Analisi Matematica 3

Numeri Complessi

1. Introduzione ai Numeri Complessi

   Nell'insieme dei numeri reali R si possono affrontare e risolvere una vastissima classe di problemi, tuttavia esistono alcuni problemi particolari per i quali l'insieme R si rivela insufficiente.

   Come per esempio le equazioni:

   x² + 1 = 0       e² + 1 = 0

   Che non ammettono alcuna soluzione in R.

   Appare quindi logico tentare un ampliamento algebrico di R per ottenere un insieme in cui questi problemi possano essere risolti. Questo insieme esiste e si indica con C.

   Storicamente la motivazione essenziale per l'introduzione dei numeri complessi è stata la risoluzione delle equazioni di 3^a grado.

2. Definizione di un Numero Complesso

   Detta una coppia ordinata di numeri reali (a,b), si definisce numero complesso l'espressione:

   z = a + ib (Forma algebrica)

   Dove a è detto parte reale   e ib parte immaginaria (b è il coefficiente della parte immaginaria) e sono indicati con i simboli:

   a = Re z    e    ib = Im z

   Due numeri complessi, a + ib e c + id, sono uguali se e solo se   a = c    e    b = d.

(3) Modulo Argomento Complesso Coniugato

Prop. 3.1

Il modulo di un numero complesso soddisfa le seguenti proprietà:

1. \(|z| \ge 0 \quad\quad \forall z \in \mathbb{C}\)
2. \(|z| = 0 \quad (se \quad e \quad solo \quad se) \quad z = 0\)
3. \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \quad\quad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}\)
4. \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \quad\quad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}\)

Disuguaglianza triangolare

Prop. 3.2

L'argomento di un numero complesso soddisfa le seguenti proprietà:

1. \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \quad\quad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}\)
2. \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \quad\quad \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}, \, z_2 \ne 0\)

Di semplice verifica se si utilizza la forma trigonometrica.

Def. 3.1

Assegnato il numero complesso \(z = a + ib\), si dice complesso coniugato di \(z\) il numero complesso \(\overline{z} = a - ib\).

Geometricamente il punto che corrisponde a \(\overline{z}\) è simmetrico rispetto all'asse reale del punto che corrisponde a \(z\). Il complesso coniugato è legato al modulo, alla parte reale e a quella immaginaria dalle relazioni:

1. \(|z|^2 = z \cdot \overline{z}\)
2. \(\text{Re } z = \frac{z + \overline{z}}{2}\)
3. \(\text{Im } z = \frac{z - \overline{z}}{2i}\)

Valgono anche: \((z_1 \cdot z_2) = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\), \((z_1 + z_2) = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)

1. \(\overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\overline{z}}\)
2. \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)
3. \(\overline{z^n} = \overline{z}^n\)

6) Potenze di un numero complesso

zⁿ = (a + ib)ⁿ

= [p e^iΦ]ⁿ = pⁿe^inΦ = pⁿ[cos(nΦ) + i sin(nΦ)]

In particolare: zⁿ = pⁿ[cos(nΦ) + i sin(nΦ)]

Formula di De Moivre

7) Radici n-esime di un numero complesso

Assegnato w ∈ ℂ, si dice che z è una radice n-esima complessa di w se zⁿ = w

Se w = 0 l'unica radice è z = 0; se invece z ≠ 0 allora esistono sempre n numeri complessi che soddisfano l'equazione, ovvero n radici n-esime complesse, scriviamo...

• W = ρ[cos(ψ) + i sin(ψ)] e z = ρ^1/n[cos θ + i sin θ]

L'equazione zⁿ = w diventa ρⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)] = ρ[cos ψ + i sin ψ]

Ricordando che due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e l'argomento che differisce per multipli di 2kπ otteniamo

• ρ^1/n = ρ
• nθ = ψ + 2kπ => θ_k = ψ/n + 2kπ/n con k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Oss. 7.1

Nel piano di Gauss i punti P₁, P₂, ..., P_n corrispondenti alle radici n-esime di w si trovano tutti sulla medesima circonferenza di centro l'origine e raggio ⁿ√(ρ) e sono vertici di un poligono regolare di n lati

(3) Limiti e Continuità

Def. 3.1 Assegnato un punto z₀ ∈ C e un numero reale r > 0 si definisce intorno di z₀ di raggio r il cerchio : {z ∈ C : |z - z₀| < r} ∈ {z ∈ C : |z - z₀| < r}

Def. 3.2 Siano f(z) : A ⊂ C → C e z₀ ∉ A, il punto z₀ è detto di accumulazione per A se in ogni intorno di z₀ esistono punti di A diversi da z₀.

