Riassunto esame Analisi matematica 2, Prof. Giacomelli Lorenzo, libro consigliato Analisi matematica, Bertsch, Dal Passo, Giacomelli

• Punto di accumulazione

Si definisce _x₀ punto di accumulazione di Ω ⊆ Rⁿ se ogni intorno sferico di _x₀ contiene infiniti punti di Ω.

• Intorno sferico di _x₀

Si definisce intorno sferico di _x₀ di raggio r. E' l'insieme:

I_n(_x₀, r) = {x ∈ Rⁿ | |x - _x₀| < r }

Distanza euclidea

d(_x₁, _x₂) = |_x₁ - _x₂| = ( Σ_i=1ⁿ (x_i - x_0i)² )^1/2

• Limite

Sia f : Ω ⊆ Rⁿ → R e x_₀ ∈ Rⁿ punto di accumulazione per Ω.

Allora lim f(x) = L ∈ R ↔ ∀ V(L) ∃ U(_x₀)(_x): f(x) ∈ V(L)

(x ∈ Ω ∧ x ≠ x_₀) ⇒ x ∈ U(_x₀)

• Esistenza del limite

Definito un sottinsieme A e con x_ₙ appartenente allo

(x ∈ A)

da cui non deriva lim f(x) = L ↔ lim_n f(x) = L ∀A.

• Continuità

Sia f : Ω ⊆ Rⁿ → R e x_₀ ∈ Ω pt di accumulazione per Ω. f continua in x_₀ ⇒ lim_x→x₀ f(x) = f(x_₀)

TEOREMA DI DIFFERENZIABILE TOTALE

Sia _f : Ω ⊆ ℝⁿ → ℝ x₀ ∈ Ω

Se f_i continua e derivabile in μ(x₀) e ^∂f_i(x₀)/_∂xi continue in x₀ ∀i => f è differenziabile in x₀.

TEOREMA: Sia f(x) una funzione differenziabile in x₀ e non Df(x₀) ≠ 0. Allora v = Df(x₀) n^ rappresenta la direzione di massimo rapporto di f in x₀ Infatti: ^df/_dv = Df(x₀) . v = ‖Df(x₀)‖ . ‖v‖ . cosα = y

ma ^df/_dv (x₀) = ‖Df(x₀)‖ => v = ^Df(x₀)/_‖Df(x0)‖

Regola delle catene II (Curva → funzione)

Sia γ : I ⊂ ℝ → ℝ^m f : Ω ⊆ ℝ^m → ℝ

Im(δ) ⊆ Ω, t₀ ∈ I, x₀ = δ(t₀) ∈ Ω .

Se δ è derivabile in t₀ e f è differenziabile in x₀=δ(t₀) allora ^d/_dt f(γ(t₀)) = Df(x₀) . δ(t₀)

con f°g : ℝ → ℝ t → f(δ(t₀))

Dimostrazione:

Sfruttiamo entrambe le ipotesi a disposizione: f è differenziabile => f(x) = f(x₀) + Df(x₀)(x-x₀) + o(‖x-x₀‖) x→x₀ δ derivabile => δ(t) = δ(t₀) + δ'(t₀)(t-t₀) + o(t-t₀) t→t₀

> φ(t) = φ(0) + φ'(0) t + ¹/₂ φ''(0)t² + o(t²), t → 0.

φ'(a') = ^d/_dt f(x₀ + tv) = ∇ f(x₀ + tv) . v

φ'(0) = ∇ f(x₀) . v

φ''(t) = d/dt ∑_i=1ⁿ ∂ f/∂ x_i (x₀ + tv) v_i =

= ∑_i=1ⁿ ∑_j=1ⁿ ∂² f/∂ x_i∂ x_j (x₀ + tv) v_j v_i

φ''(0) = ∑_i,j=1ⁿ ∂² f/ ∂ x_i ∂ x_j (x₀) v_j v_i = < D² f(x₀) v, v >

> f(x) = f(x₀) + ∇ f(x₀)(x-x₀) + ¹/₂ < D²f(x₀)(x-x₀), (x-x₀) > + o(||x-x₀||²),

(x → x₀)

• Natura punti critici.

Se x₀ è un punto critico → ∇ f(x₀) = 0 per pto fermo

> f(x) - f(x₀) = ¹/₂ < D² f(x₀) (x-x₀), (x-x₀) > + o(||x-x₀||²)

la natura dei punti critici dipende allora da quella delle matrici formate

> Sia f : Ω ⊆ &R;ⁿ → &R;, x₀ ⊆ Ω^int critico e f due votte

differenziabile in x₀.

Detto A = D²f(x₀) matrice hermitiana allora

• det A > 0; trA > 0 → pto di minimo locale
• det A > 0; trA < 0 → pto di massimo locale
• det A < 0 → pto di sella
• det A = 0, bisogna parlare la ridaux del 7mo canto degli inferi

Rotore

Sia F (Ω) = ( F₁(x,y,z), F₂(x,y,z), F₃(x,y,z) )

ℝ³ => rotF = ∇×F Δ= det

F: Ω⊆ℝ² → ℝ²

F(xy) = (F₁(xy), F₂(xy)).

Si campia in questo caso all'immersione contenuta in ℝ³

introducendo

rotF Δ= rot

rotF = det

= (0, 0, ∂x F₂ - ∂y F₁) = (∂x F₂ - ∂y F₁) e₃

QED rot F | | in ℝ²

Campi Irrotazionali

Definizione (1): Ω⊆ℝ²→ℝ³ operto convesso

=> F definito su Ω e' un campo irrotazionale se rot F = 0 ∀x ∈ Ω

Definizione (2'): Ω⊆ℝ^h e aperto convesso

=> F e' irrotazionale in Ω se ∂F_i(x) / ∂x_j = ∂F_j(x) / ∂x_i ∀⟨stesti⟩ ⊆ Ω, i,j=1,.., n.

Teorema: Ω⊆ℝ^h e' operto covesso e F: ℝ^h⟶ℝⁿ →C¹(Ω)

e F e' ^c in Ω => F e' irrotazionale su Ω.

(Che un campo senza irrotazionale e' condizione necessaria per

→ Demonstrabetti: F covandono in Ω Δη_Ω F(x) ∇ ∇f(x) ∀^2_xϑ

- II relazione tra do e ds

in ^R₂ vale (dy₁, dy₂) = N^e ds

dalla I relazione e ha che ds = s do, con

(dy₁, dy₂) = (s₁(t), s₂(t)) ds = (dy₁, dy₂) N^e ds

|s'(t)| = ||x' 6 t)||

- flusso di V uscente da Ω

Definizione : sia Ω² superficie orientabile di area - 1 curva definitaV : Ω² R³ campo vettoriale continuo

>>> ∫Ω² (V) = ∫Ω² N^e do

- Circolazione di V lungo δΩ

Definizione : ∫_δΩ V . I^e do_o

- Teorema della divergenza (in R²) :

Ω dominio di green, V e Csup1 (Ω) ⇒ ∫_δΩ V . N^e ds = ∫_Ω div V dxdy

Dimostrazione :

∫_δΩ V . N^e ds = ∫_δΩ V (dy, ds) = ∫_δΩ V₁ dy - V₂ dx = >

= ∫_Ω ∂V₁ dxdy + ∂V₂ dy dxdy = ∫_Ω div V dx dy .

Teorema De Teorema di green