Analisi Matematica III - prova scritta

Università degli Studi di Catania - A.A. 2004-05

Facoltà di Ingegneria

Corso di laurea in Ingegneria Informatica (V.O.) e Telecomunicazioni (N.O.)

Prova scritta di Analisi Matematica III assegnata il 28 Gennaio 2005

Durata della prova: due ore. È permesso consultare libri o appunti. Svolgere almeno due esercizi per intero.

Esercizio 1

Calcolare la trasformata di Fourier della funzione 2t sen t.

Svolgimento dell'esercizio 1: La funzione è a crescenza lenta e quindi si trasforma come distribuzione temperata. Usando le formule di modulazione abbiamo:

1 1 1 ξ = ξ) = ξ) + ξ−2it2 2it(t(1 (t; F F − F − Ft sen t; cos 2t); te te ); 2 2 4 ( ) 1 11 1δ δ += δ. 0 00− −−(t) ) (t )(t 4πi 8πi 2π 2π

Esercizio 2

Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione 2 − z 1 + 2 2 (z 4) < {z ∈ |z − nell'insieme : 2i| 4}.

Svolgimento dell'esercizio 2: Decomponendo in fratti semplici si ha: 2 − z 1 A B C D = + + + , + + + 2 2 2 2 − − (z 4) z 2i (z 2i) z 2i (z 2i) dove 53 = = = =− C − i B D A 32 16 1 .

Per scrivere lo sviluppo della funzione sarà sufficiente sviluppare la frazione +z 2i ha: +∞ n + 1! 1 1 X = . n n−(−1) (z 2i) + z 2i 4 in = 0

Derivando la precedente eguaglianza si ottiene: +∞ n + 1! 11 X = . n−1− −n (z 2i) + 2(z 2i) 4 in = 1

A questo punto basta sostituire e si ottiene lo sviluppo.

Esercizio 3

Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenza ponendo =  a 0  0  n  (−1) = + , .  ≥ a a n 0  n+1 n  n  22 {a }.

Svolgimento dell'esercizio 3: Indichiamo con Z(z) la trasformata della successione n. Trasformando ambo i membri si ha: 2z= + , z Z(z) Z(z) + 1 2z e quindi 2z= . Z(z) + −(1 2z)(z 1)

A questo punto possiamo antitrasformare ottenendo nn ! 2z 2 2 1 = = , . − − ∈ a Res n N n 0+ −(1 2z)(z 1) 3 3 2

Esercizio 4

Calcolare l'integrale +∞ Z −cos 2x cos x .dx + 2x(x 1)−∞

Svolgimento dell'esercizio 4: L'integrale è nullo perché la funzione è sommabile e dispari.

Università degli Studi di Catania - A.A. 2004-05

Facoltà di Ingegneria

Corso di laurea in Ingegneria Informatica - Vecchio Ordinamento.

Prova scritta di Analisi Matematica III assegnata il 22 Luglio 2005

Durata della prova: due ore.

Esercizio 1

Studiare i punti singolari isolati della funzione 2 senh 1/z = , f (z) 2 − z(z 1) classificandoli e calcolandone i residui. −1.

La funzione è definita per z 0, z 1, z. Tali punti sono singolarità isolate., , ,= = −1 Precisamente, i punti z 1, z sono poli semplici in quanto senh 1 senh 1 = , + = ,− lim (z 1) f (z) lim (z 1) f (z) 2 2 z→1 z→−1 = mentre il punto z 0 è un punto di singolarità essenziale.

Infatti, in un intorno dell’origine si ha: +∞ +∞ +∞ n 1 1 1 X X X X = .= 2n−6k−3n−2 −2 f (z) z z + + 4n+3 (2n 1)! z (2k 1)! n=0 n=0 n=0 k=0 =

Nella serie ci sono infiniti coefficienti con esponente negativo (basta prendere k n) e quindi la singolarità è di tipo essenziale.

Prima di calcolare i residui nei punti singolari, studiamo il p