Analisi Matematica 3

Indice

• Spazi metrici (Frechet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura . . . . . . . 10
• Connessione in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• Calcolo differenziale per funzioni di più variabili . . . . . . . . 34

Analisi matematica III

Spazi metrici (Frechet)

Sia data tale che: ∅. × −→X = d : X X R≥ ∀x, ∈

• d(x, x) 0 y X, d(x, y) = 0 <=> x = y∈
• d(x, y) = d(y, x)∀x, y X (disuguaglianza triangolare) è una≤ ∈
• d(x, y) d(x, z) + d(z, y)∀x, y, z X

dmetrica (distanza) su Xè uno spazio metrico(X, d)

Spazi normati

Sia dato uno spazio vettoriale su . Sia data un'applicazione: X R. | · | −→: X RSi dice che è una norma sullo spazio vettoriale se:

• |x| ≥ ∀x ∈ |x|1) 0 X, = 0 <=> x = 0|λn| |λ||n|∀λ ∈ ∀x ∈
• |x| = XR, (disuguaglianza triangolare) |x ≤ |x| |y| ∀x, ∈

+ y| + y X

Spazi prodotto interno (su )R

Sia spazio vettoriale su Si chiama prodotto interno su ogni ap-X XR.plicazione tale che:

• < x + y, z >=< x, z > + < y, z >
• < x, y >=< y, x >
• < λx, y >= λ < x, y >
• < x, x >≥ 0∀x X < x, x >= 0 <=> x = 0

Definizione

√ 2|x| |x|:= < x, x > < x, x >= E' una norma, e verrà chiamata norma generata da <, >

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Bunyakowskii)

| | ≤ |x||y|∀x, ∈ | | |x||y|< x, y > y X < x, y > = <=> x, y sono linearmente dipendenti

Dimostrazione

∈λ => < x + λy, x + λy >≥ 0R 2 2 2≤< |x| |y| ∀λ ∈=> 0 x, x > + < x, λy > + < λy, x > + < λy, λy >= +2λ < x, y > +λ R

Utilizzo il discriminante con formula ridotta:2 2 2 2 2−|x| |y| ≤ ≤ | | ≤ |x||y|<=>< x, y > 0 <=>< x, y > (|x||y|) => < x, y >√

Dimostrazione del fatto che è una norma

• |x| = < x, x >|x| ≥ ∀x ∈ |x|i) 0 X, = 0 <=>< x, x >= 0 <=> x = 0
• √√ 2|λx| |λ||x|ii) = < λx, λx > = λ < x, x > =2 2 2 2
• |x ≤ |x| |y| |x ≤ |y|) |x| |y|iii) + y| + <=> + y| (|x| + = + + 2|x||y|Ora: 2 2 2 2 2|x+y| |x| |x|=< x+y, x+y >= + < x, y > + < y, x > +|y| = +2 < x, y > +|y|2 2 2 2 2 2|x| ≤ |x| |+|y| ≤ |x|+2 < x, y > +|y| +2| < x, y > +2|x||y|+|y| =disuguaglianza di Cauchy-Schwarz2|y|)= (|x| +

spazi con prodotto interno spazi normati spazi metrici{ } ⊂ { } ⊂ { }=>

DIMOSTRAZIONE DI spazi normati spazi metrici{ } ⊂ { }Sai Poniamo| · |). |x −(X, d(x, y) := y|

Verifichiamo che è una metrica sud X≥ |x − −

• i) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 <=> y| = 0 <=> x y = 0 <=> x = y|x − |(−1)(y − |(−1)||y −
• ii) d(x, y) = y| = x)| = x| = d(y, x)|x − |(x − − ≤ |x − |z −
• iii) d(x, y) = y| = z) + (z y)| z| + y| = d(x, z) + d(z, y)

INDICEOSSERVAZIONE (sottospazi di uno spazio metrico)

Sia spazio metrico. Sia poi ⊆ 6 ∅(X, d) Y X, Y =Allora è una metrica su

0 00 0 00× −→d : Y Y d (Y , Y ) = d(Y , Y ) YR,Y Y

Lo spazio euclideo reale n-dimensionale ( )

∈ ≥N N 1N,

Sia l'insieme delle N-ple ordinate di numeri reali. In altri termini:

NR N∈ ∈x <=> x = (x , ..., x ), x j = 1, ..., NR R,1 N j

Definizione

N∈x = (x , ..., x ), y = (y , ..., y ) R1 N 1 N

x + y = (x + y , ..., x + y )1 1 N N

vettore nullo0 = (0, ..., 0)

