Analisi Matematica 2 - Riassunto esame, prof. Migliavacca

Funzioni Lipschitziane

f : I → ℝ è lipschitziana su I, con costante di Lipschitz δ, se e solo se:

|f(a) - f(b)| ≤ δ|a - b| ∀a, b ∈ I

... o rapporto incrementale limitato:

|f(a) - f(b)| / |a - b| ≤ δ ∀a, b ∈ I

Es. ci sono funzioni lipschitziane non derivabili:

f(x) = |x|

Applicazioni degli integrali di linea di I specie.

... Massa:

m = ∫_δ ρ ds = ∫_a^bρ(r(t))|r'(t)| dt

ρ = cost → m = ρ L_δ

Baricentro:

x_δ = ₁/^m ∫_δ x ρ ds = ₁/^m ∫_a^b x(t) ρ(r(t)) |r'(t)| dt

y_δ, z_δ analogue

ρ = cost → baricentro = estremi di C

x_δ = ₁/^L_δ ∫_δ x ds = ₁/^L ∫_a^b x(t)|r'(t)| dt

Momento d'inerzia:

I = ∫_δ x²(x,y,z) ρ ds distanza di (x,y,z) dall'asse scelto:

I = ∫_δ x²ρ ds = ∫_a^b x²(r(t)) ρ(r(t)) |r'(t)| dt

Oppio ortogonale:

I = _m / ^L_δ ∫_δ x² ds

Es.: rispetto ad x :

I = _m / ^L ∫_δ (y_δ² + z_δ²) ds

Insiemi e funzioni unite.

Un insieme A⊆ℝ è detto unitato superiormente se:

∃x∈ℝ ∀x>x x∈A

Questo x∀ è detto maggiorante di A.

Un insieme A⊆ℝ è detto unitato inferiormente se:

∃x∈ℝ ∀xb) Esistono t₁,...t_k |r't_k

Si dice che r : I → R^m è regolare a tratti se sono se:

a) r e continua su I

b) Esistono t₁,...t_k |r'(t_k)

(M {i1,..i _k-1})

Regolare

Intervalli

1. Quando r : I → R^m cosi se r_sequ sono se:

r_t1

2. Quando r : I= [a,b] → R^m cosi chiusa (r(a)= r(b)

Condizioni Necessarie alla Convergenza

∑_M A_m converge → A_m → 0

Quindi se A_m ≠ 0 ∑_m A_m non converge

Convergente: se S_m → S

Divergente: se S_m → ∞

Oscillante: se S_m non è determinabile

S_m = ∑^mi=0 A_m

Serie Importanti:

Serie Geometriche

∑^∞_m=0 9^m=

{|9|<1 converge9≥1 divergeq<-1 indeterminato}

S = 1/(1-9)

Serie Armonica

∑^∞_m=1 1/m^α converge ⇔ α>1, diverge negli altri casi (+oo)

∑_m 1/(m^α(ln(m))^βα>1, b qualsiasi convergeα=1, β>1 convergeα<1 diverge

Criteri

A) Criterio del Confronto

dette ∑_m am &eitsin; ∑_m bm termini positivise am ≤ bm ∀ m≥0

• 1) se ∑_m bm converge → ∑_m am converge
• 2) se ∑_m bm diverge → ∑_m am diverge

CRITERI DI CONFRONTO

1⃣ Se nell’intervallo (a,+∞) le funzioni f(x) e g(x), con g(x) continua e positiva (per x ∈ (a,+∞)), 0 ≤ f(x) ≤ g(x)

∫_a^+∞ f(x) dx diverge => ∫_a^+∞ g(x) dx diverge

∫_a^+∞ g(x) dx converge => ∫_a^+∞ f(x) dx converge

2⃣ Se le funzioni f(x), g(x), definite e continue in (a,b], hanno un asintoto verticale in x=c ∈ (a,b) e nell’intervallo (a,b] le funzioni f(x) e g(x) sono continue e positive (ossia ∀x ∈ (a,b] si ha 0≤f(x)≤g(x))

∫_a^b f(x) dx diverge => ∫_a^b g(x) dx diverge

∫_a^b g(x) dx converge => ∫_a^b f(x) dx converge

Integrali

∫_I f(x) dx area sotto il grafico

∬_Σ f(x,y) dx dy volume sotteso dalla funzione

∭ f(x,y,z) dx dy dz superficie infinitesima del dominio

∫_I dx lunghezza dell'intervallo

∬ dx dy area del dominio Σ

∭ dx dy dz volume di Γ

Integrali di Linea (Curva)

I specie

∫_γ ds lunghezza di γ ds = |r'(t)|dt

∫_γ f(r(t)) ds f: E ⊂ ℝⁿ → ℝ

II specie = lavoro

∫_γ f · dr = ∫_I f(r(t)) · dr E : ℝⁿ → ℝⁿ

idr| = ds