Analisi matematica I - la nozione di derivata

La nozione di derivata

Definizione 1

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x₀ ∈ I. Il rapporto:

^{−f(x) f(x₀)} / _x−x0 con x ∈ I \ {x₀}

si chiama rapporto incrementale di f relativo al punto x₀. Si dice che la funzione f è derivabile in x₀ se il rapporto incrementale di f relativo ad x₀ è convergente in x₀ e, in tale ipotesi, il limite si chiama la derivata di f in x₀ e si denota con uno dei seguenti simboli:

f’(x₀), Df(x₀), oppure df/dx|_x0.

In conclusione:

f’(x₀) = lim_x→x0 −f(x) f(x₀) / (x−x₀)

purché il limite del secondo membro esista e sia finito.

Definizione 2

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x₀ ∈ I.

Se esistono finiti i limiti:

lim_x→x0^- −f(x) f(x₀) / (x−x₀) e lim_x→x0⁺ −f(x) f(x₀) / (x−x₀)

si chiamano rispettivamente la derivata sinistra e la derivata destra di f in x₀ e si denotano con uno dei simboli:

f’_-(x₀), D_-f(x₀); f’₊(x₀), D₊f(x₀).

In conclusione:

f’_-(x₀) = lim_x→x0^- −f(x) f(x₀) / (x−x₀) ; f’₊(x₀) = lim_x→x0⁺ −f(x) f(x₀) / (x−x₀)

Osservazione

È evidente che vale la seguente equivalenza:

f’_-(x₀) = f’₊(x₀) = f’(x₀) ⇔ (f derivabile in x₀)

Conseguentemente:

f’_-(x₀) ≠ f’₊(x₀) ⇒ (f non è derivabile in x₀)

Definizione 3

Si dice che la funzione f è derivabile nell’intervallo I se f è derivabile in ogni punto di I. In tal caso, la funzione f’(x) si chiama la derivata della funzione f nell’intervallo I e si denota con uno dei simboli f’, Df, oppure anche f’(x), Df(x), df/dx.

Definizione 3 (generalizzata)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x₀ ∈ I. Se accade che:

lim_x→x0 −f(x) f(x₀) / (x−x₀) = ±∞

si dice che la funzione f ha in x₀ derivata infinita.

Osservazione 1

Una volta data questa definizione, se f è derivabile in x₀ ∈ R si dice anche che f ha derivata finita.

Osservazione 2

Se nel rapporto incrementale di una funzione f poniamo h=x-x₀, risulta:

f’(x₀) = lim_h→0 −f(x₀+h) f(x₀) / h

Analogamente, posto ∆ = x − x₀, si ha:

f’(x₀) = lim_∆→0 −f(x₀+∆) f(x₀) / ∆

Tali notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di I che non si voglia precisare. Infatti, ∀x ∈ I:

f’(x₀) = lim_h→0 −f(x₀+h) f(x₀) / h

La differenza si chiama incremento della funzione f.

Ciò è il motivo per cui la funzione si chiama rapporto incrementale.

Proposizione

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x₀ ∈ I.

Se f è derivabile in x₀ allora f è continua in x₀.

Dimostrazione:

lim_x→x0 −f(x) f(x₀) = lim_x→x0 (f(x)−f(x₀)+(f(x₀)−f(x₀)))

= lim_x→x0 (f(x)−f(x₀)) + lim_x→x0 (f(x₀)−f(x₀))

= f’(x₀) + lim_x→x0(f(x₀) − f(x₀)).

Esempi

1) Se c è una costante reale, risulta Dc=0.

Infatti, se f(x)=c, si ha:

lim_h→0 −f(x₀+h) f(x₀) / h = 0

e quindi, ∀x∈R, risulta Dx=1.