∈λ λx = (λx , ..., λx )R, 1 N

è un gruppo additivo commutativoBASE CANONICA DI NRe , ..., e1 Ne = (0, 0, ..., 1 , ..., 0)j j

P

Ora se risulta che

NN∈x = (x , ..., x ) , x = (x e + ... + x e = x e )R1 N 1 1 N N j jj=1

Spazi metrici (Frechet)

D'altra parte

NX 0= λ e = (λ , ..., λ ) <=> λ = 0∀j Nj j 1 N jj=1

Allora è la base canonica.e jDEFINIZIONE(prodotto interno in )NR

N∈x = (x , ..., x ), y = (y , ..., y ) R1 N 1 N

NX 0< x, y >:= x y e un prodotto interno euclideoj jj=1

NX 2 ≥ ∈< x, x >= x 0, = 0 <=> x = 0∀j <=> x = 0Njjj=1

Ì N√ X 2|x| = x< x, x > = jj=1

Successioni in uno spazio metrico

Sia uno spazio metrico. Si chiama successione in ogni funzione(X, d) X−→X : XN

Convenzione: x(n) = x , (x ) , (x )n n n∈N n

Definizione (di limite per le successioni)

Sia una successione in Sia Si dice che tende a ∈(x ) (X, d). x X. xn n∈N n per o anche che se:

→x n +∞ lim x = xn→+∞ n

∀ ∈ ∈lim d(x , x) = 0 <=> > 0 n : d(x, x) < ∀n > nNn nn→+∞

Teorema (unicità del limite)

Sia successione in Siano 0 0d d∈ −→ −→(x ) (X, d). x, x X : x x, x x =>n n n0x = x Si ha:Dimostrazione.0 0 0 0≤ ≤ →0 d(x, x ) d(x, x ) + d(x , x ) 0 => d(x, x ) = 0 <=> x = xn n n→+∞

OSSERVAZIONENello spazio euclideo la definizione coincide con quella classica.Rd e

Spazi metrici completi

Definizione (successione di Cauchy nello spazio metrico)

Sia spazio metrico. Una successione in è di Cauchy <=>(X, d) (x ) Xn

∀ ∈> 0∃n : d(x , x ) < ∀n, m > nN n m

Proposizione

Ogni successione convergente è di Cauchy

Spazi metrici (Frechet)

Sia successione convergente in convergente. Al-(x ) (X, d)Dimostrazione. nlora per Cioè:d∃x ∈ −→ →X : x x n +∞.n ∃x ∈ ∀ ∈ ∀nX : > 0∃n : d(x , x) < > nN n 2Di conseguenza:∈ ≤ ≤n, m m > n => d(x , x ) d(x , x) + d(x, x ) Nn, n m n m2 2In definitiva: ∀ ∈> 0∃n : d(x , x ) < ∀n > nN n mAllora è di Cauchy(x )n

Definizione (spazio metrico completo)

Sia spazio metrico. Si dice che è completo se per ogni suc-(X, d) (X, d)cessione di Cauchy in è convergente in(X, d) (X, d).

OSSERVAZIONE è completo ogni successione di Cauchy in è convergen-(X, d) <=> (X, d)te in ∈ −→(X, d) <=> (∀(x ) successione in X∃x X : x x) <=>n n0((x ) e di Cauchy)nQuindi è di Cauchyd ∈∃x ∈ −→ ∀X : x x <=> (x ) <=> > 0∃nn n∀n,: d(x , x ) < , m > nN n m

Teorema

è completo N(R , d )e Sia una successione di Cauchy in sottinteso con N(x )Dimostrazione. Rn n∈Nla distanza euclidea.Dimostriamo che N∃x ∈ −→: x xR nPer ipotesi: per|x − | −→ →d (x , x ) = x 0 n, m +∞e n m n mSia Allora:(1) (n)x = (x , ..., x ).n n n NX(1) (1) (j) (j)≤ |x − | ≤ |x − | ≤ |x − |0 x x xn m n,m→+∞ 0n m n mj=1Quindi: (j) (j) (j)|x − |∀jx = 1, ..., N <=> (x )n→Nn m nsuccessione di Cauchy in (j) (j) j∀j ∃x ∈ −→= 1, ..., <=> : x xR, N R n→+∞n(1) (n) N∀j −→ ∈= 1, ..., N <=> x x = (x , ..., x ) Rn n→+∞

Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura

Sia spazio metrico. Siano poi e . Allora:∅ 6 ⊆ ∈(X, d) = A X x X

è interno a ∃r ⊆1) x A <=> > 0 : D(x , r) A0 0Dove disco centrato in e raggio {x ∈D(x , r) = x r := X|d(x, x ) < r}0 0 0è esterno ad 0∃r ⊆2) x A <=> > 0 : D(x , r) A = (X A)0 0

è un punto di frontiera (ne' interno, ne' esterno) ∀r3) x <=> > 0, D(x , r)∩0 00 6 ∅, ∩ 6 ∅A = D(x , r) A =0 0∩ 6 ∅ 6 ∩A D(x , r) = = A D(x , r)∀r > 00

Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura

Si definisce frontiera di un insieme insieme dei punti di frontiera diA =A := F (A) = ∂(A)r

OSSERVAZIONELa frontiera dell'insieme è uguale alla frontiera del suo complementare F (A) =r. Si definisce poi:0F (A )rinterno di insieme dei punti interni diA = A =: int(A)Un insieme si dice aperto se coincide con il suo interno: è apertoA <=>ogni punto di è interno adA = int(A) <=> A AOSSERVAZIONE 0 ∩ ∅A e aperto <=> A F (A) =r

Insieme chiuso

Si dice inoltre che un insieme è chiuso, se contiene tutta la sua frontiera.In altri termini: 0 ⊆A e chiuso <=> F (A) ArSi pone chiusura di ∪A = A := A F (A)rTEOREMAspazio metrico, Sono equivalenti le seguenti affer-⊆ ∈(X, d) A X, x X.0mazioni:∈i) x A0 ∪ 6 ∅ ∀rii) A D(x , r) = > 00una successione in d∃ −→iii) (x ) A : x xn n

i) => ii)Dimostrazione. allora oppureInfatti se ∪ ∈ ∈∈ A = (A F (A)) x A x F (A)x r 0 0 r0In ogni caso ∩ 6 ∅∀rA D(x , r) = > 00ii) => iii)Per ipotesi: 1 6 ∅, ∀n ∈∩ ) =A D(x , N0 nAllora successione in tale che 1 d−→(x ) A d(x , x ) < x=> xn n 0 0nniii) => i)Per ipotesi: Per assurdo d∃x ∈ −→ 6∈ ∪A : x x . x A = A F (A)n n 0 0 rQuesto implica che è esterno ad Dunque tale che∃r ⊆x A. > 0 D(x , r)0 0D'altra parte da segue che0 d∩ ∅. −→ ∃n ∈A <=> D(x , r) A = x x :N0 n 0 ma questo è∈ 6∈d(x , x ) < r <=> x D(x , r)∀n > n => x A∀n > nn 0 n 0 nassurdo per l'ipotesi ∈x An

Corollario

è chiuso contiene tutti i suoi punti limite. Precisamente:A <=>è chiuso ∈ −→ ∈ ∈A <=> (∀x A, x x X => x A)n n 0 0

chiuso se⊆ ∈ → ∈A <=> F (A) A <=> x A => x x A

Dimostrazione. r n n 0mentre se perché∈ → ∈ ⊆x F (A) => x x A F (A) An r n 0 r

Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura

OSSERVAZIONE CRUCIALE è chiuso è aperto0A <=> A è chiuso ma0⊆ ∩ ∅A <=> F (A) A <=> F (A) A =Dimostrazione. r rè aperto0 0 0∩ ∅F (A ) A = <=> ArTEOREMAentrambi aperti (chiusi) sono aperti (chiu-∪ ∩i) A , A => A A , A A1 2 1 2 1 2si) S è apertofamiglia di aperti, allora Aii) (A ) ii i∈I i∈IT è chiusofamiglia di chiusi, alloraiii) (A )i i∈I i∈IA i

Definizioni di punti di accumulazione e derivato

Sia spazio metrico e sia Un punto è di accumula-⊆ ∈(X, d) A X. x X0zione di se − {x }) ∩ 6 ∅∀rA (A D(x , r) = > 0.0 0Si chiama derivato di , l'insieme dei punti di accumulazione di .A D(A) A

