Analisi II

Preliminari

Durante il corso si lavorerà generalmente in R²

x ∈ R²

x = (x₁, x₂)

Def. x e y sono paralleli ⇔ y = α x (dom α ∈ R)

• (x) = (x₁, x₂)
• (y) = (y₁, y₂)

somma x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂)

differenza x - y = x + (-y)

Def. dati x = (x₁, x₂) e y = (y₁, y₂) si definisce prodotto scalare (o prodotto interno) tra x e y il numero

x · y = x < y > = x₁y₁ + x₂y₂

Proprietà:

• <x, y> = <y, x>
• -<x + y, z> = <x, z> + <y, z> (Forma bilineare)
• -<λx, y> = λ<x, y> ∀ λ ∈ R

Def. si definisce norma di x la quantità

||x|| = √<x, x> = √x₁² + x₂²

Proprietà:

• ||x|| = 0 ⇔ x = 0 (Annullamento)
• ||λx|| = |λ||| x|| (Omogeneità)
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (Disug. triang.)

∀ x, y ∈ R²

Dimostrazione dell'uguaglianza <x, y> = ||u||||v||cosθ

Si suppone che nessun vettore piú voglia essi:

Ψ = √(a² + b²)

y = b/a x

retta su cui giace il vettore Ψ

y = -a/b x + K

β = a/b α + K → K = (aα + bβ)/b

{

y = -a/b x + π/b

b/a x - a x π/b -(b/a + a/b)x - π/b →

y = b/a x

{...}

z = √(ρ² + q²) = π/(a² + b²) = π/√(a² + b²) = π/√(vρ² + b²)

Def: Chiamiamo versore un vettore Ψ di norma 1.

In R² si pone due vettori "preferenziali", che indichiamo con _e1 = (1,0) e _e2 = (0,1), che formano la base canonica di R².

Dati x = (x₁, x₂) y = (y₁, y₂)

X = x₁e₁ + x₂ e₂ y = y₁ e₁ + y₂ e₂

<x, y> = <x₁ e₁ + x₂ e₂, y₁ e₁ + y₂ e₂> =

= x₁ y₁ e₁ e₂ + x₁ y₁ e₁ e₂ + x₂ y₁ x e₁ e₂ + x₂ y₂ x e₁ e₂ + ...

FUNZIONI Rⁿ→R^k

• n = 1 e k = 1 variabile scalare a valori scalari
• n = 1 e k > 1 variabile scalare a valori vettoriali
• n > 1 e k = 1 variabile vettoriale a valori scalari
• n > 1 e k > 1 variabile vettoriale a valori vettoriali

FUNZIONI DI UNA VARIABILE A VALORI VETTORIALI (R→R²)

Sia r(t): R→R²

r(t) = (f(t), g(t)) dove f: R→R , g R→R ,

con t ∈ R.

Limiti

Def. Dato t_o ∈ R (oppure t_o sia un estremo di R), data

r R→R², diciamo che lim_t→to r(t) = L ∈ R²

lim_t→to r(t) = L <=>

• lim_t→to f(t) = L₁
• lim_t→to g(t) = L₂

Continuità

Def. Siano r: R→R² e t_o ∈ R.

r è continua in t_o <=> lim_t→to r(t) = r(t_o).

r è continua in t_o <=>

• f è continua in t_o
• g è continua in t_o

ρ(t) = (t³ - t²) t ∈ [-1,1]

ρ'(t) = (3t² - 6t) ⇒ t = 0 annulla la derivata

Eq. parametrica della retta tangente al grafico della curva

Γ(t) = r'(t_o)(t-t_o) + r(t_o)

Per ottenere la forma cartesiana

x(t_o) = α'(t_o)(t-t_o) + α(t_o)

y(t_o) = β'(t_o)(t-t_o) + β(t_o)

x - α(t_o) = α'(t_o)(t-t_o)

y - β(t_o) = β'(t_o)(t-t_o)

y - β(t_o) = β'_'(t_o)(x-α(t_o))

α'(t_o) = (α'(t_o)(y-β(t_o))) = β'(t_o)(x-α(t_o))

Dimostrare che la spirale di Archimede è una curva regolare

Teorema (Weierstrass):

Sia D ⊂ ℝⁿ un insieme compatto (⇔ chiuso + limitato)

Sia f: D → ℝ continua

Allora f ammette massimo e minimo in D.

Sia M = sup_x∈D f(x) ∈ [−∞, +∞]; si vuole mostrare che

1. M < ∞
2. ∃ x₀ ∈ D tale che f(x₀) = M

Per def. di sup esiste una succ x_n ∈ D tale che f(x_n) → M.

Poiché x_n ∈ D, D è compatto ⇒ x_n è una successione limitata

∃ x_k ∈ ℝⁿ ed una sottosucc x_nk tale che x_nk → x₀.

Poiché D è compatto (⇒ chiuso) per x_nk → x₀ ⇒ x₀ ∈ D

e usando la continuità f(x_nk) → f(x₀)

ma

f(x_nk) → M ⇒ f(x₀) = M

Per unicità del limite si conclude f(x₀) = M

Def:

Un insieme A ⊂ ℝ² è convesso se

∀ x, y ∈ A ⇒ il segmento [x y] ⊂ A

[x y] - sostegno della curva r(t) = t y + (1 - t) x con t ∈ [0,1]

Def:

A ⊂ ℝ² è connesso (per archi) se ∀ x, y ∈ A ∃ una curva

piana r : (0,1) → ℝ² tale che r(0) = x e r(1) = y

il cui sostegno sta in A, cioè r(t) ∈ A ∀ t ∈ [0,1]

Def: sia f: A ⊂ R² → R con A aperto e x_o ∈ A. f è di classe C¹ in un intorno U(x_o) di x_o ⇔ ∃ f_x e f_y in U(x_o), però funzioni continue in U(x_o).

Teorema: se f è di classe C¹ in un intorno di x_o → f è differenziabile in U(x_o). È una condizione solo sufficiente.

es. f(x, y) = x y^2/3 x_o = (0,0)

Dimostro che f non è di classe C¹ in U(x_o), ma è comunque differenziabile in tale intorno.

f_x(x_o) = y^1/3 f_y(x_o) = x / 3y^-½ (d. parziali, ma non sono continue in x_o)

La f non è di classe C¹, è comunque differenziabile?

f è differenziabile ⇔ x_o = (0,0) ⇔ lim_h→0 f(h) - O(||h||) = lim (x,y)→(0,0) x y^2/3 / √(x² + y²)

Composizione di funzioni

I) f: R^r → R

r: R → R²

h(t) = f(r(t)) : R → R, ma in mezzo c’è R^r

Se r è derivabile in t_o e f derivabile in r(t_o) → h derivabile in t_o e h'(t_o) = ⟨∇f(r(t_o)), r'(t_o)⟩

II) f: R² → R

ρ(x) = g(f(x)) : R^r → R

Sia f con gradiente in x_o e g derivabile in f(x_o)

→ ∇ρ(x_o) = g'(f(x_o)) ∇f(x_o)