Analisi matematica I - la nozione di derivata

Derivabilità di una funzione

I limiti: se esistono finiti si chiamano derivata sinistra e derivata destra di f in x e si denotano con uno dei simboli: f'(x), Df(x), Df'(x).

In conclusione: f'(x) = lim_x→0 (f(x+h) - f(x))/h.

Osservazione: E' evidente che vale la seguente equivalenza: f'(x) = f'(x+h) = f''(x) (f derivabile in x).

Conseguentemente: f'(x) ≠ f'(x+h) (f non è derivabile in x).

Definizione 3: Si dice che la funzione f è derivabile nell'intervallo I se f è derivabile in ogni punto di I. In tal caso la funzione f'(x) si chiama la derivata della funzione f.

La funzione f(x) nell'intervallo I si denota con uno dei simboli f', Df, oppure anche f'(x), Df(x), dxdf(x). La nozione di derivata si generalizza mediante la seguente definizione:

Definizione 3 (generalizzata): Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e I. Se accade che:

lim_x→x0 (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = ±∞

allora si dice che la funzione f ha una derivata infinita.

Osservazione 1: Se f(x) − f(x₀) ∈ 0, allora:

lim_x→x0 (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = 0

Una volta data questa definizione, se f è derivabile in e R, si dice anche che f ha una derivata finita.

Osservazione 2: Se nel rapporto incrementale di una funzione f:

(f(x + h) - f(x)) / h

poniamo h = x - x₀, risulta:

lim_h→0+ (f(x + h) - f(x)) / h = f'(x)

Analogamente, posto Δ = x - x₀, si ha:

lim_Δ→0 (Δf(x) - f(x₀)) / Δ = f'(x)

notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di I che+ −f ( x h ) f ( x ) ∀ ∈f '( x ) limnon si voglia precisare. Infatti = . .x I0 → hh 0 2∆ = + −f f ( x h ) f ( x )La differenza si chiama incremento della funzione f.−f ( x ) f ( x )0Ciò è il motivo per cui la funzione si chiama rapporto incrementale.−x x0Proposizione ∈xSia f(x) una funzione definita in un intervallo I e I. V.s.i.0⇒x x(f derivabile in ) (f continua in )0 0Dim −f ( x ) f ( x )= − + = − +0f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) ( x x ) f ( x )−0 0 0 0x x0Conseguentemente (aggiungo e sottraggo f(x ))0−f ( x ) f ( x )= − + = ⋅ + =0lim f ( x ) lim ( x x ) lim f ( x ) f '( x ) 0 f ( x ) f ( x ) .− 0 0 0 0 0→ → →x xx x x x x x0 0 00ESEMPIse c è una costante reale risulta Dc=01) + − −f ( x h ) f ( x ) c c= =∀ ∈ 0infatti se f(x)=c , si

1. ha:x I h h+ −f ( x h ) f ( x )′= = =Dc f ( x ) lim 0e quindi → hh 0∀ ∈risulta Dx=1 .x R2) + − + −f ( x h ) f ( x ) x h x h ∀ ∈posto f(x)0x si ha: = = =1 x Rh h he quindi + −f ( x h ) f ( x ) lim1limDx= = =1.h→ 0→ hh 0 = +∞3Risulta e cioè la funzione f(x)= ha in 0 derivata infinita3[ D x ]3) x=x 0 − 3f ( x ) f (0) x 1= = = +∞infatti: .lim lim lim−→ → →3x 0 x xx 0 x 0=f ( x ) | x |La funzione non è derivabile nel punto 0.4) 1 se x>0f ( x ) - f (0) | x |= =infatti  -1se x <0x -0 x ′ ′ ′= = − ∃f (0) 1 f (0) 1 f (0)conseguentemente e ciò implica che+ − 3OPERAZIONI CON LE DERIVATETeorema(sulle operazioni con le derivate) ∈f ( x ) g ( x ) xSiano e due funzioni definite nell’intervallo I e I.0valgono le seguenti implicazioni + f g derivabili in x e⇒ 0 x(f e g derivabili in ) SOMMA1)

′ ′ ′+ = +0  ( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x )0 0 0⋅ f g derivabili in x e⇒ 0 x(f e g derivabili in ) PRODOTTO2) ′ ′ ′⋅ = +0  (f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )0 0 0 0 0 f derivabile in x e 0g   f e g derivabili in x e ⇒0  RAPPORTO 3) ′≠ ′ ′   −g(x ) 0 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )f 0 = 0 0 0 0  ( x ) 0 2  g g ( x )0

La prima di queste tre implicazioni è di facile verifica e non ce ne occuperemo.

