Analisi Matematica II

PIANO TANGENTE

Per funzioni di una variabile, definire la derivata equivale sostanzialmente a definire la retta tangente

a livello geometrico. In due variabili il problema analogo è quello di definire il piano tangente al

grafico.

DIFFERENZIABILITÀ

La differenziabilità di una funzione di più variabili coincide con il concetto di differenziale per le

funzioni ad una sola variabile. Infatti, il concetto di differenziabilità afferma che l’incremento di f è

uguale all’incremento calcolato lungo il piano tangente sommato ad un infinitesimo di ordine

superiore rispetto alla lunghezza dell’incremento (h, k) delle variabili indipendenti.

( ) ( ) ∂f ∂f ( )

( )( ) ( )( ) 2 2

f x + h, y + k − f x , y = x , y x − x + x , y y − y + o h + k

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∂x ∂ y

Se questa formula è verificata ditemi che la funzione è differenziabile e implica la continuità, la

derivabilità e l’esistenza del piano tangente. Tuttavia non è facile da verificare direttamente e per

questo si dimostra attraverso l’uso dei limiti. Ad esempio, nel caso n = 2 dimostrare la

differenziabilità significa provare che:

( ) ( ) ( ) ( )

f x + h, y + k − f x , y − f x , y h − f x , y k

0 0 0 0 x 0 0 y 0 0

lim =0

( ) h + k

2 2

h,k →(0, 0) Appunti di Analisi Matematica II

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE (CONDIZ. SUFFICIENTE DI DIFFERENZIABILITÀ)

n

f : A ⊆ ℝ → ℝ e x ∈ A . f x

Siano Se le derivate parziali di esistono in un intorno di e sono

0 0

x

continue in allora la funzione si dice differenziabile in quel punto. Se le derivate parziali esistono e

0 A A

sono continue in tutto , allora la funzione si dice differenziabile in tutto il dominio . 1

C (A)

Una funzione le cui derivate parziali esistono e sono continue in tutto A si dice di classe e si

1

f ∈ C (A)

scrive , quindi: 1

f ∈ C (A) → f di f ferenziabile in A

DERIVATE DIREZIONALI

Per una funzione di più variabili la derivata parziale misura la velocità di crescita della stessa

funzione nella direzione di un asse. Per determinare, invece, la velocità di crescita della funzione,

anche in direzioni diverse da quelle degli assi, si utilizza la derivata direzionale che è definita come:

( ) ( )

f x + t v , y + t v − f x , y

( ) 0 1 0 2 0 0

D f x , y = lim

v 0 0 t

t→0

FORMULA DEL GRADIENTE

La formula del gradiente ci fornisce la relazione tra derivate direzionali ed appunto gradiente, ed

afferma che per funzioni di più variabili differenziabili vale l’identità:

∂f ∂f

( ) ( ) ( ) ( )

D f x , y = ∇f x , y · v = x , y v + x , y v

v 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2

∂x ∂ y

TEOREMA DI SCHWARZ

n

f : A ⊆ ℝ → ℝ A

Sia con aperto. Si suppone che le derivate parziali miste esistano nell’intorno di

un punto e siano entrambe continue in quel punto. Allora, si può affermare che le stesse derivate

coincidono. Nel caso n = 2 avremo: f (x, y) = f (x, y)

xy yx

TEOREMA DI FERMAT (ESTREMI LIBERI: COND. NECESSARIE DEL PRIMO ORDINE)

n

f : A ⊆ ℝ → ℝ A x ∈ A f f

Siano con aperto e un punto di massimo o di minimo locale per . Se è

0

( )

x ∇f x = 0

derivabile in allora . L’annullamento delle derivate parziali di una funzione derivabile

0 0

in un punto del dominio è, dunque, condizione necessaria affinché lo stesso punto sia di massima o

di minimo relativo per la funzione.

