Serie notevoli
Serie geometrica
∑ xn: |x| < 1, |x| > 1, x = 1
La serie converge a 1−xn+1 / 1−x, la serie diverge, la serie è indeterminata
Serie armonica
∑ 1/n la serie è divergente
Serie armonica generalizzata
∑ 1/nα diverge per α ≤ 1, converge per α > 1
Serie armonica a segni alterni
∑ (-1)n-1 1/n Per il criterio di Leibniz converge: |1/n| > |1/n+1|
Serie numeriche
Serie geometrica
∑n=0 xn: |x| < 1, |x| > 1, x = ±1
La serie converge a → (1-xn+1)/(1-x), la serie diverge, la serie è indeterminata
Serie armonica
∑n=1 1/n la serie è divergente
Serie armonica generalizzata
∑n=1 1/nα diverge per α≤1, converge per α>1
Serie armonica a segni alterni
∑n=1 (-1)n+1 1/n Per il criterio di Leibniz converge: |1/n| > |1/n+1|
Criteri di convergenza
Condizione necessaria
Se an allora: lim n→∞ an = 0
Criterio del confronto
- Se ∑n=0∞ dn converge e bn ≤ dn ∀n allora ∑n=0∞ bn converge
- Se ∑n=0∞ bn diverge e bn ≥ dn allora ∑n=0∞ dn diverge
Criterio dell'assoluto convergenza
Se ∑n=0∞ |an| converge allora ∑n=0∞ an converge
Criterio del rapporto
∑n=0∞ an se lim n→∞ |an+1 / an| = α < 1 converge, > 1 diverge, = 1 non si può stabilire la convergenza
Criterio della radice
∑n=0∞ an se lim n→∞ n√|an| = α < 1 converge, > 1 diverge, = 1 non si può stabilire la convergenza
Criterio di Leibniz
Per serie di segno alterno ∑n=0∞ an se [an] ≥ [an+1] > 0 ∀n < N e limn→∞ |an| = 0 allora la serie è convergente
Teorema 1.1
Se la serie di potenze Σ anxn converge in un punto x0 allora la serie converge ∀x∈ℝ con |x|<|x0|
Dimostrazione
Σ anx0n Per ipotesi converge
lim anx0n = 0 (lim ann = l def: di limite di una successione: ∀ε>0 ∃Nε | ∀n>Nε → |bn - l| < ε
lim anxnn = 0 ∃Nε | ∀n>Nε | |anxn-0| < ε
Scelgo ε = l per Nε = N|anxn| < 1 a th n>N|an| = |anx0n| • |xn / x0n|< |xn / x0n|
Moltiplica e divido per x0n Per ipotesi: |anx0n| → | x / x0| < 1 |anxn| • |x / x0|n serie geometrica con argomento minore di an convergente.
Per le serie di potenza l'insieme delle x per cui la serie converge è sempre un intervallo, la metà della lunghezza dell'intervallo è detto raggio di convergenza
Calcolo della raggio di convergenza
Criterio di Cauchy (o della radice)
Data una serie di potenze ∑n=0+\infty an xn
Se esiste il limite &lim; n→+\infty √n|an| = l allora il raggio di convergenza della serie è r = 1/l
Criterio di D'Alembert (o del rapporto)
Data una serie di potenze ∑n=0+\infty an xn
Se esiste il limite &lim; n→+\infty |an+1/an| = l allora il raggio di convergenza è r = 1/l
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