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4 La funzione è trasformabile nel senso delle funzioni in quanto sommabile in R.

Si ha: 2 2 2

= = + ,

−(x−1) −(x−1) −(x−1)

f (x) xe (x 1)e e

e quindi applicando le note proprietà della trasformata di Fourier segue subito:

ξ) = ξ) + ξ) ,

F F − − F −

( f (x); ((x 1)ϕ(x 1); (ϕ(x 1);

√ ξ

ξ) =

ϕ(x) = πe

2 2 2

−x −π

F

. Ricordando che (ϕ(x);

avendo posto e si ha: ξπ

3/2

( ! ) !

√ √

1 d ξ ξ ξ

2 2 2 2 2 2

ξ) = πe + πe = + .

−2πiξ −π −π −2πiξ−π

F −

( f (x); e e 1

2πiξ dξ i

Esercizio 3. Risolvere il seguente problema differenziale con l’aiuto della trasformata di

Laplace  + + =

00 0 −t

y 3y 2y te

 = =

0

y(0) 0, y (0) 1.

Trasformando ambo i membri si ha:

+ + = + ,

2

(s 3s 2)Y(s) 1 F(s)

dove Y(s) e F(s) denotano rispettivamente le trasformate di Laplace della funzione inco-

gnita e del termine noto. Supponendo Re s opportunamente grande, si trova:

1 F(s)

= + .

Y(s) + + + +

2 2

s 3s 2 s 3s 2

da cui, decomponendo in fratti semplici, 1 F(s) F(s)

1

= + .

− −

Y(s) + + + +

s 1 s 2 s 1 s 2

A questo punto possiamo facilmente antitrasformare e ricordando la relazione tra con-

voluzione e trasformata, si ottiene:

= + =

−t −2t −τ −2τ

− ∗ − ∗

y(t) e e ( f e )(t) ( f e )(t)

2 2

t t

= + + = + .

−t −t −2t −t −2t

−t −2t −t

− − − − −

e e e te e e e (2 t ) 2e

2 2

Esercizio 4. Calcolare l’integrale +∞

Z x cos x .

dx

+

3

x 1

−∞

L’integrale è da intendersi nel senso del valore principale a causa della singolarità non

iz

ze

= =

−1.

integrabile nel punto x Consideriamo la funzione f (z) , olomorfa nel

+

3

z 1 5

= + , ,

{z ∈ |z ≥ |z| ≤ =z ≥

dominio T : 1| R 0}. Applicando il teorema dei residui si

C

trova: Z = ,

f (z) dz 2πi Res f (z)

iπ/3

z=e

+∂T

ovvero −1− R √

Z Z Z Z 2πi π

1

+ + = .

− −

3/2 i( )

f (x) dx f (z) dz f (x) dx f (z) dz e e 2 3

3

Γ Γ

−R −1+

R

Per i lemmi del piccolo cerchio e di Jordan rispettivamente, si trova:

πi Z

Z , =

= −i lim f (z) dz 0

lim f (z) dz e

→0 3 R→+∞ Γ

Γ

R

e quindi, +∞ π !

√ √

Z 2πi 1

x cos x π

12

= .

=

− −

3/2 i( 3/2

) −

P.V. dx Re e e e sen

3

+

3

x 1 3 3 2 3

−∞

6 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA – A.A.2004-05

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di laurea in Ingegneria Informatica - Vecchio ordinamento.

Prova scritta di Analisi Matematica III assegnata il 9 Settembre 2005.

Durata della prova: due ore. È permesso consultare libri o appunti.

Svolgere almeno due esercizi per intero.

Esercizio 1. Studiare i punti singolari isolati della funzione

+

1/z

e z

= ,

f (z) +

2

z 1

e calcolare i relativi residui. = = = =

−i, ∞.

Svolgimento dell’esercizio 1. I punti singolari sono z 0, z i, z z Il

1 2 3

punto z è una singolarità di tipo essenziale mentre z e z sono poli semplici. Si ha:

1 2 3

+ −1/i

1/i −

e i e i

= , = .

Res f (z) Res f (z)

z z

2 3

2i 2i

Per quanto riguarda la singolarità in zero, valutiamo il residuo all’infinito. Il residuo in

zero si otterrà poi facilmente per differenza.

+ 1

z

e z

!

1 1 e 1

z

= = .

= =

− −1

− − −

Res f (z) Res f Res Res Res

∞ 0 0 0 0

+ + +

2 2 2 2

z z 1 z 1 z z(1 z )

Esercizio 2. Calcolare l’integrale +∞

Z x sen x .

dx

+ 2 2

(1 x )

−∞ iz

ze

=

Svolgimento dell’esercizio 2. Consideriamo la funzione f (z) nel dominio

+ 2 2

(1 z )

= , >

{z |z | ≤ =z ≥

T : R 0}, con R 1. per il Teorema dei residui si ha:

Z = ,

f (z) dz 2πi Res f (z)

i

+

∂T

ovvero R

Z Z

+ = ,

f (x) dx f (z) dz 2πi Res f (z)

i

Γ

−R R

e quindi valutiamo il residuo della funzione nel punto singolare i che risulta essere un

polo di ordine 2. Si ha pertanto d 1

= = ,

2

Res f (z) lim f (z)(z i)

i dz 4e

z→i

+∞,

quindi, passando al limite per R si ottiene

+∞

Z 2πi

= .

f (x) dx 4e

−∞ 7

R →

Infatti, applicando il Lemma di Jordan è facile verificare che lim f (z) dz 0.

R→+∞ Γ

π R

x sen x = = f (x) l’integrale richiesto vale .

Infine, siccome + 2 2

(1 x ) 2e

Esercizio 3. Determinare il termine generale della successione

 + + + = , ,

(n 2)(n 1)a a 0 n 0

 n+2 n

 = , = .

a 0 a 1

 0 1

Svolgimento dell’esercizio 3. La determinazione può essere fatta mediante la Zeta trasfor-

mata. Tuttavia, in questo caso particolarmente semplice possiamo ricavare la legge del

termine generale per via diretta. La legge ricorsiva è di passo 2 ovvero collega due termi-

=

ni che non sono consecutivi. Per il fatto che a 0 si ricava subito che tutti i termini di

0

posto pari sono nulli. Determiniamo la legge che fornisce i termini di posto dispari. Si

ha: n n

(−1) (−1)

1 = = = .

= · · ·

− a a

a 2n−1 1

2n+1 + + +

(2n 1)(2n) (2n 1)! (2n 1)!

Esercizio 4. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione

3

t .

sen t

+

2

t 1

Svolgimento dell’esercizio 4. La funzione è trasformabile come distribuzione temperata

in quanto è a crescenza lenta ma non sommabile. Si ha:

3

t t

= ,

≡ −

f (t) sen t t sen t

+ +

2 2

t 1 t 1

e quindi, applicando formule notevoli per la trasformata,

! !!

1 1

1 ϕ̂ ξ ϕ̂ ξ +

ξ) = − −

F ( f (t); 2i 2π 2π

dove si è posto πξ

1 ξ

δ , ξ .

ϕ̂(ξ) −2π| |

− ∈

≡ − e R

2πi i


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2005-2006

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher trick-master di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica III e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Zamboni Mario.

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