Analisi Matematica 3

N

⊆ => A

A R

d e limitato

⊆ ∃a, ∈ ⊆

1) N = 1 => A => b : A [a, b]

R, R R

− −

b a b a

∈

n x = k k = 0, 1, ..., n

N k

n n n

[

I = [x , x ] k = 1, ..., n [a, b] = I

k k−1 k k

k=1

−

b a

−

diam(I ) = mis(I ) = x x = <

k k k k−1 n

2) 2

⊆ ∃R ⊆

A , A limitato > 0 : A D(0, R)

R

Allora: ∈ |x| | ≤ |x|) |x | ∀j

x = (x , ..., x ) A => < R => (|x < R = 1, ..., N

1 n j j

∈] −

=> x R, R[∀j = 1, ..., N

j

∈] − −

=> x R, R[×...×] R, R[

22 INDICE

N

⊆

A [−R, R]

Fissato ad arbitrio:

> 0 S

è totalmente limitato n

I , diam(I ) <

[−R, R] => [−R, R] = =>

k k

k=1 2

S n

2 ×

I I

[−R, R] = k h

h,k=1

VALUTIAMO IL DIAMETRO

Sia 0 0 ∈ ×

(x, y), (x , y ) I I

k h

Allora 0 0 0 0 0 0

|(x, − |(x − − ≤ |x − | |y | ≤

y) (x , y )| = x , y y )| x + + y

TEOREMA (Bolzano - Weierstrass generalizzato)

Sia spazio metrico e sia Allora è compatto è

⊆

(X, d) A X. A <=> A

d

completo e totalmente limitato.

COROLLARIO

è compatto è chiuso e limitato.

N

⊆

A <=> A

R (corollario)

Dimostrazione.

è chiuso è completo è completo). è limitato

N N

A <=> A (R A => (in )A

R

è totalmente limitato è compatto.

<=> A

(teorema)

Dimostrazione.

0.2 Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura 23

=>

Anzitutto, sappiamo già che la compattezza implica la completezza.

Dimostriamo che la compattezza implica la totale limitatezza. Supponiamo

quindi compatto. Mostriamo che nito esiste un ricoprimento

∀

A > 0 −

di A.

Per assurdo supponiamo che non ammette un ricoprimento

∃ > 0 : A −

nito.

Sia Allora:

∈

x A.

1

6⊆ )

A D(x ,

1 2

In caso contrario avremmo che:

≤

⊆ ), diam(D(x , ))

A D(x , 1

1 2 2

Esiste quindi un punto (perché non è contenuto nel

∈ −

x A D(x , ) A

2 1 2

disco) allora risulta allora esiste un punto

6⊆ ∪ ∈

A D(x , ) D(x , ) x

1 2 3

2 2

− ∪

A D(x , ) D(x , )

1 2

2 2

Sarà: 3

[

6⊆ )

A D(x ,

j 2

j=1

(perché non ammette un ricoprimento nito)

A −

Quindi: 3

[

∃x ∈ 6∈

A, x D(x , )

4 4 j 2

j=1

Iterando il procedimento si costituisce una successione in :

(x ) A

j

j

[

6∈

x D(x , )

j+1 k 2

k=1

Di conseguenza: ∀k

d(x , x ) < = 1, ..., j

j+1 k 2

In altri termini:

≥ ∀n 6

d(x , x ) = m

n m 2

24 INDICE

(contraddice la compattezza di )

A

D'altra parte per la compattezza di , sottosuccessione di con-

∃(x

A ) (x ),

k n

n

vergente in e quindi di Cauchy.

A

Ciò signica: ≤ −→

0 < d(x , x ) 0 => assurdo

k k n,m→+∞

n m

2

( completo e totalmente limitato è compatto)

<= A => A

Se successione in . Dimostriamo che:

(x ) A

n sottosuccessione di

∃(x ∃x ∈ →

) (x ), A : x x

k n 0 k 0

n n

Poiché è totalmente limitato sarà:

1) A 1

1

(1) (1) (1)

⊆ ∪ ∪ ( = )

A A ... A => diam(A ) <

1 j

P 1 2 2

Allora è innito (gli indici sono inniti)

(1)

∃j ∈ {1, } {n ∈ ∈ }

..., P : A

N|x

1 n j

Poniamo: (1) 12

, diam(A ) <

A := A 1

1 j

Poiché è totalmente limitato (perché contenuto in un insieme totalmente

A

1

limitato) allora sarà: 2

1

(2) (2) (2)

⊆ ∪ ∪

A A ... A , diam(A ) <

1 1 j

P 2 2

Allora è innito.

(2)

∃j ∈ {1, } {n ∈ ∈ }

..., P : A

N|x

1 n j

Poniamo:

2

1

(2) , diam(A ) <

A = A

2 2

j 2

Iterando questo procedimento, si costruisce una successione di insiemi (A )

n n∈N

tali che: ⊇ ∀n ∈

1) A A N

n n+1

n

1

2) diam(A ) <

n 2

0

{m ∈ }

3) e inf inito

N|x m∈A n

0.2 Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura 25

Scegliamo con

∈ ∈ ∈

x A , x A , x A , k > k > k

k 1 k 2 k 3 3 2 1

1 2 3

Iterando questo procedimento, si costruisce una successione sottosuc-

(x )

k

n

cessione di con ∈ ∀n ∈

(x ) k > ... > k > k => x A N

n n 2 1 k n

n

Allora si ha:

∀n, ∈

m N

8

>

> ≥ ∈ ∈ ⊆ ∈

(n m) x A , x A , A A => x , x A =>

> k m k n n m k k m

m n m n

>

< € Š

m

1

) =

d(x ≤

=> d(x , x ) diam(A ) <

k ,x k k m

n km > 2

m n

>

> Š

€

> n

1

≤ ⊆ ≤

:

(n m) => A A => d(x , x ) diam(A ) <

m n k k n 2

m n

In denitiva: (successione di Cauchy)

m n

1 1

≤ −→

) <

, x

0 d(x + 0

k

k n,m→+∞

n

m 2 2

Allora per la completezza di :

A 0

d

−→

∃x ∈ x => A e compatto

A : x 0

0 k

n

TEOREMA DI HEINE-CANTOR

Sia Se è compatto è uniformemente continua.

