Analisi Matematica III - prova scritta

Prova scritta di Analisi Matematica III

FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Corso di laurea in Ingegneria Informatica (V.O.) e Telecomunicazioni (N.O.)
Prova scritta di Analisi Matematica III assegnata il 28 Gennaio 2005.
Durata della prova: due ore. È permesso consultare libri o appunti.
Svolgere almeno due esercizi per intero.

Esercizio 1

Calcolare la trasformata di Fourier della funzione 2t sen t.

Svolgimento dell’esercizio 1. La funzione è a crescenza lenta e quindi si trasforma come distribuzione temperata. Usando le formule di modulazione abbiamo:

ξ(ω) = ξ(ω) + ξ(-2iω) = ξ(ω) + ξ(-2iω) - 2iωξ(ω) = F[2t sen t] = F[cos 2t] - F[cos 2t] = 1/2πi [δ(ω-2) - δ(ω+2)]

Esercizio 2

Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione 2/(z-1+2z^2).

Svolgimento dell’esercizio 2. Decomponendo in fratti semplici si ha:

2/(z-1+2z^2) = A/(z-2i) + B/(z+2i) + C/(z-2) + D/(z+2)

1. 4) z²ⁱ (z²ⁱ) z²ⁱ (z²ⁱ)

2. dove 53 , = = .= =−C − i B DA 32 16 1 .

3. SiPer scrivere lo sviluppo della funzione sarà sufficiente sviluppare la frazione +z²ⁱha: +∞ n+1!1 1X= .n n−(−1) (z²ⁱ)+z²ⁱ 4in=0

4. Derivando la precedente eguaglianza si ottiene,+∞ n+1!11 X= .n−1− −n (z²ⁱ)+ 2(z²ⁱ) 4in=1

5. A questo punto basta sostituire e si ottiene lo sviluppo.

6. Esercizio 3. Determinare il termine generale della successione definita per ricorrenzaponendo =a₀ 0 n (−1)= + , . ≥a a_n 0 n+1 n n 22 {a_n}.

7. Svolgimento dell’esercizio 3. Indichiamo con Z(z) la trasformata della successione nTrasformando ambo i membri si ha: 2z= + ,z Z(z) Z(z) +1 2ze quindi 2z= .Z(z) + −(1 2z)(z 1)A questo punto possiamo antitrasformare ottenendo nn !2z 2 2 1= = , .− − ∈a Res n Nn 0+ −(1 2z)(z 1) 3 3 2

8. Esercizio 4. Calcolare l’integrale +∞Z −cos 2x cos x .dx+2x(x 1)−∞

9. Svolgimento

dell’esercizio 4. L’integrale è nullo perché la funzione è sommabile e dis-pari.

3UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA – A.A.2004-05

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di laurea in Ingegneria Informatica - Vecchio Ordinamento.

Prova scritta di Analisi Matematica III assegnata il 22 Luglio 2005.

Durata della prova: due ore.

Esercizio 1. Studiare i punti singolari isolati della funzione

2senh 1/z= ,f (z) 2 −z(z 1)

classificandoli e calcolandone i residui. −1.

La funzione è definita per z 0, z 1, z Tali punti sono singolarità isolate.

= = −1

Precisamente, i punto z 1, z sono poli semplici in quantosenh 1 senh 1= , + = ,

−lim (z 1) f (z) lim (z 1) f (z)2 2z→1 z→−1=

mentre il punto z 0 è un punto di singolarità essenziale. Infatti, in un intorno dell’originesi ha:

+∞ +∞ +∞ n1 1 1X X X X= .= 2n−6k−3n−2 −2f (z) zz+ +4n+3(2n 1)! z (2k 1)!n=0 n=0 n=0 k=0 =

Nella serie ci sono infiniti

coefficienti con esponente negativo (basta prendere k n) equindi la singolarità è di tipo essenziale.Prima di calcolare i residui nei punti singolari, studiamo il punto all’infinito. Lafunzione è regolare all’infinito e si ha: 2!1 senh z= , .3f z z 0,2−z 1 zPertanto !11 = .= − f 0Res f (z) Resz=∞ z=0 2z zA questo punto possiamo calcolare i residui in tutti i punti singolari. Si ha:senh 1 senh 1= = , = + = ,−Res f (z) lim (z 1) f (z) Res f (z) lim (z 1) f (z)z=1 z=−12 2z→1 z→−1= = .− − −Res f (z) Res f (z) Res f (z) Res f (z) senh 1z=0 z=∞ z=1 z=−1