Appunti di Analisi Matematica II

STUDIO DELLA NATURA DEI PUNTI CRITICI

2 2

f ∈ C (A) A ℝ (x , y ) ∈ A f

Siano , aperto di , un punto critico per e

0 0 ( ) ( )

f x , y f x , y

( )

xx 0 0 xy 0 0

( )

H x , y = ( ) ( )

f 0 0 f x , y f x , y

yx 0 0 yy 0 0

f

la matrice Hessiana di nel punto critico. Allora:

detH (x , y ) > 0

- se e

f 0 0 f (x , y ) > 0 (x , y )

allora è punto di minimo locale;

xx 0 0 0 0

f (x , y ) < 0 (x , y )

allora è punto di massimo locale;

xx 0 0 0 0

detH (x , y ) < 0 (x , y )

- se allora è punto di sella;

f 0 0 0 0

detH (x , y ) = 0

- se occorrono ulteriori analisi poiché è un caso dubbio.

f 0 0

TEOREMA DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE (ESTREMI VINCOLATI)

1 2

f, g ∈ C (ℝ ) (x*, y*) g(x, y) = b

Siano e punto di estremo vincolato sotto il vincolo .

(x*, y*) ∇g(x*, y*) ≠ (0, 0) λ ∈ ℝ

Se è regolare per il vincolo, ovvero , allora esiste , detto

moltiplicatore di Lagrange, tale che:

( ) ( )

∇f x * , y * = λ * ∇g x * , y *

L = L(x, y, λ)

Introducendo la funzione , detta lagrangiana, definita da:

L(x, y, λ) = f (x, y) − λ[g(x, y) − b]

(x*, y*) f λ *

Il teorema afferma che se è un punto di estremo vincolato per , allora esiste tale che il

(x * , y * , λ*)

punto sia punto di estremo libero per L. Infatti i punti critici di L sono soluzioni del

sistema: L = f − λg = 0

x x x

L = f − λg = 0

y y y

L = b − g = 0

λ

METODO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE g(x, y) = b

1. Si isolano gli eventuali punti non regolari dell’insieme , che vanno esaminati a parte;

2. Si cercano i punti critici della lagrangiana;

3. Si determina la natura dei punti critici (a questo proposito risulta spesso utile il teorema di

weierstrass);

TEOREMA DEL DINI (FUNZIONI IMPLICITE)

2 1

A ℝ f : A → ℝ C (A) (x , y ) ∈ A

Sia un aperto di e una funzione . Supponiamo che in un punto 0 0

f (x , y ) = 0 e f (x , y ) ≠ 0 I x ℝ

sia . Allora esiste un intorno di di in e una funzione

0 0 y 0 0 0

g : I → ℝ y = g(x ) f (x, g(x)) = 0 x ∈ I

, tale che e , per ogni .

0 0 f (x, g(x))

x

1

g ∈ C (I ) g′

(x) = − x ∈ I

Inoltre, e , per ogni .

f (x, g(x))

y

Appunti di Analisi Matematica II

INSIEMI SEMPLICI E REGOLARI

2

E ⊆ ℝ

Un insieme si dice y-semplice se è del tipo:

2

E = {(x, y) ∈ ℝ : x ∈ [a, b], g (x) ≤ y ≤ g (x)}

1 2

2

E ⊆ ℝ

Un insieme si dice x-semplice se è del tipo:

2

E = {(x, y) ∈ ℝ : y ∈ [c, d ], h (y) ≤ x ≤ h (y)}

1 2

INTEGRALI DOPPI 2

f : D → ℝ D ⊆ ℝ

Sia una funzione continua, con limitato. Si definisce l’integrale doppio come:

∬

I = f (x, y) d xdy

D

I

Dove è il volume contenuto tra:

2

D ℝ

- il dominio contenuto in ;

f

- Il grafico della funzione ;

d xdy D

indica l’elemento d’area della base ;

f (x, y)d xdy indica il volume di un parallelepipedo al di sopra dell’elemento d’area.

Appunti di Analisi Matematica II

CALCOLO DI INTEGRALI DOPPI: METODO DI RIDUZIONE

- INSIEME X-SEMPLICE 2

D = {(x, y) ∈ ℝ : y ∈ [c, d ], h (y) ≤ x ≤ h (y)}

1 2

d h (y)

∬ ∫ ∫ 2

f (x, y) d xdy = dy f (x, y)d x

D c h (y)

1

- INSIEME Y-SEMPLICE 2

D = {(x, y) ∈ ℝ : x ∈ [a, b], g (x) ≤ y ≤ g (x)}

1 2

b g (x)

∬ ∫ ∫ 2

f (x, y) d xdy = dx f (x, y)dy

D a g (x)

