Riassunto esame Analisi matematica II, prof. Rubbioni, libro consigliato Analisi matematica II Bramanti, Pagani, Salsa

Calcolo infinitesimale per le curve

Richiami di calcolo vettoriale

Spazio IR^m → I suoi elementi sono vettori x = ( x₁, ..., x_m )

x_i = componenti del vettore

Modulo di un vettore (norma)

| x | = √ ∑ x_i²

Versore

vers ( x ) =

_ x_

| x |

e₁ = (1, 0, ...0)

e₂ = (0,1,....0)

e_m = ( 0, ....0,1 )

Due vettori x, y si dicono paralleli

Se risulta x = µy per qualche λ,µ∈IR

• se inoltre y= λx con λ>0 li diremo paralleli e concordi

I versori della base canonica sono indicati con i, j, k

Prodotto scalare

• u ∙ v = ( u₁ , u₂ , .... u_m ) (v₁ , v₂ , ... v_m )
• = u₁ v₁ + .... + u_m v_m

NB: (caso = 2, m = 3)

u ∙ v = | u | | v | cos Θ

• u ∙ v = 0 ⇔ I due vettori sono ortogonali
• In IR^m due vettori sono ortogonali

u ∙ v = 0

Prodotto vettoriale

u x v = det | i   j   k | | u₁ u₂ u₃ | | v₁ v₂ v₃ | = i( u₂ v₃ - u₃ v₂ + j( u₃ v₁ - u₁ v₃ + k( u₁ v₂ - u₂ v₁

Il prodotto vettoriale di due vettori di IR³ è un vettore di IR³. Se annulla i due vettori sono paralleli.

Prodotto misto

u ∙ ( v x w) = | v₁ v₂ v₃ | | u₂ u₃ u₁ | w₁ w₂ w₃

Il prodotto misto si annulla quando i vettori sono linearmente dipendenti tra loro. Se il prodotto misto si annulla.

FUNZIONI A VALORI VETTORIALI LIMITI E CONTINUITÀ

Possiamo immaginare situazioni in cui i dati d'ingresso siamo più d'uno: a un gruppo di 2, 3, ..., m dati viene associato univocamente un numero IR. Pensiamo a funzioni di 2, 3, ..., m variabili.

EX

V = K ^I/_P (K cost. positiva)

• (T, P) → V

  (ingresso) (uscita)

Analogamente ci sono situazioni in cui ad un ingresso (num. reale o gruppo di numeri reali) corrisponde univocamente una coppia (o terna, ecc...) di numeri reali. La funzione avrà valori vettoriali:

t → (x, y, t)

(ingresso) (uscita)

FUNZIONE DI UNA VARIABILE

A ⊆ IR

FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI

A ⊆ IR ^m (m > 1)

FUNZIONE A VALORI REALI

→ ha codominio IR

FUNZIONE A VALORI VETTORIALI

→ ha codominio IR ^m (m > 1)

EX

ϕ:IR → IR³ è una funzione vettoriale di una variabile

⌿ ϕ:IR ² → IR è una funzione reale di due variabili

LIMITE

f: A ⊆ IR → IR^m

1. M: I → IR^m con I intervallo in IR
2. sia t₀ ∈ I
3. sia l ∈ IR^m

DEF

Si dice che

lim_t→t0 M(t) = l

se

lim_t→t0(M(t) - l) = 0

Geometricamente significa che la distanza tra il punto M(t) e il punto l, nello spazio IR^m tende a zero per t→t₀.

EX. 3

r(t) = (t³, t³), t ∈ [0,1]

x = t³y = t³, t ∈ [0,1]

r : [0,1] → ℝ²t → (t³, t³)

EX. 4

x = 1 - t³y = 1 - t³, t ∈ [0,1]

ARCO DI CURVA CONTINUA

Sia I un intervallo in ℝ. Si dice ARCO DI CURVA CONTINUA o cammino in ℝ^m una funzione r : I → ℝ^m continua (componenti continue).

Se la variabile t si pensa come tempo, un ARCO DI CURVA è la legge oraria di un punto mobile: assegna le traiettorie e il punto in cui si trova in ogni istante il punto mobile.

Lo sostegno della curva è l'immagine della funzione, cioè l'insieme dei punti di ℝ^m percorsi dal punto mobile (LINEA GEOMETRICA).

