Analisi - Laplace

Trasformate di Laplace

Definizione:

g(t) è una funzione variabile in t ed s.

Dove:

• s è una variabile complessa.
• La trasformazione da t a ss=jω.

Condizioni di esistenza:

Se l'integrale converge per un valore reale di s=s, cioè se:

lim┬(B→∞)⁡〖∫_(0)^(B)▒〖e^(-st) g(t) dt〗=A〗

Allora esso converge per tutti i valori di s con Re(s)>s e la funzione trasformata è una funzione analitica a singolo valore dis nel semipiano Re(s)>s.

g(t) deve essere una funzione continua a tratti.

Trasformata Inversa:

Se L[g(t)]=G(s), allora g(t)=L[G(s)] è la trasformata inversa di Laplace di G(s).

L è anche detto operatore inverso di Laplace.

∫_(0)^(∞)▒〖e^(st) G(s) ds=lim┬(T→∞)⁡〖∫_(0)^(T)▒〖e^(st) G(s) ds〗〗=∫_(0)^(∞)▒〖e^(st) g(t) dt〗〗

dove è scelto in modo tale che tutti gli eventuali punti singolari siano a sinistra di γ.

diδG(s) giacciono a sinistra della linea Re(s)= nel piano complesso

Trasformate Notevoli G(s)1δImpulso A -> 0 [ ]1 1∞ a a∫ ∫− ⋅ − ⋅ −s t s t st⋅ ⋅ = ⋅ = −e dt ee u (t) dt0 0⋅a a s0 0[ ]1 − −sa sa− − = =lim e 1 lim e 1⋅a s→ →a 0 a 0

Trasformate Notevoli G(s)v 1Gradino V 0 su (t)-1 t∞ [ ] 11 1∞( ) ( )∫ − −st s t= = − = − − =G s e V dt V e V 0 1 Vo o o o0 s ss0

Trasformate Notevoli G(s)f(t) [t>0] v 1t 2st∞( ) ∫ − st= ⋅ ⋅G s t e dt0[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫′ ′= −f t g t dt f t g t f t g t dt− ste( ) ( ) ( )− st′= = ⇒ = −f t t ; g t e g t s∞ ∞∞− − st st ste e e 1 1( ) ∫ − st= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − =G s t 1 dt t e 2 2s s s s s 0 00

Trasformate Notevoli G(s)f(t) [t>0] 1α te α−s

Trasformate Notevoli G(s)f(t) [t>0]ωsin tωcos t

Trasformate Notevoli G(s)f(t) [t>0]α t ωe sin t

Proprietà notevoli dellatrasformata di Laplace (I)

Proprietà notevoli dellatrasformata di Laplace (II)

Proprietà notevoli dellatrasformata di Laplace (III)

Proprietà notevoli dellatrasformata di Laplace (IV)

16( ) =V s 1i 1 1 sC 1sC( ) ( )= = =V s V su i 1 + +sC 1 sRC 1 sRC+R sC1 −1 αL t→ e u (t)−1− αs − t1 1 1 1 1( ) ( )= ⇒ α = − ⇒ = ⋅RCV t e u t−u 11+1 sRC RC RC RC+s RC gradino unitario

18Il partitore R C - R C1 1 2 2R ( )= ⋅1 V V u tV −1 o 11C1 VCV R 221 2 tIn assenza dei condensatori, la tensione V sarebbe del tipo:2R( ) ( )= ⋅ = ⋅2V V u t u t2 o2 +R R1 2