Analisi matematica - probabilità e statistica

Integrali

Esercizio 1

∫₀¹ (1/√(3n+3)) dn= ∫_-3^-3 y^-1/2 dy = 2/3 y^1/2_-3¹¹= 2/3 [1 - 3√3]2n + 3 = y2dn = dy → dn = dy/25dn = 0y₂ = 3n = 1 y₂ = 11

Esercizio 2

∫₂¹⁰ (3 / √(5n-1)) dn Sostituzione: 5n - 1 = y 5dn = dy → dn = dy/5 se n = 2 → y = 9 se n = 10 → y = 49 = 3/5 ∫₉⁴⁹ y^-1/2 dy= 3/5 [2√49 - 9√9]= (6 (7 - 3))/5 = 2u/5

Integrali

Esercizio 1

∫ᵧ ₋₃^√n+3 dn = ∫ᵧ ₋₃^3/2 1/y · dy = 1/2 y^1/2 | ^3/2_1/2 | ₃¹ = 1/2 y^3/2 |₁ ³ = [1/3 y^1/2 - 3√3] | _1/3

Esercizio 2

∫² ^103/√5n-1 dn Sostituzione: 5n-1=y 5dn=dy se n=2 → y=9 se n=10 → y=49 = 3/5 ∫⁹ ⁴⁹ y^-1/2 dy = 3/5 y^1/2 |₉ ⁴⁹ = -3/5 [√49 - √9] = 6(11-3)/5 = 2u/5

Integrazione per parti

d/dn [f(n)·g(n)] = df/dn · g(n) + f(n) dg/dn Prendiamo l'integrale indefinito:

e₁ + ∫ df/dn · g(n) dn = ∫[df/dn · g(n) + f(n) dg/dn] dn + e₂

f(n)·g(n) + e₁ = ∫[df/dn · g(n)] dn + ∫[f(n) dg/dn] dn + e₂

∫ f(n) dg/dn dn = f(n) g(n) - ∫ df/dn g(n) dn + edue e = e₁ - e₂

Esercizio 1

∫ n eⁿ dn == ∫[n · d/dn eⁿ] dn = (d/dn eⁿ) dn · ∫ (dn) eⁿ dn 1 2= n eⁿ + e2 = - ∫ eⁿ dn = - ∫ eⁿ dn = eⁿ + eT = 1 + 2n eⁿ - eⁿ + e

Calcolo dell'area

Dato che f(n) e g(n) calcolare l'area compresa tra e grazie a f(n_i) e g(n)

A = ∫_n0^n₁ f(n) dn

Area compresa tra g(n) e l'asse n

A = ∫_n0^n₁ [f(n) - g(n)] dn

Esempio

Calcolare l'area compresa tra le curve

f(n) = 2 - n²

g(n) = n

Se n₀ è compreso tra n₀ e n₁

Se f(n) > g(n) → f(n) - g(n) > 0

A = ∫_n0^n₁ [f(n) - g(n)] dn

Statistica descrittiva

Ha per obiettivo di ottenere dai dati alcune opzioni di carattere interiore.

Statistica descrittiva: stimare calore, fare delle ipotesi (sui meccanismi che regolano i fenomeni e non le variabili).

Abbiamo un insieme di dati e vogliamo sintetizzarli. Importante: ogni descrizione sintetica dei dati corrisponde ad una perdita di informazione.

Dati ⟶ Statistica descrittiva

La statistica di base sono:

1. Misure di tendenza centrale
2. Misure di discrepanza

Media aritmetica

Assegnati i dati n₁, ..., n_n (non ordinati), si definisce media aritmetica: \( \bar{n} = \frac{n_1 + n_2 + \ldots + n_n}{n} = \frac{\sum_{i}n_i}{n} \)

Mediana

Assegnato a un set di dati n₁, n₂, ..., n_n, la mediana dei dati corrisponde al valore centrale, ossia metà dei dati cade sotto. La mediana e metà altra metà cade sopra.

Come si calcola la mediana?

Esempio: n₁ = {3, 2, 25, 28, 30; 21, 30, 19, 23}

Mediana

1. Ordina: {19, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 30}
2. Il punto al mezzo e [23]

La mediana e il dato che occupa il posto ^{(n + 1)}/₂

Media

m_n = 18 + 18 + 21 + 22 + 22 + 23 + 25 + 27 + 30 + 30

n = 10

m_n = 23_,7

Se n è pari m_n = [18 21 22 22 25 27 30 30] La mediana è la media tra i due dati che occupano le posizioni n/2 e n+1/2 La mediana è 22 + 25 / 2 = 47 / 2 = 23,5

La mediana (fase 1 => ordinare i dati) Passo 2 b Se n è dispari la mediana è quel numero che occupa il posto n + 1 /2 Se n è pari la mediana è la media dei due dati che occupano i posti n/2 e n+1/2 => La mediana è meno influenzata della media dalla presenza di valori anomali

Moda

Dati n₁, n₂, n_k, n_e è il dato con la maggiore frequenza m_n = [18 21 22 22 25 27 30 30] Moda = 18, 30

Midrange

Dati n₁, n₂, m_n è il valore medio tra il valore Min e Max dei dati m_n Come si calcola:

1. Si ordinano i dati
2. Si considerano max e min e se ne calcola la media

Media Geometrica