Simbolismo :
It ogni
. per
tale che
:
- ¥ esiste
esiste ! esiste
i unico
non appartiene
appartiene ¢
e
- non
implica implica
¥ solo
i se e se
non
contenuto strettamente
contenuto
€
E
- lnsiemeeiunacsllezionedioggel.li/elemen-
{ {
} } caratteristica
proprietà
4
A mettili 25ns
3,4
2.
> - A
elementi
elenco di di
¢ vuoto
insieme )
U ( B
fissato A
- universo insieme
; ,
B
A appartiene B
elemento anche
1 di A
e ogni a
se }
{ XIXEA XEB
Avb
2 ' unione
oppure }
{
DnB XEB intersezione
XIXEA
3 = e }
{
b)
4 beb differenza
beh
A = :
{ }
' di A Es
complementare
A VIA
xeu
5 A
:#
= = : }
:{ 13=11,23
:{
}
NB cartesiano A
G b)
( bob
idea prodotto p
d.
a. ,
un 3
:{
A' ;D
del 2)
NB (
B ;D
IL (
elemento ;D
la
insieme p p
generico -
, .
, ,
:{ }
IN 1 2,3 n
- *
. . .
. .
, . .
, ,
↳ naturali
insieme numeri
↳ algebriche
Operazioni t
: '
, naturali
d' confrontare
totale
Relazione ordine 2 numeri
sempre
posso
:
(
Problema ottenendo
)
sottrazione naturali
sottrarre 2
: numeri
sempre un
non posso
naturale
numero
{ }
E 0,1--1,1=2
- .in
- . . -
. - "
,
,
↳ interi
insieme numeri
Operazioni algebriche t .
: , totale
Relazione di ordine
Problema ( ) ottiene intero
2
divisione dividendo interi si
numeri
: sempre
non un
}
{ Fipe go.IN si
A- m.co.cr g)
]
- ,
, ,
↳ insieme nazionali
numeri
d' totale
Relazione ordine
Operazioni algebriche t -
: , l' PG
④
Vas % opposto
1 di il razionale
è -
a =
e a -
numero
, =⑧
,
Va %
l' razionale
di
0
2 il ↳
a-
inverso è
dio
= a numero
, ,
Dati PG desktop
Divisione
3 da
e #
a 0
-
: ,
, ,
, ,
definiamo %E2.at 9¥
' .
Problema : ?
' 1+1=2 pitagora
d
, - iadè
punto d'
{ il su
e , ?
° razionale
numero
un
d'
Teorema No
$ formulazione
=L geometrica
de i
:
Per 49 t.c.at?2 ?
Dim ④
assurdo D= ④
che de
e
supponiamo i
: , g) 1
(
D. formulazione
↳ M C. algebrica
=
p
. , )
pygi-2-p-2qz-pps.si ( IN
pin
pari
p me
, ( )
12nF IN
4h25 of
292 2ns 2M
- q pari me
q >
,
loro
tra Assurdo
entrambi
perché
primi pari
sono
q
p e sono
non
IR reali
- insieme numeri
:& la
§ di
siamo A. B
Q
A. A. ④
B B
e # sezione
'
coppia
E se
e una :
.
,
- È AUB
1
E =
È !
! ?!
! B
3 b
↳ ↳
a si separazione
«
2 . dice "
" demonio
!!? " si
" %
È "
" "
!! "
"
% ;; "
; ;
↳ ?
Domanda ④ elemento
di separatore ④
ammette in
sezione
ogni oppure no
: go.Qiqso3usqc.IQ }
:{
No A
÷ risposta din gas 2
: qoo e
:
: :{ }
B impossibile
qua
¥ iqoo
qe e 1%2
( ) le (
separatore lodi
le
ha elemento
HB
È Q a.
perche
- non
a separatore
ammette elemento
④ Lacuna
Una che
di ④ dice
sezione in si
non
{
} }
:{
IR irrazionali
nazionali u n
n .
.
< )
)
(
Vantaggi irrazionale
ben
Ogni
1 individua
④
di razionale
reale
preciso
sezione
: numero
un
{ } biunivoco
IR retta
2 punti della
Proprietà IR
di :
| b.cc/R
Ha
) ha
(
proprietà algebriche t si
.
