Analisi Matematica II

Serie numeriche

Serie geometrica

∑ xⁿ _{n = 0}

• |x| < 1
• |x| > 1
• x = ± 1

La serie converge a → (1 - xⁿ⁺¹) / (1 - x)

La serie diverge

La serie è indeterminata

Serie armonica

∑ 1/n _{n = 1}

La serie è divergente

Serie armonica generalizzata

∑ 1/n^α _{n = 1}

• Diverge per α ≤ 1
• Converge per α > 1

Serie armonica a segni alterni

∑ (-1)ⁿ⁺¹/n _{n = 1}

Per il criterio di Leibniz converge:

|1/n| > |1/(n+1)|

Condizione necessaria:

se _n=0Σa_n allora: ^lim_an→∞ a_n = 0 [non è vero il contrario]

Criterio del confronto:

se _n=0Σ b_n converge e b_n ≤ a_n ∀n allora

_n=0Σ a_n converge

se _n=0Σa_n diverge e b_n ≥ a_n allora

_n=0Σ b_n diverge

Criterio dell'assoluto convergenza:

se _n=0Σ |a_n| converge allora _n=0Σ a_n converge

Criterio del rapporto:

_n=0Σ a_n lim

^a_n+1/_an = l

• <1 converge
• >1 diverge
• =1 non si può stabilire la convergenza

Criterio della radice:

_n=0Σ a_n se ^lim_n&rar;∞ ^n√a_n = l

• <1 converge
• >1 diverge
• =1 non si può stabilire la convergenza

Criterio di Leibniz

Per serie di segno alterno

_n=0Σ a_n se |a_n+1| > |a_n+1| > 0 ∀n < N e ^lim_n&rar;∞ |a_n| = 0

allora la serie è convergente

Serie derivata

F(x) = ∑_n=0^+∞ a_nxⁿ

F'(x) = ∑_n=0^+∞ (na_n)x^n-1

Serie integrata

F(x) = ∑_n=0^+∞ a_nxⁿ

F(x) = ∫₀^x F'(x) dt = ∑_n=0^+∞ a_nⁿ/(n+1)

Integrazione di funzioni non integrabili elementarmente con serie integrata

∫₀^a (sinx) / x dx

sinx / x = ∑_n=0^+∞ (-1)ⁿx²ⁿ / (2n)!

∫₀^a (sinx) / x dx = ∑_n=0^+∞ (-1)ⁿ/(2n)! ∫₀^a x²ⁿ dx

Serie di Taylor

F ∈ C^∞ prov |x-x₀|<v

Si dice che F(x) è sviluppabile in serie di Taylor se F(x) - ∑_n=0^+∞ F⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x-x₀)

Esistono funzioni di cui esiste la serie di Taylor ma non uguale alla funzione data

esempio: F(x)=

• e^-1/x2 x≠0
• 0 x=0

Formula di Eulero e altre osservazioni

e^iθ = cosθ + i sinθ

z ∈ ℂ, z = x + i y

e^z = ∑_k=0^∞ (z^k / k!)

e^iθ = ∑_k=0^∞ (iθ)^k / k!

∑_k=0^∞ (i^k / k! * θ^k / k!)

∑_k=0^∞ [(i^k+1 + 1) / (2k+1)!] * θ^2k+1 + ∑_k=0^∞ θ^2k / (2k)!

e^ix = cosx + i sinx

e^-ix = cosx - i sinx

cosx = (e^ix + e^-ix) / 2

sinx = (e^ix - e^-ix) / 2i

2cosx₁cosx₂ = sin(x₁+x₂) + i sin(x₂-x₁)

sin(x₁+x₂) + sin(x₂-x₁)

Condizioni di Cauchy-Riemann

Sia data F(z): ℂ → ℂ

ps. F(z) = z^α, z^–x+iy, F(x+iy) = x–iy, z∉ℝ∗

si dividano le funzioni in due sottofunzioni μ(x,y), v(x,y) tali

che F(z) = μ(x,y) + iv(x,y)

F(x+iy) = μ(x,y) + iv(x,y)

μ(x,y) = x v(x,y) = –y

derivata di F(z):

