Analisi Matematica 2 - Riassunto esame, prof. Migliavacca

Funzioni lipschitziane

Una funzione f: I → R è lipschitziana su I, con costante di Lipschitz δ, se e solo se:

|f(a) - f(b)| ≤ δ |a-b|   ∀ a, b ∈ I

Rapporto incrementale limitato

 |f(a) - f(b)| / |a-b| ≤ δ   ∀ a, b ∈ I

Oss. Ci sono funzioni lipschitziane non derivabili: f(x) = |x| + |x|

Approssimazioni degli integrali di linea

Nastro

m = ∫_X ρ ds = ∫_a^b ρ (α(t)) |r'(t)| dt

ρ = cost. : m = ρ L_δ

Baricentro

x_b = 1/m ∫_X x ds = 1/m ∫_a^b x(t) ρ (α(t)) |r'(t)| dt

y_b, z_b analoghe

ρ = cost → baricentro = geometrico

x_b = 1/m ∫_X x ds = 1/L_δ∫_a^b x(t) |r'(t)| dt

Momento d'inerzia

δ²(x,y,z) distanza di (x,y,z) dall'asse scelto:

I = ∫_δ δ² ds = ∫_a^b δ² (r(t)) ρ (α(t)) |r'(t)| dt

Corpo omogeneo:

I = m/L_δ ∫_δ δ² ds

Es.: rispetto ad x :

I = m/L ∫_δ (y² + z²) ds

Funzioni lipschitziane

Una funzione f: I → ℜ è lipschitziana su I, con costante di Lipschitz δ se e solo se:

|f(a) - f(b)| ≤ δ |a - b|   ∀ a, b ε I

O detto in rapporto incrementale:

|f(a) - f(b)| / |a - b| ≤ δ   ∀ a, b ε I

Oss.: Ci sono funzioni lipschitziane non continue: f(x) = |x| + |x|

Appunti sugli integrali di linea di I specie

Massa

m = ∫_γ ρ ds = ∫_a^b ρ(x(t)) |r'(t)| dt

ρ = cost  :   m = ρ L_γ

Baricentro

x_b = ¹ ⁄ _m ∫_γ x ds = ¹ ⁄ _m ∫_a^b x(t) ρ(x(t)) |r'(t)| dt

y_b, z_b analoghe

ρ = cost   →   baricentro = costante di ^γ

x_b = ¹ ⁄ _Lγ ∫_γ x ds = ¹ ⁄ _Lγ∫_a^b x(t) |r'(t)| dt

Momento d'inerzia

δ²(x, y, z) distanza di (x, y, z) dall'asse scelto:

I = ∫_γ δ² ρ ds = ∫_a^b δ² (r(t)) ρ(r(t)) |r'(t)| dt

Ovvero:

I = ^m/ _Lγ ∫_γ δ² ds

Es: rispetto do x :

I = ^m/ _L ∫_γ (y² + z²) ds

Insiemi e funzioni unitoti

df) Un insieme A è detto unitoto superiormente se:

• ∃ x ∈ ℝ | ∀ x > x ∈ A dove x ˜ è detto maggiorante di A.

df) Un insieme A è detto unitoto inferiormente se:

• ∃ x ∈ &Ropf; | ∀ x < x ∈ A dove x ˜ è detto minorante di A.

df) A è unitoto ↔ ∃ x ˜, m ∈ &Ropf; | ∀ x ∈ A   &m < x < m   &bigtriangleup; l'unitoto sia sup. o inf.

Estremo superiore

df) Dato A unitoto superiormente, esiste un maggiorante che è minore di ogni altro maggiorante di A; tale maggiorante è detto estremo superiore sup.A.

Oss sup. A può appartenere o non appartenere ad A.

Massimo di A

df) Se sup. A ∈ A, è detto massimo di A; max A se è l'unico valore m ∈ A tale che m ≥ x ∀ x ∈ A.

Oss se A è unitoto, max A può non esistere, è un valore interno ad A. (0,1) non ha max, 1/A ha ha estremo superiore.

Estremo inferiore

df) Dato A unitoto inferiormente, esiste un minorante che è maggiore di ogni altro minorante di A; tale minorante è detto estremo inferiore inf.A.

Oss inf. A può appartenere o no all'insieme.

Minimo di A

df) Se inf. A ∈ A, è detto minimo di A; min A se è l'unico valore m ∈ A tale che m ≤ x ∀ x ∈ A.

Unitone

df) Dato f: &Oscr; → &Dscr; (O e D insiemi qualsiasi) si chiama unitone o f _l sottinsieme di y:

 lim ρ → y: {y ∈ &Oscr; | y = f(ρ) esattamente x ∈ y}

Immagine di A

Dato A⊂D, l'immagine di A tramite f è:

f(A) = {y ∈ Y | y = f(x) per qualche x ∈ A}