PRELIMINARI
Durante il corso si lavorerà generalmente in R2
x ∈ R2
x = (x1, x2)
Def. x è y sono paralleli se y = α x (con α ∈ R)
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
somma
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
differenza
x - y = x + (-y)
Def. dati x = (x1, x2) e y = (y1, y2) si definisce prodotto scalare (o prodotto interno) tra x e y il numero
x · y = <x, y> = x1y1 + x2y2
Proprietà:
- <x, y> = <y, x>
- -<x + y, z> = <x, z> + <y, z> + <y, z>
- -<λx, y> = λ <x, y> ∀ λ ∈ R
Def. si definisce norma di x la quantità
||x|| = √ (<x, x>) = √(x12 + x22)
Proprietà:
- ||x|| = 0 <=> x = 0 (Annullamento)
- ∀ λ ∈ R
- ||λx|| = |λ| ||x|| (Omogeneità)
- ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (Disug. triang.)
- ∀x, y ∈ R2
PRELIMINARI
Durante il corso si lavorerà generalmente in R2
x ∈ R2
x = (x1, x2)
Def. x e y sono paralleli se y = α x (con α ∈ R)
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
somma
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
differenza
x - y = x + (-y)
Def. dati x = (x1, x2) e y = (y1, y2) si definisce prodotto scalare (o prodotto interno) tra x e y il numero
x · y = < x, y > = x1y1 + x2y2
Proprietà: < x, y > = < y, x >
- < x, y + z > = < x, z > + < y, z >
- λ < x, y > = λ < x, y > ∀ λ ∈ R
Def. si definisce norma di x la quantità
||x|| = √< < x, x >
= √(x12 + x22)
Proprietà:
· ||x|| = 0 <=> x = 0 (Annullamento)
· ||λ x|| = |λ| ||x|| (Omogeneità)
· ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (Disug. triang.)
∀x, y ∈ R2
Dimostrazione dell'uguaglianza
<u v> = ||u|| ||v|| cos θ
Si suppone che nessun vettore più sugli assi.
u = √a²+b²
retta su cui giace il vettore y
γ = -α/b x + k
β = α/b α + k
χ = b/a x
ξ =
{γ = -α/b x + π/by = b/a x
π/a²+b² = ρπb/a²+b² = q
||z|| = √ρ²+q²
Def.: Chiamiamo versore un vettore y di norma 1.
In R² ci sono due versori "preferenziali" che indichiamo con e₁ = (1,0) e e₂ = (0,1), che formano la base canonica di R².
Dati x = (x₁,x₂) y = (y₁,y₂)
x = x₁ e₁ + x₂ e₂
y = y₁ e₁ + y₂ e₂
<x,y> = <x₁ e₁ + x₂ e₂
<y₁ e₁ + y₂ e₂>
= x₁ y₁ <e₁,e₁> + x₁ y₂ <e₁,e₂> + x₂ y₁ <e₂,e₁> + x₂ y₂ <e₂,e₂>
Def. Due vettori sono ortogonali se <u, v> = 0
N.B. Talvolta può essere conveniente rappresentare X = (x1, x2) come una matrice colonna
X = [x1][x2] XT = [x1, x2]
<x, y> = xTy = [x1, x2] [y1][y2] = x1y1 + x2y2
SUCCESSIONI IN R2
È una funzione da N → R2
Def. Una successione xn = (an, bn) converge a L = (L1, L2) se ||xn-L|| → 0 (oppure ∀ n0 tale che per n >= n0 => ||xn - L|| < ε)
Infatti √(an-L1)2 + (bn-L2)2) → 0 ⇔ {an → L1
bn → L2}
Def. xn è limitata se ∃ K > 0 tale che ||xn|| ≤ K ∀ n.
TOPOLOGIA DI R2
Sia A ⊆ R2 e A ≠ ∅
Def. A è limitato se ∃ K > 0 tale che ||x|| ≤ K &
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