- , , )
b) alba
la
)
b)
^ atlbtc 5
la =
te
+ = e
ab :b
b 6
2 :b
a a
+ ,
i. !
: !
"
÷ si si
sina.oiaa-i.ir
. d' totale
Ordinamento possibile
IR
dati be
IR ordine
relazione → cioe è
a
'
in '
- c' e sempre
una
e
: ,
,
acb
stabilire compatibile
aob le
:b algebriche
operazioni
a
se con
, ,
) continuità IR
Siamo
Completezza la
BEIR (
A. B) di
9 A.
A. #
B sezione
è
coppia se
una
: :
,
( BAR
Au
1 :p
Anb
2 Yacht
3 ha
V. acb
beh separazione
si
e ,
# B)
Assioma %
!
! te !
di ! !
completezza !!!
?
di "
ogni sezione
per !
!
: »
,
se
Intervallo (
di )
estremi acb
b
a.
{
fa b) xc.lt?iasxsb3a#I
1 =
,
intervallo chiuso
( }
b) :{
2 aexab
xc.IR
a. ¥"÷÷
:
intervallo aperto }
b) :{
fa sxcb
3 xc.IR a È
: "
, aperto destra
sinistra
intervallo chiuso viceversa
e a
a e
Proprietà sottoinsiemi IR
dei di :
sia E- IR EH
c. , )
[ { Max V-x.ee (
M esiste dice
tale
Diremmo E
MEIR Ec
ammette
E
che si
se
massimo max
m
se . "
{ " )
(
IÌ esiste E
che ?
nell tale
ammette
Diremmo I Ec
E dice min
si
minimo se
se m
.
sia Ee 4
IR e ⇐
, }
[ {
ltxe IR
dell te
? tax EÈ
E maggioranti
mi di
di E
maggiorente
dice
si se { ?
Hee
IR minorarle
nell
minorarle di
dice di E =
si
c- nsx
se m .
E
Def sia EEIR che
diremo
9
#
: :
,
E limitato superiormente
^ maggiorente
§ almeno
m.IE
) #
è se un
limitato interiormente
E
2 § almeno minorarle
E
)
m.ee #
è se un
$
illimitato superiormente
E
3 maggioranti
=p
è se mi
. minorarsi
inferiormente
illimitato
E
4 $
m.IE) :X
è se
limitato
limitato
F- interiormente
superiormente
dice è sia
si sia
se
Teorema EEIR E
sia 4
#
: , )
minimi
piccolo
superiormente
E limitato maggiorenti di
^ Se dei E
allora I
il .IE
più cioè
è ,
,
Tale estremo supE-iminlmi.IE
E
reale di
dice )
)
superiore
si
numero inferiormente
Se E minorati
limitato allora maxim
]
2 di
dei E
] il grande
è più cioè
, .
, )
infe-maxlm.IE
Tale inferiore
estremo E
di
reale dice )
si
numero
Dim sia superiormente
EEIR limitato
8
E #
: , , .
maggioranti
Siamo maggioranti
: non e
Innati B-
A. )
) mie
( B) !
IR separatone
la le IR
completezza
A. ] elemento i.
di
→ sezione c
per .
, ,
ask.btiac.lt ttbeb dimostrare
dimostrando
tesi tesi
la I.
che cioè
min
seguire = occorre :
lsbttbc.ba ask.to
la completezza
1 ' ok per
leb
2
- te !
Estasi
maggiorane E %
B
che E
di
assurdo supponiamo è c-
per non un
, .
' punto medio
'
TÌ ' }
'
perche
maggiorente A
E
^ controazione
di E '
' →
te c-
è un
non
' le B
it costruzione
2 per { È
Teorema :
E-
EEIR ha
limitato siepe
sia allora
superiormente
EH E
si ↳
: ÷
:
, .
,
familiare % { !
%
minimi %
⇐ :*
⇐ ⇐ :
"
: ⇐
⇐ » .:[
.
.
