Analisi Matematica I

Funzioni di due variabili: dominio; rappresentazione cartesiana 2

2

Indichiamo con R l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali: .

= {

(

,

): ∈ , ∈

}

2

Sia D un sottoinsieme di R . Una applicazione f che ad ogni elemento di D fa corrispondere uno ed

un solo elemento in R è detta funzione di due variabili; è denotata con f: D R, oppure per

→

2

evidenziare che D R : z=f(x, y), (x, y) D, f(x, y).

⊆ ∈

L’insieme D è il dominio di f, o l’insieme di definizione di f.

Per la rappresentazione di questo tipo di funzione si usa un sistema cartesiano ortogonale, di assi

x, y, z, dove z è la quota per f(x, y). Si ottiene così che lo spazio tridimensionale ottenuto si dice

grafico di f(x, y)

Limiti e continuità 2

Un intorno circolare di raggio (>0) di un punto (x , y ) R è, per definizione, il cerchio aperto di

δ ∈

0 0

δ

centro (x , y ) e raggio ; analiticamente l'intorno è individuato nella condizione:

δ

0 0 δ

{ }

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

= (

,

) ∈ : − + − < δ ⇔ (

,

) ∈ ⇔ − + − < δ

δ 0 0 δ 0 0

2

Sia f(x, y) definita in D e sia (x , y ) un punto di R con la proprietà che in ogni intorno circolare di

0 0

(x , y ) cada almeno un punto del dominio D, diverso da (x , y ); quindi (x , y ) è un punto di

0 0 0 0 0 0

accumulazione per D della funzione f(x, y).

In queste condizioni possiamo dire che f(x, y) converge ad un numero reale l, per (x, y) che tende a

(x , y ), e si scrive:

0 0 {

( )

}

lim (, ) = , ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: |

(

,

) −

| < ε ∀ (

,

) ∈ ∩ − ,

δ 0 0

( )

→

(

,

) ,

0 0

Se la funzione in due variabili è definita anche nel punto (x , y ) e se risulta

0 0

allora si dice che f(x, y) è continua in (x , y ). Si dice che questa funzione è

lim (, ) = ( , ) 0 0

0 0

( )

→

(

,

) ,

0 0

continua in D se lo è in ogni suo punto.

Derivate parziali. Gradiente

Sia f definita in (x, y). Inoltre f è definita anche in (x+h, y), qualunque sia h tale che < .

|

ℎ

| δ

δ

La derivata parziale di f rispetto a x in (x, y) è il limite:

(

+ℎ,

)−(, ) se tale limite esiste ed è finito.

lim ℎ

→

ℎ 0 ∂

Se esiste la derivata parziale si indica con: f ; f (x, y); ; D f.

x x x

∂

Analogamente la derivata parziale di f rispetto a y in (x, y) è:

(

, +ℎ

)−(, ) purché tale limite esista e sia finito.

lim

→

0 ∂

Se esiste questo limite la derivata parziale si indica con: f ; f (x, y); ; D f.

y y y

∂

Le derivate parziali di una funzione in due variabili si calcolano con le stesse regole di derivazione

per le funzioni di una variabile, considerando l’altra costante, con il ruolo di parametro.

Se la funzione ammette derivate parziali in tutte e due le variabili si definisce il gradiente di f,

2

indicato con “grad f”, o con “Df”, il vettore di R avente per componenti le derivate parziali di f; in

( )

simboli: . Si dimostra che se grad f 0 il vettore gradiente indica la direzione di

= = , ≠

massima pendenza del grafico.

Derivate successive. Teorema di Schwarz

2

Sia f definita in di R e supponiamo che in tutti i punti di f ammette derivate parziali. Se a loro

δ δ

volta le derivate parziali ammettono altre derivate parziali, queste ultime si chiameranno derivate

2 2 2 2

∂ ∂ ∂ ∂

parziali seconde della funzione f e si indicano con: f ; f ; f ; f ; ; ; ; . In particolare f ,

xx xy yx yy xy

2 2

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

f sono dette derivate seconde miste, mentre f , f sono dette derivate seconde pure.

yx xx yy

Teorema di Schwarz: Se una funzione f ammette entrambe le derivate miste f , f e se tali derivate seconde sono continue

xy yx

in (x , y ), allora f (x , y )= f (x , y ).

0 0 xy 0 0 yx 0 0

Dimostrazione: Indichiamo con un intorno circolare nel punto (x , y ), dove risultano le derivate

0 0

δ

miste f , f e sia (x, y) un punto di , con x x e y y .

≠ ≠

xy yx 0 0

δ ( ) ( )

Definiamo in questo modo: per y fissato; per y fissato.

() = (, ) − , () = (, ) − ,

0 0

Per cui: ( ) ( ) [ ( ) ( )

]

;

() − = (, ) − , − , − ,

0 0 0 0 0

( ) ( ) [ ( ) ( )

]

.