La curva si dice chiusa se r(a) = r(b) con I=[a,b] (il punto di partenza e di arrivo nel moto del punto coincidono). Si dice semplice se non ripassa mai dallo stesso punto cioè se t₁ ≠ t₂ → r(t₁) ≠ r(t₂) con l'unica possibile eccezione t₁, t₂ = {a,b}.

N.B. Una curva semplice può essere semplice ma non deve intrecciarsi. Una curva si dice PIANA se...

ESEMPIO: SPIRALE DI ARCHIMEDE

ρ = Aθ, θ∈[0,+∞]

^{(A cost. positiva fissata)}

• x = Aθ cosθ
• y = Aθ sinθ, θ∈[0,+∞]

la curva è REGOLARE in quanto |κ'(θ)| = A√1+θ² > 0 ∀θ, non si annulla mai

DERIVATA DI UNA FUNZIONE VETTORIALE

Sia κ: I → ℝⁿ e t₀∈I, si dice che κ è derivabile in t₀ se ∃ finito il limite:

κ'(t₀) = lim_h→0 (κ(t₀+h) - κ(t₀)) / h

Se κ è derivabile in tutto I e inoltre la funzione κ' è continua in I, si dice che κ è di classe C¹(I) e si scrive κ∈C¹(I)

I limiti di funzioni a valori vettoriali si fanno componente per componente: il vettore derivato è il vettore delle derivate delle componenti.

κ'(t₀) = (lim_h→0 κ₁(t₀+h) - κ₁(t₀) / h, ..., lim_h→0 κm(t₀+h) - κm(t₀) / h) = (κ₁'(t₀), κ₂'(t₀), ..., κm'(t₀))

Lunghezza di un arco di curva

Sia r:[a,b] → ℝ^m la parametrizzazione di un arco di curva γ continuo e consideriamo una partizione dell’intervallo [a,b]: P = {t₀ = a, t₁, …, t_n = b}. A P risulta associata la poligonale “iscritta” un γ costituita dagli segmenti di estremi r(t_j), r(t_j−1), j = 1, …, m.

ℓ(P) = Lunghezza Poligonale

ℓ₁(P) = Σ_j=1^m || r(t_j) − r(t_j−1) ||

L’idea è che ℓ(P) approssimi per difetto la lunghezza di γ.

Si dice che γ è Rettificabile se

sup_P ℓ(P) = ℓ(γ) < +∞

dove l’estremo superiore è calcolato al variare di tutte le possibili partizioni P di [a,b]. In tal caso ℓ(γ) assegna per definizione la lunghezza di γ.

Teorema

Sia r:[a,b] → ℝ^m la parametrizzazione di un arco di curva γ regolare. Allora γ è rettificabile e

ℓ(γ) = ∫_a^b ||r^′(t)|| dt

ad esempio entrambi i segmenti di ora fissati sono divisibili in due segmenti continui

m=2

r(t) = (x(t), y(t)) t∈(a,b)

||rʹ(t)|| = √[(x^ʹ(t))² + (y^ʹ(t))²]

ℓ(γ) = ∫_a^b √[(x^ʹ(t))² + (y^ʹ(t))²] dt

SIGNIFICATO GEOMETRICO

(Rispetto al parametro arco)

Se f è positiva e continua e γ parametrizzata col parametro arco consideriamo la superficie S in IR³ formato dai segmenti verticali che congiungono i punti di γ ai punti del grafico di f.

L'ipotesi che γ sia parametrizzata con il parametro arco significa geometricamente, che se sviluppiamo in un piano x,y la superficie S (facendo coincidere f con l'asse x) il parametro arco non rappresenta l'ascissa x.

Allora l'integrale ∫ γ f ds rappresenta l'area di questa superficie sviluppata e quindi l'area della superficie originale.

m=2

r(t) = (x(t), y(t)) , t∈[a,b]

∫ _γ f ds = ∫ _a^b f(x(t), y(t)) √([x'(t)]² + [y'(t)]²) dt

m=3

∫ _γ f ds = ∫ _a^b f(x(t), y(t), z(t)) √([x'(t)]² + [y'(t)]² + [z'(t)]²) dt

FORMA CARTESIANA

γ:y=h(x)

x=x

r(t)=(x, h(x))

∫ _γ f ds = ∫ _α^b f(x, h(x)) √1+[h'(x)]² dx

FORMA POLARE

ρ=h(θ), θ∈[α,b]

x=h(θ)cosθ

y =h(θ)senθ

∫ _γ f ds = ∫ _α^b f(h(θ)cosθ, h(θ)senθ) √([h'(θ)cosθ, h(θ)senθ)]²) dθ