{ tax Voce ho maggiorente E
di
È più
non un
⇐ Vero maggiorane
b- E
di
è
E
& non un
,
5
• maggiorente
tirante
m'
non
{
↳ y.ee
×
Vero :L
E ECXE
x. c- -
"
caratterizzazione "
inf { ¥
È
Teorema :
t.int
EEIR
sia limitato Allora
interiormente
E E
0
#
: "
ix. .
, .
,
inferiormente
Def EEIR
Se analogamente infe
diremo
illimitato superiormente che "
"
int
E +00 -00
sup
: = =
per
,
reali
± numeri
sono
non
Topologia :
( la
Dati rispetto
EEIR di
classificare
4 IR E
E #
- posizione
x. x. a
c.
e ,
, , tinse mutazione
§ " :
:
÷
:
i. ii. ÷
.
punti esterni
Intorno :
IHT-ko-rix.tt#%fdiXotn5iaEelR
l' intervallo
Dati IR chiamiamo aperto
centro
intorno di
x. % raggio
c. e no r
e
, ,
EH
,
che intorno
Diremo interamente
intorno di
E
EIR E
^ è x.
se
a
x. un
!
[ I
contenuto EE
E In i.
in c.
» É E
XOEIR esterno E complementare
minuto
2 di interamente
E di
intorno
è in
a se {
x.
un
[ È
IR Io
9
E
esterno i.
è c-
x. c- se
a oro c . É
frontiera E
xoc.IR
3 di
punto interno
di esterno
dice '
è né
si a
se ne
non ?
Ikea :p
In Io
ha 01
ne NE
#
si e
¥•i④)) frontiera
punto
punto punto
esterno interno di
In ,
, É
? almeno
( )
EH accumulazione di punto
punto di
^ E di
intorno cade
di
dice
X. in ogni
si x.
se un
diverso da Xo isolato accumulazione
E punto
E E
punto di
2 di intorno
di
dice
X. cioè
c- è
si se
se non un
punti
altri oltre
di
di E
dove cadono X
× a
non
. .
,
Funzioni : tilt
Dati A B B
A abominio
2 B dominio
→
insiemi e fa Immagine di
→
a a
legge elemento solo
ad di
che ed
A B
di
è associa
una ogni uno uno
f
A di f
dominio B di
dominio
:< •
i
Def : funzione
Dato id :D
Identità
funzione A la definita
chiameremo A
A
^ →
insieme su cosi
un ,
, , elemento aelt stesso
di
manda
identità in se
ogni a
→
ai
Filt f definito
Data sottoinsieme
Immagine
chiameremo del
B abominio
di il
2 → cosi
,
:{ }
beh
)
Imlf t.c.fi :b
sett »
.
L
F A
(A) del di
elementi elemento
di almeno
adoninis B che immagine
sono un f)
) tt
beb chiameremo sottoinsieme
contro
fissato (
Sia di
tilt tramite di
b
} il
B
→ immagine
sia
e ,
.
ftp.sae/tifq=b } elementi hanno b
di A
definito che immagine
come
cosi
con !
"
÷
: uno minion
.im :
go.fi/t-C5wieDivitailnietiivitaieBiei i.vi i
funzione )
(
Nuova funzione composta
→ Filt HBEB
f- fai
Imif :b
sviolina
)
sviolina
dice
A B :B sett
B
' → → ci
si :
se
se , elemento
almeno A
elemento di di
di B è immagine
ogni un
hanno
tilt iniettivo dominio
elementi del
diversi
B
2 dice diverse cioè
→ immagini
si se
se ,
fra
fra
.ae/tia,-a
Ha #
) )
, .
.
< ta
tilt .ae/tifq=fia
la
iniettivo seguente
sussiste
B implicazione
→ è ) sa
a.
sempre : .
.
FA "
f
funzione A
} biotina invertibile
iniettivo sunieltivs
B :B
E
dice
→ →
si
e una nuova
µ " !!
