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Analisi matematica I - la nozione di derivata Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Giuga sulla teoria dei segnali e sulla nozione di derivata. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la nozione di derivata, il rapporto incrementale (limiti), gli integrali ed in particolare il rapporto incrementale relativo a x0.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. S. Giuga

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ESTRATTO DOCUMENTO

f ( x )

f ( x ) − − + −

0 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

1 =

− 0 0

g ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

1

= = −

0 0 0 g ( x ) g ( x ) x x

− − 0 0

x x g ( x ) g ( x ) x x

0 0 0

 

− −

g ( x ) g ( x ) f ( x ) f ( x )

1 +

 

0 0

f ( x ) g ( x )

= − −

 

g ( x ) g ( x ) x x x x

0 0 0

x x x

Passando al limite per tenuto conto che le funzioni f e g sono continue in

0 0

perché derivabili e il teorema sulle operazioni con i limiti(limite della somma e limite

del prodotto), si ha la tesi.

3)DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI

Ci proponiamo di calcolare le derivate di alcune funzioni elementari sfruttando i

limiti fondamentali ed il teorema sulle operazioni con le derivate. A tale scopo è bene

osservare che, per le regole di derivazione del prodotto, tenuto conto che la derivata

di una costante è nulla, si ha: ′ ′

⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =

Dc f ( x ) ( Dc ) f ( x ) cDf ( x ) D f ( x ) c f ( x ) cf ( x )

′ ′

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

Infatti : ' '

Dc f ( x ) c f ( x ) c f ( x ) 0 f ( x ) c f ( x ) cf ( x )

Conseguentemente è lecito portare le costanti fuori dal campo di derivata.

= ∀ ∈

x x

1- Da a log a x R

Dimostrazione

+ − ⋅ − ⋅

x h x x h x h

a a a a a a 1

= = = =

x x x

Da lim lim lim a a log a

→ → →

h h h

h 0 h 0 h 0

Osservazione = ⋅ =

= x x x

x x

si noti che, in particolare . Infatti: De e log e e

De e

1

= ∀ >

D log x

2- x 0

a x log a

Dimostrazione 5

 

h

+

+  

log 1

x h +

a  =

log log (1 y )

1 1 1

x

+ − = ⋅

log ( x h ) log x a a

lim lim

x

= = =

a a

D log x lim lim h

→ →

x h x log a

h o y 0

a → → x

h h

h o h o x

Osservazione 1

=

D log x

si noti che, in particolare, .

x

= ∀ ∈

3- Dsinx cos x x R

Dimostrazione −

+ − + −  

cosh 1 sinh

sin( x h ) sin x sin x cosh cos x sinh sin x + =

= = =  

lim sin x cos x

D sin x lim lim  

→ → h h

h h h 0

h 0 h 0

−  

cosh 1 sinh 1

= ⋅ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ =

 

sin x lim h cos x lim sin x 0 cos x 1 cos x

 

2

→ →

h h 2

h 0 h 0

∀ ∈

4- Dcosx=-sinx x R

Dimostrazione analoga al numero3

p

1

= ∀ ≠ +

p

Dtgx x k

5- 2

cos x 2

Dimostrazione − ⋅ +

2 2

sin x ( D sin x ) cos x sin x D cos x cos x sin x 1

= = = =

Dtgx D 2 2 2

cos x cos x cos x cos x

Osservazione = + 2

Si noti che risulta anche Dtgx 1 tg x

1

= ∀ ≠

D cotg x

6- x kp

2

sin x

Dimostrazione analoga al numero 5

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Consideriamo la funzione g(f(x)) con composta mediante le funzioni f(x)

x I

(componente interna) e g(y) (componente esterna);Vale la seguente implicazione 6

 

∈ g ( f ( x )) derivabile in x e

 

f ( x ) derivabile in x I 0

 

0

  [ ] ′ ′

 

= = ⋅

 

g ( y ) derivabile in y f ( x ) Dg(f(x)) g ( f ( x )) f ( x )

 

=

0 0 0 0

x x

0

Dim. x

Supporremo, per semplificare la dimostrazione, che esista un intorno di nel quale

0

f ( x ) f ( x )

risulti .Inoltre utilizzeremo il teorema sul limite delle funzioni composte

0

effettuando la sostituzione y=f(x);