Dim. 2) xSottraendo e aggiungendo f( ) g(x) risulta0⋅ − − + −f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )0 0 0 0 0 0= =− −x x x x0 0− −f ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x )+0 0g ( x ) f ( x )= − −0x x x x0 0→x x xPonendo il limite per si ha la tesi, tenendo conto che g(x) è continua

in perché0 0ivi derivabile ed inoltre il teorema sulle operazioni con i limiti.

Dim. 3) ≠g ( x ) 0

Osserviamo innanzitutto che essendo , per il teorema della permanenza del0 ≠g ( x ) 0xsegno, esiste un intorno di in cui risulta ancora . In tale intorno si ha,

0 ⋅f ( x ) g ( x )

sottraendo e aggiungendo ; 4f ( x )f ( x ) − − + −0 f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )1 =− 0 0g ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )1= = −0 0 0 g ( x ) g ( x ) x x− − 0 0x x g ( x ) g ( x ) x x0 0 0

fi  − −g ( x ) g ( x ) f ( x ) f ( x )1 + 0 0f ( x ) g ( x )= − − g ( x ) g ( x ) x x x x0 0 0→x x x

Passando al limite per tenuto conto che le funzioni f e g sono continue in0 0perché derivabili e il teorema sulle operazioni con i limiti(limite della somma e limitedel prodotto), si ha la tesi.

3)DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI

Ci proponiamo di calcolare le derivate di

alcune funzioni elementari sfruttando ilimiti fondamentali ed il teorema sulle operazioni con le derivate. A tale scopo è beneosservare che, per le regole di derivazione del prodotto, tenuto conto che la derivatadi una costante è nulla, si ha: f'(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = D[c f(x)] = (Dc)f(x) + cD[f(x)] = cf'(x) + c f(x)g'(x)

Inoltre: f''(x)g(x) = f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) = D[c f'(x)] = (Dc)f'(x) + cD[f'(x)] = cf''(x) + c f'(x)g'(x)

Infatti: f''(x) = D[c f'(x)] = c f'(x)g'(x) = c f'(x)g'(x)

Conseguentemente è lecito portare le costanti fuori dal campo di derivata.

∀x ∈ R

1- Da a log a x R

Dimostrazione:

lim (x→0) (a^x - 1)/x = lim (x→0) (log_a(a^x) - log_a(1))/x = lim (x→0) (log_a(a^x) - 0)/x = lim (x→0) (log_a(a^x))/x = lim (x→0) (x log_a(a))/x = lim (x→0) (x)/x = 1

Osservazione: D[log_a(x)] = 1/(x log_a(e))

2- D log_a(x) = 1/(x log_a(e))

Dimostrazione:

lim (h→0) (log_a(1 + h) - log_a(1))/h = lim (h→0) (log_a(1 + h) - 0)/h = lim (h→0) (log_a(1 + h))/h = lim (h→0) (log_a(1 + h))/(h log_a(e)) = 1/(log_a(e))

⋅log ( x h ) log x a alim limx= = =a aD log x lim lim h→ →x h x log ah o y 0⋅a → → xh hh o h o x

Osservazione 1=D log xsi noti che, in particolare, .x= ∀ ∈3- Dsinx cos x x RDimostrazione −+ − + −  cosh 1 sinhsin( x h ) sin x sin x cosh cos x sinh sin x + == = =  lim sin x cos xD sin x lim lim  →→ → h hh h h 0h 0 h 0−  cosh 1 sinh 1= ⋅ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ = sin x lim h cos x lim sin x 0 cos x 1 cos x 2→ →h h 2h 0 h 0∀ ∈4- Dcosx=-sinx x RDimostrazione analoga al numero3p1= ∀ ≠ +pDtgx x k5- 2cos x 2Dimostrazione − ⋅ +2 2sin x ( D sin x ) cos x sin x D cos x cos x sin x 1= = = =Dtgx D 2 2 2cos x cos x cos x cos xOsservazione = + 2Si noti che risulta anche Dtgx 1 tg x1= ∀ ≠D cotg x6- x kp2sin xDimostrazione analoga al numero 5

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE∈Consideriamo la funzione

g(f(x)) con composta mediante le funzioni f(x)x I(componente interna) e g(y) (componente esterna);

Vale la seguente implicazione:

6∈ g ( f ( x )) derivabile in x e f ( x ) derivabile in x I 0 ⇒ 0 = ⋅ Dg(f(x)) = g ( f ( x )) ′ = f ( x ) ′ = 0

Dim. x

Supporremo, per semplificare la dimostrazione, che esista un intorno di x0 nel quale 0 ≠ f ( x ) ≠ f ( x )

Inoltre utilizzeremo il teorema sul limite delle funzioni composte effettuando la sostituzione y=f(x);

Ciò premesso si ha: &minu;