
• Retta orizzontale: a = 0 → by + c = 0 → y = -^c/_b
• Secondo caso retta cartesiana: c = 0 ↔ anx + by = 0 passa per l'origine P(0,0) ∈ c = 0

Forma normale della retta

La forma normale della retta è y = mx + q. In particolare:

by = -an - c → y = -^a/_bx + ^q/_b

Retta nel piano

Ogni equazione del tipo an + by + e = 0 con a e b non entrambi nulli descrive una retta nel piano cartesiano. Viceversa, ogni retta nel piano cartesiano è descritta dall'equazione an + by + e = 0 con a e b non entrambi nulli.

an + by + e = 0

Coordinate e equazione della retta

Le coordinate dei punti soddisfano questa equazione. L'equazione generale della retta è an + by + e = 0 con a, b, e appartenenti a ℝ.

Casi particolari

• Retta verticale: b = 0 → an + e = 0 → ⁿ = _e/_d. P(n, y) ⇒ P(c + ^e/_d, y)
• Retta orizzontale: a = 0 → by + e = 0 → y = -^e/_b
• Caso: Retta cartesiana: e = 0 ß → an + by = 0 passa per l'origine P(o, o) e _c ß

Forma normale della retta

La forma normale della retta è y = m_n + 9. In particolare, la coordinata angolare è m = - ^g/_n e la coordinata all'origine è an + by + e = dy = -^a/_b n -^e/_b.

Se m > 0, m < 0, y = mx + q, allora P(0, q) è retta e q > 0, q < 0.

Sistemi di equazioni

1) a₁x + b₁y = c₁
2) a₂x + b₂y = c₂

• Può avere una sola soluzione: se le rette sono incidenti → Δ = a₁b₂ - a₂b₁ ≠ 0
• Può non ammettere soluzioni: se le rette sono parallele Δ = 0 a₁c₂ - a₂c₁ ≠ 0
• Può avere infinite soluzioni: se le rette sono coincidenti Δ = 0 a₁c₂ - a₂c₁ = 0

Esercizi

Esercizio 1: y = -¹/₂

Esercizio 2: y = 4 → y = 3

Esercizio 3: y = -5

Esercizio 1

y = 2x - 1
P₀ = (0; -1)
P₁ = (1; 1)
P₂ = (-1; -3)

Retta di equazione x = 0 asse delle ordinate (y)
Retta di equazione y = 0 asse delle ascisse (x)

Esercizio 1

• ₁: 3y - 6y + 2 = 0
• ₂: 2x - 1 - m + 2y = 4

Sug. m = 0 → {x + y = 4; 3x = 12}

• S₁: O_c (2; 1)
• S₁: O_c (2; 1) -2 - 2 = 4

Equazioni equivalenti → stessi coeff, ossia tutte le coppie (m; y) che verificano equazioni verificando anche l'equazione 2.

Amm. una O soluzione per (m; y) y = 2 - 2 ovvero (m - 2; y)

Studia punti che accettano alla, xella a accertenso la retta 2 (m; y = RSub. {y}

• y - m = 2x → m = 4
• 2y2. 16 = - 3_{y - 2} - m = 2x → m = (12 + 6y) - 6y = 12 → 0 = R

Sol. (m; y) r = (m; y) - (1 + y; y) 1/9 parallele