() − = (, ) − , − , − ,

0 0 0 0 0

⇕

( ) ( )

() − = () − .

0 0

Applichiamo Lagrange ad F(x) negli intervalli estremi x , x: esiste in tale intervallo un punto x per

0 1

cui: ( ) ( )

( ) [ ( ) ( )

]

( )

.

(

) − = ’ − = , − , −

0 1 0 1 1 0 0

Applicando di nuovo Lagrange nell’intervallo di estremi y , y, otteniamo l’esistenza in tale intervallo

0

di un punto y per cui:

1 ( ) [ ( ) ( )

]

( ) ( )

( )

( )

(

) − = , − , − = , − − .

0 1 1 0 0 1 1 0 0

Procediamo in modo analogo con la funzione G(y):

( ) ( )

( )

[ ( ) ( )

]

( ) ( )

( )

( )

.

(

) − = ’ − , − , − = , − −

0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 0

Alla fine confrontando le due espressioni finali per F(x) e G(y) risulta:

( ) ( )

, = ,

1 1 2 2

)

Essendo (x , y ), (x , y interni al rettangolo definito da (x , y ) e (x, y), passando al limite per

1 1 2 2 0 0

)

(x, y) (x , y ) anche (x , y ), (x , y tendono a (x , y ). Per l’ipotesi di continuità si ottiene la tesi.

→ 0 0 1 1 2 2 0 0

Massimi e minimi relativi

Sia f una funzione di due variabili definita in D. Un punto (x , y ) D è di massimo relativo per f se

∈

0 0

esiste (x , y ) tale che:

0 0

δ ( ) .

, ≥ (, ), ∀ (, ) ∈ ∩

0 0 δ

Analogamente un punto (x , y ) D è di minimo relativo per f se esiste (x , y ) tale che:

∈

0 0 0 0

δ

( ) .

, ≤ (, ), ∀ (, ) ∈ ∩

0 0 δ

Un punto (x , y ) è interno a D se esiste (x , y ) contenuto in D.

0 0 0 0

δ

Pertanto (x , y ) D è di massimo (rispettivamente minimo) relativo interno a D per f se esiste (x , y )

∈

0 0 0 0

δ

( )

tale che: , .

, ≥ (, ) ∀ (, ) ∈

0 0 δ

Teorema (condizione necessaria): Se (x , y ) è un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D di una

0 0 ( ) ( )

funzione f(x, y) e se f(x, y) è dotata di derivate parziali prime in (x , y ), allora risulta: .

, = 0; , = 0

0 0 0 0 0 0

Dimostrazione: supponiamo che (x , y ) sia massimo relativo. Fissato y=y consideriamo la funzione

0 0 0

di una variabile reale F(x)=f(x, y ), che soddisfa la relazione F(x ) F(x). Per il teorema di Fermat risulta

≥

0 0

F’(x )=0, cioè: F’(x )=f (x , y )=0. SI procede in modo analogo per il caso in cui sia fissato x=x .

0 0 x 0 0 0

I punti che annullano entrambe le derivate parziali prime si dicono punti critici per la funzione,

cioè sono punti che annullano il gradiente della funzione.

Supponiamo che f(x, y) ammetta derivate seconde in D, si definisce determinante Hessiano H(x, y):

2

| | ( )

(, ) = (, ) (, ) = * −

| |

(, ) (, )

Teorema (condizione sufficiente): Nelle ipotesi precedenti, se risulta:

{ ( ) ( ) ( ) ( ) }

, = 0, , = 0; , > 0, , > 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( )

allora è un punto di minimo relativo per f(x, y). Se invece risulta:

,

0 0 { ( ) ( ) ( ) ( ) }

, = 0, , = 0; , > 0, , < 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( )

allora è un punto di massimo relativo per f(x, y). Infine, se risulta:

,

0 0 ( )

, < 0

0 0

( ) ( )

allora il punto non è né di massimo, né di minimo per f(x, y) (ed in tal caso si dice anche che è un punto a

, ,

0 0 0 0

sella per f(x, y)).

Funzioni di tre o più variabili reali 3

3

Indichiamo con R l’insieme delle terne ordinate di numeri reali: .

= {

(

, ,

): ∈ , ∈ , ∈

}

n

Più generalmente si dice R , l’insieme delle n-ple ordinate di numeri reali:

{

( ) }

.

= , , ... , : ∈ , ∀ = 1, 2, ... ,

1 2 n

Un’applicazione f che ad ogni elemento di un insieme D R fa corrispondere uno ed un solo

⊆

elemento di R è detta una funzione di n variabili ed è denotato con: f(x , x , … , x ). Anche qui D è

1 2 n

detto dominio di f. Molti concetti espressi finora per le funzioni in due variabili sini gli stessi per

queste: vale per la definizione di limite, continuità, derivata parziale.