Esercizio 2. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione2= .−(x−1)f (x) xe4 La funzione è trasformabile nel senso delle funzioni in quanto sommabile in R.Si ha: 2 2 2= = + ,−(x−1) −(x−1) −(x−1)−f (x) xe (x 1)e ee quindi applicando le note proprietà della trasformata di Fourier segue

la relazione tra con-voluzione e trasformata, si ottiene: ⁺⁄_t -2t -τ -2τ * - *y(t) e e ( f e )(t) ( f e )(t)² 2t t= + + = + .-t -t -2t -t -2t-t -2t -t- - -e e e te e e e (2 t ) 2e2 2

Esercizio 4. Calcolare l'integrale +∞Z x cos x .dx+3x 1-∞L'integrale è da intendersi nel senso del valore principale a causa della singolarità non integrabile nel punto x Consideriamo la funzione f (z) , olomorfa nel+3z 1 5= + , ,{z ∈ |z ≥ |z| ≤ =z ≥dominio T : 1| R 0}. Applicando il teorema dei residui si trova: Z = ,f (z) dz 2πi Res f (z)iπ/3z=e+∂Tovvero -1- R √Z Z Z Z 2πi π1+ + = .- -3/2 i( )-f (x) dx f (z) dz f (x) dx f (z) dz e e 2 33Γ Γ-R -1+ R

Per i lemmi del piccolo cerchio e di Jordan rispettivamente, si trova:πi ZZ ,

−i lim f (z) dz 0lim f (z) dz e→0 3 R→+∞ ΓΓ Re quindi, +∞ π !√ √Z 2πi 12πx cos x π12= .=− −−3/2 i( 3/2) −−P.V. dx Re e e e sen3+3x 1 3 3 2 3−∞6

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA – A.A.2004-05FACOLTÀ DI INGEGNERIACorso di laurea in Ingegneria Informatica - Vecchio ordinamento.Prova scritta di Analisi Matematica III assegnata il 9 Settembre 2005.Durata della prova: due ore. È permesso consultare libri o appunti.Svolgere almeno due esercizi per intero.

Esercizio 1. Studiare i punti singolari isolati della funzione+1/ze z= ,f (z) +2z 1e calcolare i relativi residui. = = = =−i, ∞.

Svolgimento dell’esercizio 1. I punti singolari sono z 0, z i, z z Il1 2 3punto z è una singolarità di tipo essenziale mentre z e z sono poli semplici. Si ha:1 2 3+ −1/i1/i −e i e i= , = .−Res f (z) Res f (z)z z2 32i 2iPer quanto riguarda la singolarità

in zero, valutiamo il residuo all’infinito. Il residuo inzero si otterrà poi facilmente per differenza.+ 1ze z!1 1 e 1z= = .= =− −1− − −Res f (z) Res f Res Res Res∞ 0 0 0 0+ + +2 2 2 2z z 1 z 1 z z(1 z )Esercizio 2. Calcolare l’integrale +∞Z x sen x .dx+ 2 2(1 x )−∞ izze=Svolgimento dell’esercizio 2. Consideriamo la funzione f (z) nel dominio+ 2 2(1 z )= , >{z |z | ≤ =z ≥T : R 0}, con R 1. per il Teorema dei residui si ha:Z = ,f (z) dz 2πi Res f (z)i+∂Tovvero RZ Z+ = ,f (x) dx f (z) dz 2πi Res f (z)iΓ−R Re quindi valutiamo il residuo della funzione nel punto singolare i che risulta essere unpolo di ordine 2. Si ha pertanto d 1 = = ,2−Res f (z) lim f (z)(z i)i dz 4ez→i+∞,→quindi, passando al limite per R si ottiene+∞Z 2πi= .f (x) dx 4e−∞ 7R →Infatti, applicando il Lemma di Jordan è facile verificare che lim f (z) dz

1. R→+∞ Γπ Rx sen x = = f (x) l’integrale richiesto vale .Infine, siccome + 2 2(1 x ) 2e
2. Esercizio 3. Determinare il termine generale della successione
1. + + + = , ,≥(n 2)(n 1)a a 0 n 0
2. n+2 n
3. = , = .a 0 a 1
3. Svolgimento dell’esercizio 3. La determinazione può essere fatta mediante la Zeta trasfor-mata. Tuttavia, in questo caso particolarmente semplice possiamo ricavare la legge deltermine generale per via diretta. La legge ricorsiva è di passo 2 ovvero collega due termi-=ni che non sono consecutivi. Per il fatto che a 0 si ricava subito che tutti i termini di0posto pari sono nulli. Determiniamo la legge che fornisce i termini di posto dispari. Siha: n n(−1) (−1)1 = = = .= · · ·− a aa 2n−1 12n+1 + + +(2n 1)(2n) (2n 1)!