Analisi Matematica II

Appunti di analisi matematica II

Avvertenze: All’interno del documento il lettore potrebbe riscontrare errori di battitura o definizioni non ben precise poiché questa dispensa di appunti è scritta sulla base di studi sperimentali e vuole essere di supporto all’utente che ne fa uso.

Funzioni reali di più variabili reali

Le funzioni di più variabili sono un’estensione del concetto di funzione di una sola variabile. Entrambe associano ad ogni elemento del dominio un solo elemento del codominio. Tuttavia, mentre il dominio delle funzioni ad una variabile è composto da un solo scalare, per le funzioni a più variabili il dominio sarà composto da n-uple di valori scalari.

Grafici e insiemi di livello

La rappresentazione grafica di funzioni a più variabili può risultare molto difficile poiché si dovrebbe lavorare su grafici in 3 o più dimensioni, perciò si ricorre agli insiemi di livello. Un insieme di livello è l’insieme dei punti del dominio che verificano l’equazione:

f(x, y) = c con c ∈ ℝ

Derivate parziali

La derivazione di funzioni di più variabili si risolve incrementando la funzione una variabile alla volta. Ad esempio, nel caso di n = 2, ovvero di funzioni di due variabili, si può tenere costante il valore y = y₀ ed ottenere la derivata parziale rispetto ad x:

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}\]

Oppure si può tenere costante il valore x = x₀ ed ottenere la derivata parziale rispetto ad y:

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + k) - f(x_0, y_0)}{k}\]

Funzioni derivabili e continuità

Una funzione di più variabili, si dice derivabile in un punto del suo dominio se esistono tutte le sue derivate parziali in quel punto; si dice derivabile nel suo dominio se è derivabile in ogni punto del suo dominio. Se una funzione di più variabili è derivabile chiameremo gradiente il vettore delle sue derivate parziali e lo indicheremo con il simbolo ∇f(x, y).

Piano tangente

Per funzioni di una variabile, definire la derivata equivale sostanzialmente a definire la retta tangente a livello geometrico. In due variabili il problema analogo è quello di definire il piano tangente al grafico.

Differenziabilità

La differenziabilità di una funzione di più variabili coincide con il concetto di differenziale per le funzioni ad una sola variabile. Infatti, il concetto di differenziabilità afferma che l’incremento di f è uguale all’incremento calcolato lungo il piano tangente sommato ad un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell’incremento (h, k) delle variabili indipendenti.

\[f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0) + o(h^2 + k^2)\]

Se questa formula è verificata diciamo che la funzione è differenziabile e implica la continuità, la derivabilità e l’esistenza del piano tangente. Tuttavia, non è facile da verificare direttamente e per questo si dimostra attraverso l’uso dei limiti. Ad esempio, nel caso n = 2 dimostrare la differenziabilità significa provare che:

\[\lim_{h,k \to (0, 0)} \frac{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k}{h^2 + k^2} = 0\]

Teorema del differenziale totale (condiz. sufficiente di differenziabilità)

Siano \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) e \( x_0 \in A \). Se le derivate parziali di f esistono in un intorno di \( x_0 \) e sono continue in \( x_0 \), allora la funzione si dice differenziabile in quel punto. Se le derivate parziali esistono e sono continue in tutto A, allora la funzione si dice differenziabile in tutto il dominio A. Una funzione le cui derivate parziali esistono e sono continue in tutto A si dice di classe \( C^1(A) \) e si scrive \( f \in C^1(A) \), quindi: \( f \in C^1(A) \Rightarrow f \) differenziabile in A.

Derivate direzionali

Per una funzione di più variabili la derivata parziale misura la velocità di crescita della stessa funzione nella direzione di un asse. Per determinare, invece, la velocità di crescita della funzione, anche in direzioni diverse da quelle degli assi, si utilizza la derivata direzionale che è definita come:

\[D_vf(x_0, y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t v_1, y_0 + t v_2) - f(x_0, y_0)}{t}\]

Formula del gradiente

La formula del gradiente ci fornisce la relazione tra derivate direzionali ed appunto gradiente, ed afferma che per funzioni di più variabili differenziabili vale l’identità:

\[D_vf(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot v = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)v_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)v_2\]

Teorema di Schwarz

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) con A aperto. Si suppone che le derivate parziali miste esistano nell’intorno di un punto e siano entrambe continue in quel punto. Allora, si può affermare che le stesse derivate coincidono.