1

CALCOLO DI INTEGRALI DOPPI: METODO DI CAMBIAMENTO DI VARIABILI

∬ ∬ | |

f (x, y) d xdy = f (g(x, y), h(u, v)) detDT(u, v) dudv

D D′ ( )

g h

u u

DT(u, v) = g h

v v

CALCOLO DI INTEGRALI DOPPI: METODO DELLE COORDINATE POLARI

{ x = ρ cosθ d xdy = ρdρdθ

y = ρ senθ ∬ ∬

f (x, y) d xdy = f (ρ cos θ, ρsenθ ) ρdρdϑ

D D′

INTEGRALI TRIPLI: INTEGRAZIONE PER FILI

3

Ω = {(x, y, z) ∈ ℝ : (x, y) ∈ D, g (x, y) ≤ z ≤ g (x, y)}

1 2

g

∭ ∬ ∫ 2(x,y)

f (x, y, z) d xdydz = f (x, y, z) dz d xdy

Ω D g

1(x,y)

INTEGRALI TRIPLI: INTEGRAZIONE PER STRATI

3

Ω = {(x, y, z) ∈ ℝ : (x, y) ∈ Ω(z), h ≤ z ≤ h }

1 2

h ( )

∭ ∫ ∬

2

f (x, y, z) d xdydz = f (x, y, z) d xdy dz

Ω h Ω(z)

1

Appunti di Analisi Matematica II

SUPERFICI REGOLARI IN FORMA PARAMETRICA ⊆ → =

2 3

Una superficie in forma parametrica è una funzione con e

! !

r : A r r(x, y, z)

⎧ =

x x(u,v)

⎪ = ∈

y y(u,v) con (u,v) A

⎨

⎪ =

z z(u,v)

⎩

= → ⊆

3 2

Una superficie parametrizzata da , , , si dice regolare se r è differenziabile

! !

r r(u,v) r : A A

in e inoltre la matrice Jacobiana di r ha caratteristica due in ogni punto di . Se in qualche punto di

A A

le condizioni vengono violate, chiameremo punti singolari della superficie i punti corrispondenti.

A

CAMPI VETTORIALI

Si definisce campo vettoriale una funzione che ad ogni punto dello spazio fisico e in ogni istante

assegna un vettore. Se il campo non varia nel tempo si dice stazionario. Per un campo vettoriale

Ω ⊆ →

stazionario si usano le notazioni:

3 3

! !

F : = + +

F(x, y, z) F (x, y, z)i F (x, y, z) j F (x, y, z)k

1 2 3

oppure =

F(x, y, z) (F (x, y, z), F (x, y, z), F (x, y, z))

1 2 3

OPERATORE ROTORE

Ω ⊆ →

3 3 1

Sia un campo vettoriale di classe . Si definisce rotore di il campo:

! !

F : C ( A) F

⎛ ⎞

i j k

⎜ ⎟

= ∇ × = ∂x ∂ ∂z

rotF F y

⎜ ⎟

⎜ ⎟

F F F

⎝ ⎠

1 2 3

OPERATORE DIVERGENZA

Ω ⊆ →

3 3 1

Sia un campo vettoriale di classe . Si definisce divergenza di il campo:

! !

F : C ( A) F

∂F ∂F ∂F

= ∇ ⋅ = + +

divF F 1 2 3

∂x ∂ ∂z

y

INTEGRALE DI LINEA: LAVORO E CIRCUITAZIONE

γ = + + ∈[a,b]

Sia un arco di curva regolare a tratta, parametrizzata da .

r(t) x(t)i y(t) j z(t)k con t

γ

Definiamo l’integrale di linea (o lavoro) di lungo , l’integrale:

F b

∫ ∫

⋅ = ⋅

F dr F(r(t)) r '(t) dt

γ a

Questo integrale rappresenta pertanto il lavoro totale compiuto dal campo vettoriale per spostare il

γ

suo punto di applicazione da a lungo . Se la curva è semplice e chiusa si utilizza il

r(a) r(b)

∫ ⋅

!

simbolo e viene denominato circuitazione del campo .

F dr F

γ

CAMPI CONSERVATICI E POTENZIALI

Ω ⊆ → Ω

3 3 1

Un campo vettorial