Proposizione

è chiuso ⊆1) A <=> D(A) Aè di accumulazione per d∈ ∃ ∈ − {x }) −→2) x X A <=> x (A x0 n 0 0

chiuso ∩ 6 ∅∀r − {x }) ∩1) A => A D(x , r) = > 0 => (ADimostrazione. 0 06 ∅∀r ⊆D(x , r) = > 0 => D(A) A0se è di accumulazione per∈ − {x }) ∩ 62) x X A <=> (A D(x , r) =0 0 0d∅∀r ∃x ∈ ∃x −→> 0 <=> A : d(x , x ) < r => xn n 0 n 0

Definizione di limite negli spazi metrici

Sia e due spazi metrici. Sia con siano−→ ⊆(X, d) (Y, ρ) f : A Y A X,poi e Allora:∈ ∈x D(A) λ Y.0 ∀ ∀x ∈ },lim f (x) = λ <=> > 0∃δ > 0 : ρ(f (x), λ) < , A−{x d(x, x ) < δ0 0x→x 0

Teorema (unicità del limite)

Se per e anche per allora0 0→ → → →f (x) λ x x f (x) λ x x λ = λ0 00 0λ = λ <=> ρ(λ, λ ) = 0Dimostrazione.Si ha 0 0≤ ≤0 ρ(λ, λ ) ρ(λ, f (x)) + ρ(f (x), λ ) (∗)D'altra parte per ipotesi:∀ ∈ − {x },> 0∃δ > 0 : ρ(f (x), λ) < ∀x A d(x, x ) < δ 0 00

0 0 0∀ ∈ − {x },> 0∃δ > 0 : ρ(f (x), λ ) < ∀x A d(x, x ) < δ0 0Sia ora 0 ∗ ∗∈ − {x } } − {x } ∩ 6x A : d(x, x ) < min{δ, δ = δ (A D(x , δ =0 0 0 0∅)x ∈ D(A)0Per questa scelta di si ha e 0x ρ(f (x), λ) < ρ(f (x), λ ) < Di conseguenza dalla disuguaglianza Si trae:(∗).0 0≤ ≤0 ρ(λ, λ ) ρ(f (x), λ) + ρ(f (x), λ ) < 2e quindi 0ρ(λ, λ ) < 2∀ > 0Dunque 0 0ρ(λ, λ ) = 0 => λ = λ

Limite delle restrizioni

Sia con e sia Sia poi−→ ⊆ ∈ ⊆ ∈f : A Y A X, x D(A). B A : x D(B).0 0Allora se allora anche e i due limiti sono∃ ∃lim f (x) lim (f /B)(x)x→x x→x0 0uguali.NOTA ≡lim (f /B)(x) lim f (x)x→x x→x0 0x∈B

Definizione di continuità

Siano e spazi metrici. Sia poi con Se−→ ⊆(X, d) (Y, δ) f : A Y A Y.si dice che è continua in se:∈x A, f x0 0∀ ∈> 0∃δ > 0 : ρ(f (x), f (x )) < ∀x Ad(x, x ) < δ0 0∈f C(A, Y )

Teorema generale

Tutti i teoremi per i limiti reali si trasformano restando uguali per le funzionia più variabili.

OSSERVAZIONE (disuguaglianza triangolare)|x ≤ |x| |y| ||x| − |y|| ≤ |x −+ y| + => y|∀x, y|x| |(x − ≤ |x − |y| |x| − |y| ≤ |x −= y) + y| y| + => y||y| |(y − ≤ |y − |x| |y| − |x| ≤ |y −= x) + x| x| + => x|Sapendo che |x − |y −y| = x|||x| − |y|| − |y|, |y| − |x|} ≤ |x −=> => max{|x| y|

OSSERVAZIONEP N P−→ ⊆ ∈ ∈(f : A , A , x D(A), λ )R R R0=> f = (f , ..., f ), λ = (λ , ..., λ )1 P 1 P−→ −→ ∀jf (x) λ <=> f λ = 1, ..., Px→x j x→x j0 0Si ha:Dimostrazione. PX≤ |f − ≤ |f − ≤ |f − |0 (x) λ| (x) λ| (x) λ j = 1, ..., P→j j j 0x→x 0j=1

PREMESSAcompatto, allora⊆ ∃T max T, min T.RInfatti: è compatto è limitato e chiuso.T <=> Tè limitato tali che∃λ, ∈T => µ λ sup T, µ = inf TR

Insiemi aperti, chiusi, frontiera, interno e chiusura

Riconosciamo che sono elementi di ( )λ, µ T => λ = max T, µ = min T(è un punto aderente)∈ ∃t ∈ −→ ∈ ∈