In analoga a quanto che è noto per le funzioni di variabile reale, si detta dominio di una funzione f(z) l'insieme degli z ∈ C per cui f(z) è definita.

Sia f(z) una funzione complessa di variabile complessa f(z): A ⊂ C → C e z₀ un punto di accumulazione del dominio di f(z) (A), si dice che f(z) ammette limite ℓ per z → z₀ e si scrive:

• Se per ogni numero positivo ε (piccolo a piacere) si trova un numero positivo δ (generalmente funzione di ε) tale che sia |f(z) - ℓ| < ε, nonchè |z - z₀| < δ si scrive:

• ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(z) - ℓ| < ε ∀ z ∈ A : 0 < |z - z₀| < δ

• Limite non deve dipendere dal cammino secondo il quale z si avvicina a z₀.
• Geometricamente, se z₀ è un punto nel piano complesso si ha se la differenza tra il valore assoluto di f(z) e ℓ può essere resa piccola a piacere scegliendo punti z sufficientemente vicini a z₀ (escludendo z₀ stesso).
• δ è limite di una funzione data, esiste e esso è unico (costruzione di Th).
• Usando la trasformazione w = 1/z il punto z = 0 si trasforma in w = ∞ detto punto all'infinito del piano W. Per studiare il comportamento di f(z) per z → ∞ basta porre z = 1/w indicando con w = 0 il punto all'inf. di f, e studiare il comportamento di f(1/w) in w = 0.

Prop. 1.4

Siano \( f(t) \) e \( g(t) \) funzioni olomorfe in una regione che comprende il punto \( z_0 \).

Si supponga che sia \( f(z_0) = g(z_0) = 0 \) ma \( f(t) \) ≠ \( 0 \). La regola o l’Hopital stabilisce che: \( \lim_{t \to z_0} \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{f'(z_0)}{g'(z_0)} \) se \( f'(z_0) \) ≠ \( 0 \) o \( g'(z_0) \) ≠ \( 0 \). La regola può essere estesa alle derivate di ordine superiore.

• Questa regola è molto utile per calcolare dei limiti che riguardano le seguenti forme indeterminate: \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( \frac{0}{\infty} \), \( \frac{\infty}{0} \).

Prop. 1.5

Se in un punto \( z_0 \) una funzione \( f(t) \) non è olomorfa ovvero nel punto \( z_0 \) la funzione non ha la derivata, si dice che \( z_0 \) è una singolarità o punto singolare della funzione \( f(t) \).

- Esistono vari tipi di singolarità:

1. Singolarità isolata: se esiste un cerchio di centro \( z_0 \) e raggio \( r \) escluso \( z_0 \) in cui la singolarità sia \( z_0 \) allora \( z_0 \) è detta singolarità isolata.
2. Poli: un punto \( z_0 \) è un polo di ordine \( m \) se esiste un determinato numero intero positivo \( m \) tale che sia \( \lim_{t \to z_0} (t-z_0)^m f(t)) = A \) ≠ \( 0 \).
3. Zeri: se g(t) = (t-2)ⁿh(t) dove h(t) ≠ 0 in t e n è un intero positivo.
4. Punti di diramazione delle funzioni a più valori sono anch’essi punti singolari. \( f(t) = (z-3) \)
5. Singolarità eliminabile: si dice che il punto z₀ è una singolarità eliminabile se g(1) = 0 o (znz) se esiste il \(\lim_{t \to z_0} \frac{1}{(t-z)^{h}} \frac{f'(t)}{(t-z)(z^m-1)} \).
6. Singolarità essenziale: una singolarità che non sia né un polo né un punto di diramazione né una singolarità eliminabile è detta singolarità essenziale.