Ciò premesso si ha: − − −

g ( f ( x )) g ( f ( x ) g ( f ( x )) g ( f ( x )) f ( x ) f ( x )

= ⋅

0 0 0

− − −

x x f ( x ) f ( x ) x x

0 0 0

x x

e ponendo l limite per :

0 −

− − f ( x ) f ( x )

g ( f ( x )) g ( f ( x )) g ( f ( x )) g ( f ( x ))

[ ] =

= =

@ 0

0 0 =

lim

Dg ( f ( x )) lim lim −

− −

= →

→ →

x x x x f ( x ) f ( x ) x x

x x x x x x

0 0 0 0

0 0 0

=

y f ( x )

− −

= o

g ( f ( x )) g ( f ( x )) g ( y ) g ( y )

⋅ ⋅

' '

0 0

= =

f ( x ) lim f ( x ) lim

− −

0 0

→ →

f ( x ) f ( x ) y y

x x y y

0 0

0 0

( )

= ⋅ = ⋅

' ' '

f ( x ) g ( y ) g f ( x ) f ( x ).

0 0 0 0

Osservazione ′ ′

= ⋅

si noti che la regola di derivazione Dg ( fx )) g ( f ( x )) f ( x )

0

significa che la derivata della funzione composta g(f(x)) calcolata nel punto x è

uguale al prodotto della derivata della componente esterna g(y) calcolata nel punto

y=f(x) per la derivata della componente interna f(x) calcolata nel punto x.

Ne consegue che, se la funzione composta g(f(x)) è derivabile in un intervallo, allora

la derivata della funzione composta è uguale al prodotto della derivata di g rispetto ad

f(x) (pensata come una variabile indipendente) per la derivata di rispetto ad x.

a≠ −

a a a

= a 1

Corollario(derivata della potenza) ( ) è derivabile e si ha

0

x Dx x

Dimostrazione

a a

= log x

Essendo , per la regola di derivazione delle funzioni composte risulta:

x e 1 −

a a a a a

= = ⋅ = ⋅ =

a a a

log x log x 1

Dx De e D log x x x

x 7

Osservazione ( )

1 { }

∈ −

a= n N 1

si noti che, in particolare, per si ha:

n −

1 1 n

1 1 1 1

= = = ⋅ =

n n n

D x Dx x −

n 1 −

n n n n 1

n x

n

x

5)DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

Vogliamo ora calcolare la derivata della funzione arcsin. Ricordiamo che si tratta

p p

 

− ,

dell’inverso della funzione seno rispetto all’intervallo per cui risulta

 

 

2 2

p p

  [ ]

= ⇔ = ∈ − ∈ −

y sin x x arcsin y x , y 1,1

con e .

 

 

2 2

Vogliamo provare che:

1

= ∀ ∈ −

D arcsin y y ] 1,1[

1) − 2

1 y

∈ − =

y ] 1,1[ y sin x

Sia e tale che si ha:

0 0 0 −

arcsin y arcsin y

[ ] ( )

= = =

@ 0

D arcsin y lim posto y sin x

=

y y → y y

y y

0 0 0

x x 1 1 1 1

= = = = = =

0

lim [ ]

− senx senx −

→ senx senx D sin x cos x 2

x x 1 sin x

0 0 =

lim

0 0

x x 0

− 0

→ x x

x x

0 0

1 1

= =

− −

2 2

1 sin (arcsin y ) 1 y

0 0

Osservazioni

Si noti che il procedimento è lecito perché: p p

 

− ,

La funzione seno è continua e strettamente crescente in  

1-  

2 2

La funzione seno(di cui arcoseno è l’inversa) è derivabile con derivata

2-  

p p p p

   

− ∈ − ⇒ < ≤

 

, Perchè x , 0 sin x 1

maggiore di zero in .

   

   

 

2 2 2 2 1

[ ] =

D arcsin y [ ]

Si noti anche che dal calcolo effettuato risulta (*) →

y y D sin x

0 →

x x

0

=

y sin x

Essendo possiamo affermare che la derivata della funzione

0 0 y

arcoseno(inversa della funzione seno) in un punto è uguale alla reciproca della

0

x y

derivata della funzione seno calcolata nel punto , corrispondente di mediante

0 0

=

x sin x y

il seno, e cioè nel punto tale che .

0 0 0

Il risultato espresso dalla formula (*) vale in generale. Sussiste infatti il seguente 8


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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