"
! "
⇐ '
? "
ione in
" "
;
; ; ;
÷
"
fef biotina
fitto
proprietà B
di sia :
'
of
f-
f
tlaelt ha D= si
i ,
si ,
flffbf-bfofi.io
ha
the B
2 si , )
mrfilt
f
Ossi )
Imlf Imlf
:D ) (
sia automatico
nota
B sviolina
→
→ più
in
immagine in se
con FiIm
fai In
fin obiettivo
iniettivo A
anche →
→
Funzioni reali di variabile reale )
(
F IR assegnato fai
:D DEIR data
mentre
D
→ spesso è priori
a
non
, l' fa
xi-y.fi definizione dove
massimale ben
di della
Insieme f
funzione
→ insieme è
) : )
(
definita di esistenza
IR
sottoinsieme condizioni
massimale grande di
più
>
f-
Rip IR
Della →
: }
:{ fixing
Imlfl go.IR i.
ed
' : c.
+
fsunieiiiva In =P kgc.IR f
xed
]
< : sy
se , tx .ge/):fq--fixd=dX,=X2
iniettivo Hx.y.cl %
%)
f )
} # #
:X ×
se , ,
, sviolina
fi automatico
allora
f
se fidep
nata
" )
IR
fidelis →
→ in
immagine è
è
e , " f
anche allora fidelp bielliv If
f fa D
iniettivo ) →
è
→ :
in è
se piu ,
,
il
ltxed f-
' = ×
flf
lfyefid
)
2 =p API definito
fidata sottoinsieme TRAR
grafico
Def il
sia f
IR di
chiameremo di
→ cosi
: }
elfi
{
D=
C- cartesiano
ix. xed
g) : piano
y
, )
l'
< IX. fa
punti coordinate
del
dei di
insieme piano
µ
dominio
↳ (g)
(
-
-
- - .
-
- -
- .
-
- .
-
- -
-
§ -
- %
[
µ ÷
⇐ ; .
5 i 1
:
:
- ×
I l '
11111
11 ' 1) •
*
Def
: ( )
fin
Hxc.IR In
'
ftp.fix
fitta
' xn
IR in
→ )
è :X > pari
pari se )
( fin
ltxelp fixisx
filp-4K fa
f '
2 dispari
'
dispari
è =
se :X
- in
Funzioni monotone f
IR seguenti
fidc.IR condizioni
che delle
monotona
sia Diremo vale
D
→ in
è se una :
. fuit fixd
lfx f
.pe/):x.cXa ha
' crescente
si tua
fine f crescente
strettamente
VK.xaedix.at ha
2 )
si
, ha f
fida
V' decrescente
} ed :X si
x. ex
→ ,
, ha ftp.fw f decrescente
strettamente
txxaed
" )
: x. si
ex ,
teorema iniettivo strettamente
iniettivo
ti IR monotona
DEIR #
strettamente monotona D
→ è
in
: ,
Dim f strettamente crescente Xzed I.
D # Xz
in X
X. c
: ,
, .
,
< funzione
la
fin iniettivo
fino quindi
fixj fin
crescente
strettamente è
Xaox # )
)
,
Funzioni limitate )
¥
fidelp limitata
IR
Diremo ?
superiormente
che xed
dell
^ te
→ è ogni
se per
: .
< In
f sottoinsieme
limitata IR limitato superiormente
superiormente di
⇐
fi )
Diremo limitata fine
interiormente
IR xel
)
DEIR
2 che I.
?
dell
→ è ogni
sei per
c.
↳ inferiormente
limitata sottoinsieme interiormente
limitato
In IR
di
limitata t.c-lsfnslv.ie
fidati IR IL
Diremo D
che
• o
→ >
è se
< )
Imlf
f limitata limitato
IR
sottoinsieme di
funzione
Estremo svplinf di
msxlmin
e una
[ FID
Sia f. IR definiamo
la
)
DEIR → immagine
sia
i e sua :
, ,
) syplft.to f
estremo illimitata
f
svplfrd di
^ D
) è
in
superiore svp
s se
:p d) f )
! f illimitata
! estremo If
inferiore int
! di :{
!
! D è
! in
Ri i oo
: - se
)
Melk f
^ IN
assoluto
Diremo il
che D
di
massimo
è in se
sms :
{
maxlfid Ma txed
)
M - cioè se Dif rt
c-
x. (
2 fini
assoluto
Diremo metti<
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
