Analisi e Geometria 1 - Insiemi, funzioni, successioni, limiti, numeri reali e complessi, luoghi geometrici

INSIEMI

a, b ∈ A insieme

a ∉ A NON APPARTENENZA

A ⊂ B A è contenuto in B

A ⊆ B A è contenuto o è UGUALE a B

A ⊂ B ↔ B ⊃ A

A = B ↔ se e solo se

P₁ => P₂ P₁ implica P₂

P₁ ≠ > P₂

INTERSEZIONE

A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}

SINMETRICA A ∩ B = B ∩ A

UNIONE

A ∪ B := {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ⊆ X, B ⊆ X

COMPLEMENTARE

Aᶜ := {x ∈ X : x ∉ A}

DIFFERENZA

B \ A := {x ∈ B ∧ x ∉ A}

N.B. B \ A ≠ A \ B

PRODOTTO CARTESIANO

A × B := {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}

N.B. (a, b) ≠ (b, a)

A₁, x A₂, x ... Aₙ ∃ (a₁, a₂, ..., aₙ)

K = 1, ... , n aₖ ∈ Aₖ

INSIEMI

a, b ∈ A

• insieme
• elementi

a ∉ A

• non appartenenza

A ⊂ B

• A è contenuto in B

A ⊆ B

• A è contenuto o è uguale a B

A ⊂ B

B ⊂ A ↔ A = B

• se e solo se

INTERSEZIONE

A ∩ B = { x ∈ A ∧ x ∈ B }

• simmetrica A ∩ B = B ∩ A

UNIONE

A ∪ B := { x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B }

A ⊆ X, B ⊆ X

COMPLEMENTARE

A^c := { x ∈ X : x ∉ A }

DIFFERENZA

B \ A := { x ∈ B ∧ x ∉ A }

• N.B. B \ A ≠ A \ B

PRODOTTO CARTESIANO

A × B := { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }

• N.B. (a, b) ≠ (b, a)

A₁, x_A₂, x_..., A_n ∃ (a₁, a₂, ...a_n)

K = 1, ... , n a_K ∈ A_K

A × A × A ... × A = Aⁿ

potenza n-esima di un insieme

N

= { 0, 1, 2, ... n } numeri naturali

Z

= { 0, ± 1, ± 2, ... } numeri interi relativi

Q

= { ^m⁄_n : m, n ∈ Z, n ≠ 0 } numeri razionali

R

= numeri reali

C

= numeri complessi

P = numeri primi

P ⊆ N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

x ∈ R punto della retta

(x, y) ∈ R² punto nello spazio

Funzioni

f : A → B

A → B

valore della funzione associato ad x

f : N → Q

f(x) = ^x⁄_{x + 1} x ∈ N

grafico di una funzione

f : A → B

g(f) = { (x, f(x)) ∈ A × B : x ∈ A } ⊆ A × B

PROPRIETA DEI GRAFICI

Partendo dal GRAFICO di una funzione posso risalire alla funzione stessa.

P(y) è la proiezione su x e y

FUNZIONE INIETTIVA

p: A → B

a₁, a₂ ⊂ A

• P(a₁) = P(a₂) ⇔ a₁ = a₂

Se ogni elemento di B è IMMAGINE di un SOLO elemento di A

≠ non confonde i punti

P(a₁) ≠ P(a₂) ⇒ a₁ ≠ a₂

es.

• ℝ → ℚ → ℚ
• P(x) = 2x è INIETTIVA

P(x) = P(y) ⇔ 2x = 2y ⇔ x = y

FUNZIONE SURIETTIVA

∀ b ⊂ B

• ∃ a ⊂ A / b = p(a)

Se ogni elemento di B è IMMAGINE di almeno un elemento di A.

FUNZIONE BIUNIVOCA o BIETTIVA

Se è INIETTIVA e SURIETTIVA!

∀ b ⊂ B

• ∃ ! a ⊂ A / b = p(a)

Se ad ogni elemento di A associa UNO e un SOLO elemento di B.

FUNZIONE MODULO in ℚ

|x| Modulo di x

P: ℚ → ℚ

• |P(x)| = {P(x) se x ≥ 0
• -P(x) se x < 0

|x-y| è la DISTANZA EUCLIDEA tra x e y

NON è NÉ INIETTIVA NÉ SURIETTIVA

CARDINALITÀ

di INSIEMI

→ quanti elementi contiene un insieme = BIJEZIONE tra gli elementi di un insieme e l'insieme dei numeri N

A e B hanno la stessa CARDINALITÀ se sono in CORRISPONDENZA BIUNIVOCA.

#(A) = #(B) se ∃φ : A → B BIUNIVOCA (o BIETTIVA)

#(A) = +∞ cardinalità di A è +∞

se ∃φ : A → A INIETTIVA ma NON SURIETTIVA

cioè esiste una BIJEZIONE tra A e un suo SOTTOINSIEME PROPRIO (≠ da se)

P(A) = IMMAGINE = { P(α) ∈ A, α ∈ A }

P(A) ⊂ A, P(A) ≠ A

φ: N → N

p(x) = x+1 x ∈ N

p(x) = p(y) ⇔ x+1 = y+1 ⇒ x = y ← INIETTIVA

p(N) = P(N) \ {0} ⊂ N NON è SURIETTIVA

#(N) = +∞ CARDINALITÀ NUMERABILE

ρ: {1,2} → {1,2}

NON è INFINITO ma FINITO

# {1,2} < +∞ = 2

{1,2,…,m} = {1,2,…,n} ⇔ m=n

N.B. #(N) = #(Z) = #(Q) < #(R)

NON esistono CARDINALITÀ INTERMEDIE

PRINCIPIO DI INDUZIONE

• ∀n ≥ 0 q∈Q; q≠1

  P(n): 1 + q + q² + q³ + ... + qⁿ = □

Sia n_0∈N fissato e ∀n ≥ n₀ un predicato o una formula P(n)

Se:

1. P(n₀) VERA
2. P(n) VERA ⇒ P(n+1) VERA ∀n ≥ n₀

allora P(n) è VERA ∀n ≥ n₀.

• VERIFICO LE IPOTESI:

  1. n=0
  2. P(0) è VERA

  SUPPONGO □

  Dimostriamo che anche P(n+1) è VERA

• P(n+1) = 1 + q + q² + q³ + ... + qⁿ + qⁿ⁺¹

⇒ P(n+1) è VERA

∀n ≥ n₀ è VERA PER PRINCIPIO DI INDUZIONE