F'(z) = lim_Δz→0 ^{F(z+Δz) – F(z)}/_Δz

F(ζ) = μ(x,y) + i(v(x,y))

dF(z)/dz = d(μ(x,y)+ iv(x,y))/dz =

lim_Δz→0 ^{μ(x+Δx, y+Δy) – μ(x,y) + i(v(x+Δx, y+Δy) – v(x,y))}/_Δx±iΔy

assumo che il limite esista

calcolo il limite per l'asse x e per l'asse y

(Δx,0) lim_Δx→0 ^{μ(x+Δx,y) – μ(x,y) + i(v(x+Δx,y) – v(x,y))}/_Δx =

[0,Δy] lim_Δx→0 ^{μ(x, y+Δy) – μ(x,y) + i(v(x,y+Δy) – v(x,y))}/_iΔy =

lim_{(Δx,0) Δx→0} = ∂μ(x,y)/∂x + i ∂v(x,y)/∂x

lim_{Δy→0 (0,Δy)} = i ∂μ(x,y)/∂y + i ∂v(x,y)/∂y

Polinomio trigonometrico

F(x) = _a0/2 + ∑_k=1^∞ [a_kcos(kx) + b_ksen(kx)]

Serie di Fourier

La serie di Fourier permette di:

• approssimare funzioni periodiche
• con un polinomio trigonometrico

Calcolo del coefficiente a_k

F(x) = _a0/2 + ∑_k=1^∞ a_kcos(kx)

∫_-π^π f(x)cos(mx) dx =

∫_-π^π _a0/2 cos(mx) dx + ∑_k=1^∞ ∫_-π^π a_kcos(kx)cos(mx) dx +

∑_k=1^∞ b_k ∫_-π^π sen(kx)cos(mx) dx → ∫_-π^π f(x)cos(mx) dx = Qmπ

≤ ∫_-π^π |F(x)-S_n(x)|² dx = ∫_-π^π F(x)² dx - (a₀/2)² + ∑_k=1ⁿ a_k² + ∑_k=1ⁿ b_k²

se F(x) è integrabile e limitata la serie converge

>∫_-π^π F(x)² dx ≥ (a₀/2)² + ∑_k=1ⁿ a_k² + ∑_k=1ⁿ b_k² = (a₀/2)² + ∑_k=1^∞ (a_k² + b_k²) convegente

la serie è convergente

quindi lim_n→∞ a_k² + b_k² = 0

lim_n→∞ a_n² = 0 b_k² = 0 → a_n → 0 b_n → 0

lim_-π^π ∫_π F(x) cos kx → 0

lim_-π^π ∫_π F(x) sen kx → 0

NUCLEO DI DIRICHLET

∀n ∈ ℕ

1/2 + ∑_k=0ⁿ cos kx = sin((n+1/2)x) / 2sin(x/2)

D_n(x) = ∑_k=-nⁿ e^{i kx} = 1 + 2 ∑_k=1ⁿ cos kx

∑_k=-nⁿ e^{i kx} = 1 + 2 (sin[(n+1/2)x] / 2sin(x/2)) - 1/2 = sin[(n+1/2)x] / sin(x/2)

VI)

│x| - |z₂|│ ≪ |x-y+u| > |x-y|+|u| → ||z₁-z₂|| ≤ |x-y|

|y| - |y₂|│ ℷ |x-y|+|y+u| → | |y₁-y₂|| ≤ |y-z|

-||z₁-z₂|| ≤ |x||x-y|||y₂|

|x||y| ≤ |x-y|

INTORNI IN ℝ²

in ℝ un intorno di centro x₀ e raggio ε è: I_ε(x₀) = {x ∊ℝ| {x│ - x₀│ < ε{

in ℝⁿ

• intorno B_δ(x₀) = {x∼∊ℝ² ∪ ||x-z₀|| < δ{

x₀∊Åℝ x₀ = (x₁,x₂), d = 4

se ⌈ B_s(x₀) ẃ A

A se B_s(x₀)℅^c

Nozioni Fondamentali in ℝ²

• P.to di frontiera di A x₀ si dice P.to di Frontiera di A
• P.to di accumulazione per A x₀ ∊~ ⌈3
• ⌈ Åℶ sono gli unici
• Se A^- &supere;&supere;A^