Analisi Matematica 3

Numeri Complessi

1. Introduzione ai numeri complessi

Nell'insieme dei numeri reali R si possono affrontare e risolvere una vastissima classe di problemi, tuttavia esistono alcuni problemi particolari per i quali l'insieme R si rivela insufficiente:

Come, per esempio, le equazioni:

x² + 1 = 0    e    x⁴ + 1 = 0

Che non ammettono alcuna soluzione in R.

Appare quindi logico tentare un ampliamento algebrico di R per ottenere un insieme in cui questi problemi possano essere risolti; questo insieme esiste e si indica con C.

Storicamente la motivazione principale per l'introduzione dei numeri complessi è stata la risoluzione delle equazioni di 3^a grado.

2. Definizione di un numero complesso

Detta una coppia ordinata di numeri reali (a, b), si definisce numero complesso l'espressione:

z = a + ib (forma algebrica)

Dove a è detto parte reale    e ib parte immaginaria (b è il coefficiente della parte immaginaria) e sono indicati con i simboli:

• a = Re z
• ib = Im z

Due numeri complessi a + ib e c + id sono uguali se e solo se    a = c   e   b = d.

Numeri Complessi

1) Introduzione ai Numeri Complessi

Nell'insieme dei numeri reali R si possono affrontare e risolvere una vastissima classe di problemi; tuttavia esistono alcuni problemi particolari per i quali l'insieme R può rivelarsi insufficiente, come, per esempio, l'equazione:

x² + 1 = 0    e    e^x + 1 = 0

Cioè non ammettono alcuna soluzione in R. Appare quindi logico tentare un ampliamento algebrico di R per ottenere un insieme in cui questi problemi possano essere risolti. Questo insieme esiste e si indica con C.

Storicamente la motivazione storica per l'introduzione dei numeri complessi è stata la risoluzione delle equazioni algebriche di 2^a grado.

2) Definizione di un Numero Complesso

Def: 2.1 Data una coppia ordinata di numeri reali (a,b), si definisce numero complesso l'espressione:

z = a + ib    (Forma Algebrica)

Dove a è detto parte reale e ib parte immaginaria (b è il coefficiente della parte immaginaria) e sono indicati con i simboli:

a = Re z    e    ib = Im z

Def: 2.2 Due numeri complessi a + ib e c + id sono uguali se e solo se a = c e b = d.

Modulo, Argomento, Complesso Coniugato

Prop. 3.1 Il modulo di un numero complesso soddisfa le seguenti proprietà:

• (Per ogni z) \( |z| \ge 0 \quad \forall \, z \in \mathbb{C} \quad |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0 \)
• \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \quad \forall \, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \)
• \(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \quad \forall \, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \)

Disequaglianza triangolare

Prop. 3.2 L'argomento di un numero complesso soddisfa le seguenti proprietà:

• \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \quad \forall \, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \)
• \(\arg \dfrac{z_1}{z_2} = \arg(z_1) - \arg(z_2) \quad \forall \, z_1, z_2 \in \mathbb{C}, \, z_2 \neq 0 \)

Di semplice verifica se si utilizza la forma trigonometrica

Def. 3.1 Assegnato il numero complesso \( z = a + ib \), si dice complesso coniugato di \( z \) il numero complesso \( \overline{z} = a - ib \).

Geometricamente il punto che corrisponde a \( \overline{z} \) è simmetrico rispetto all'asse reale del punto che corrisponde a \( z \). Il complesso coniugato è legato al modulo, alla parte reale e a quella immaginaria dalle relazioni:

• \(|z|^2 = z \cdot \overline{z} \)
• \(\operatorname{Re} z = \dfrac{z + \overline{z}}{2} \)
• \(\operatorname{Im} z = \dfrac{z - \overline{z}}{2i} \)

Valgono anche: \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \).

Operazioni tra Numeri Complessi

Dalla teoria sappiamo che su numeri complessi della forma a+ib si può operare con le solite regole del calcolo letterale tenendo conto del fatto che l'unità immaginaria verifica:

i² = -1

Equivalenza fondamentale

• Essendo dati due numeri complessi a+ib e c+id si ha:
• (a+ib) + (c+id) = (a+c) + (b+d) (associativa, commutativa)
• (a+ib) - (c+id) = (a-c) + i(b-d)
• (a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc) (associativa, commutativa)
• Il reciproco di un numero complesso z=a+ib che si indica con 1/z è:
• 1/z = a/(a²+b²) + (-b)/(a²