Analisi matematica - probabilità e statistica

INTEGRALI

1)

⁴∫₀ √(2n+3) dn

= ¹∫₃ y^1/2 dy = ²/₃ y^3/2 ⎹¹¹₃ = ²/₃ (11^3/2 - 3^3/2)

2n+3=y

2dn=dy ⇒ dn=^dy/₂

se n=0 y=3

n=4 y=11

Esercizio:

¹⁰∫₂ ³/_√5n+1 dn =

Sostituzione: 5n+1=y

5dn=dy ⇒ dn=^dy/₅

se n=2 y=9

se n=10 y=51

= ³/₅ ⁵¹∫₉ y^-1/2 dy = ³/₅ y^1/2⎹⁵¹₉ = ³/₅ [ √51 - √9 ] = ^6(4-3)/₅ = ^2√51/₅

Integrazione per parti

d[∫(n)·y(n)] = df_dm·g(n)+(f(n)·dg_dn)

Prendiamo l'integrale indefinito

e₂ + ∫df_dm{(n)·g(x)}dn = ∫[df_dm·g(n)]+∫dg/dn+e₂·gm dn

f(n)·gm+e₁=∫[df_dn·gm]dn+∫[∫dg+e₂

∫−dg_dndm=f(n)g(n)−∫df·g(n)dn+e

due e=e₁−e₂

ESERCIZIO 1:

∫n·eⁿdn=

∫[n·df_dn]dn=(-d(eⁿ)_dn)[∫e^xdn]-d(·(eⁿ)_dn)-d(·e^x(n)_dn)

① = n·eⁿ·e

2 = -∫e¹en·dn=-∫o^endn=-eⁿ+e)

=>

=∫n=f+z

n·e^en-eⁿ+e

5) Scarti Quadratici

Dati n₁ n₂ ... n_m

e la n_gee V₁ V₂ ... V_h

Si può dimostrare che dati: n_m, n_v

V₁, n^gee n k m

è valido se segnato soltanto se n_m = n_m

6) Metodo della Devianza

1. Rimediare : Dati n₁ n₂ n_m n_min

   Range = max M min M → R² (3/18) n₂₀

   Ossia non ci è riconosciuta secluda una distribuiti verif. con interno del range

2. Devianza : Dati n_v n₁ n_m, si perde, le varcas

   media per ogni dato ni si allieva da devianza dalla media

Σ (n_i - n₁)²/ⁿ = scarto quadratico medio (ossia la radice media sacra scarto al quadrato) σ =

Determina la retta dei sei di dati:

• S_xy = Σ_i=1ⁿ (n + n) (y_i - ŷ)
  • dove
    • x̅ = Σ_i=1ⁿ x_i / n
    • ŷ = Σ_i=1ⁿ y_i / n
• S_xx = Σ (x_i - x̅)²
• e allora
  • m = S_xy / S_xx
  • b = ŷ - m̅

Es. 1: almeno una pianta ha fiori bianchi

S = {PPP, PPW, PWP, PWW, WPP, WPW, WWP, WWW}

E₁ = {P, W, ... }

P(E₁) = 1 - 1/8 = 7/8

Esercizio.

• A: allele dominante
• a: allele recessivo

Determina l'ereditarismo:

Probabilità che il figlio sia portatore

Padre: Aa

Madre: Aa

Punteggio

S = {AA, Aa, aA, aa}

Ε = {aA, Aa}

P(Ε) = 2/4 = 1/2

P(M) = P(aA) + P(aA) = 1/2

1 SEMIARIO

Popolazione 180.000

Gruppo Sanguigno A

1. Leone₁ 55%
2. Lusit₂ 25%
3. ZR₁

Probabilità che un individuo abbia:

1. A e Rh⁺
2. A o Rh

Evento E = {gruppo A}

• P(E) = 0,8
• P(E) = 0,55

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

0,8 + 0,55 - 0,25

Evento Ē = non abbia sangue nel gruppo A

P(Ē) = 1 - P(E) = 1 - 0,8 = 0,2

P(Ē ∩ Rh) = P(Rh) - P(E ∩ Rh)

= 0,55 - 0,35

Evento E: la somma delle cifre è 10

S = {(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)}

• E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

P(E) = 6/36

Esercizio 1:

S = {I, NI}

P(I) = 0.2

P(NI) = 0.8

Probabilità che due persone siano infette su un campione di 30 persone:

ESP Binomiale: N successi su n prove

P(n: k) = ₃₀C_k (0.2)^k (0.8)^30-k

P(30, 1) = ³⁰/(_30-1C₁) 0.2 (0.8)²⁹

6 . 30 . 0.2 . (0.8)²⁹ = 0.001

Probabilità che x ne ammalino almeno 2 = 1 - P(30, 0)

Esercizio 2:

P(D) = 0.1

P(ND) = 1 - 0.1 = 0.9

1. Probabilità che nessuno sia difettoso: P(50, 0) = ⁵⁰/(₅₀C₀) (0.1)⁰ (0.9)⁵⁰ = 0.0051
2. Probabilità che un pezzo sia difettoso: P(50, 1) = ⁵⁰/(₄₉C₁) (0.1)¹ (0.9)⁴⁹ = 0.028
3. Probabilità che siano difettosi 5: P(50, 5) = ⁵⁰/(₅₀C₅) (0.1)⁵ (0.9)⁴⁵