∈ ⊆

f C(A, Y ), A X . A => f

ρ d

Cioè: 0 0 0

∀ ∈

> 0∃δ > 0 : ρ(f (x), f (x )) < ∀x, x A, d(x, x ) < δ

Per assurdo: non è uniformemente continua.

f

Dimostrazione. 0 00 0 00 0 00

∃ ∈ ≥

> 0∀δ > 0∃x , x A : d(x , x ) < δ, ρ(f (x ), f (x ))

e siano

Prendiamo 0 00 0 0 00

00

1 1

∈ ∈ ≥

, n x , x , ρ(f (x ), f (x

δ = A, d(x , x ) < ))

N n n n n n

n

n n

.

Poiché è compatto: sottosuccessione di

0 0 0

∃(x ∃x ∈ −→

A ) (x ) : A : x x

0 0

k n k

n n

Dimostriamo che anche infatti

00 00 00 0 0

−→ ≤ ≤

x x , d(x , x ) d(x , x )+d(x , x )

0 0 0

k k k k k

n n n n n

0

1 −→

+ d(x , x ) 0

0

k

k n

n 26 INDICE

Per la continuità di :

f 0 −→

f (x ) f (x )

0

k n

00 −→

f (x ) f (x )

0

k n

Ciò implica che:

0 00 0 00

≤ ≤ −→

0 < ρ(f (x ), f (x )) ρ(f (x ), f (x )) + ρ(f (x ), f (x )) 0

0 0 n→+∞

k k k k

n n n n

N

0.2.1 Connessione in R

CAMBIAMENTO DI ORIENTAMENTO DI UNA CURVA

Sia continua. Si pone

N N

−→ −γ −→ 6 −(γ(t))

γ : [a, b] : [a, b] , (−γ)(t) =

R R

−

=> (−γ)(t) = γ(a + b t)

NOTA: (0) (1)

γ = (−γ)

(1) (0)

γ = (−γ)

Allora è una curva chiusa.

γ + (−γ)

La connessione tra due punti è relazione di equivalenza.

TEOREMA

Sia ⊆ 6 ∅

A A =

R,

Allora è connesso per archi è un intervallo.

A <=> A

( è un intervallo )

∈ ≤ ⊆

A <=> x, y A, x y => [x, y] A

Dimostrazione.

∈ ∀z ∈

<=> (∀x, y A, x < y, : x < z < y => z A)

0.2 Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura 27

connesso per archi intervallo

I) A => A

Siano Sia poi Occorre provare che

∈ ∈ ∈

x, y A, x < y. z x < z < y. z A.

R,

Per ipotesi: continua.

∃γ −→ ⊆

: [a, b] γ A,

R, γ(a) = x, γ(b) = y

allora per il teorema di Bolzano:

(γ(a) < z < γ(b))

∗ ∗ ∗

∃t ∈ ⊆ ∈

[a, b] : γ(t ) = z ma γ A => z = γ(t ) A

Viceversa, sia un intervallo, mostriamo ch'è connesso per archi.

A

Siano Allora poniamo:

∈

x, y A, x < y. −→, −

γ : [0, 1] γ(t) = x + t(y x)

Risulta continua ,

⊆

γ γ [x, y] γ(0) = x, γ(1) = y

TEOREMA DI BOLZANO GENERALIZZATO

Sia se è connesso per archi, allora è

P N

∈ ⊆

f C(A, ), A => A f (A)

R R

connesso per archi.

COROLLARIO (del valore intermedio)

Sia una funzione continua da a ( ), connesso

∈ ⊆

f A f C(A, A

R R) R

per archi. Allora è un intervallo.

f (A)

(corollario) connesso per archi con-

∈

f C(A, A => f (A)

Dimostrazione. R),

nesso per archi è un intervallo.

⊆

=> (f (A) (A)

R)f

28 INDICE

(teorema di Bolzano generalizzato)

Dimostrazione.

Siano Allora esistono

∈ ∈

y , y f (A). x , x A :

1 2 1 2

f (x ) = y , f (x ) = y

1 1 2 2

Poiché è connesso per archi continua:

N

∃γ −→ ⊆

A : [a, b] γ A, γ(a) =

R

x , γ(b) = x

1 2

Poniamo è continua per il teorema sulle

P

−→ ◦

γ : [a, b] Γ = f γ => Γ

R

funzioni continue. ∗ ⊆

Γ = Γ([a, b]) = f (γ([a, b])) f (A)

Γ(a) = f (γ(a)) = f (x ) = y

1 1

Γ(b) = f (γ(b)) = f (x ) = y

2 2

NOTA

⊆ −→

f : A X Y B = f (a)

d ρ

−→

g : B Z σ continue continua

◦

h = g f => f, g => h

Sia Sia poi Allora:

d ρ

−→ ∈ ∈ −→ −→

h : A Z. x A. x A x . f (x ) = y

0 n 0 n n

σ σ

−→ −→

f (x ) = y => g(f (x )) g(f (x )) => h(x ) h(x )

0 0 n 0 n 0

DEFINIZIONE

Una curva continua di è una qualunque funzione:

N

R N