Analisi e Geometria 1 - Insiemi, funzioni, successioni, limiti, numeri reali e complessi, luoghi geometrici

INSIEMI

a, b ∈ A

elementi

a ∉ A

NON APPARTENENZA

A ⊂ B

A è contenuto in B

A = B

A è contenuto o è uguale a B

A = B

A − B = B − A

A ⊆ B

⇔ se e solo se

P₁ ⇒ P₂

P₁ implica P₂

P₁ ⇏ P₂

INTERSEZIONE

A ∩ B = { x ∈ A e x ∈ B }

insieme

simmetrica

A ∩ B = B ∩ A

UNIONE

A ∪ B = { x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B }

A ⊆ X, B ⊆ X

COMPLEMENTARE

A^c = { x ∈ X : x ∉ A }

DIFFERENZA

B \ A = { x ∈ B ∧ x ∉ A }

N.B. B \ A ≠ A \ B

PRODOTTO CARTESIANO

A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }

(a, b) → COPPIA ORDINATA

N.B. (a, b) ≠ (b, a)

A₁ × A₂ × ... A_n ∋ (a₁, a₂ ... a_n)

K = 1, ... , n

a_k ∈ A_k

A x A x A ... x A = Aⁿ

POTENZA N-esima di un insieme

N = NUMERI NATURALI

• { 0, 1, 2, ..., n }

Z = NUMERI INTERI RELATIVI

• { 0, ± 1, ± 2, ..., ± n }

Q = NUMERI RAZIONALI

• { m/n : m,n ∈ Z, n ≠ 0 }

R = NUMERI REALI

C = NUMERI COMPLESSI

P = NUMERI PRIMI

P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

ℝ

x ∈ ℝ

punto della RETTA

ℝ²

(x, y) ∈ ℝ²

punto nello SPAZIO

ℝ³

FUNZIONI

f : A → B

A_f → B

• vettore della funzione associato ad x.

f : ℕ → ℚ es. f(x) = ^x/_{x + 1} x ∈ ℕ

GRAFICO di una FUNZIONE f : A → B

G(f) = { (x, f(x)) ∈ A x B : x ∈ A } ⊂ A x B

∀n ≥ 1

P(n) é VERA

SOMMATORIE ∑

• ∑_k=1ⁿ a_k = a_n0 + a_n0+1 + a_n
• ∑_k=n0ⁿ c_k = ∑_k=0^n-n₀ c_n0+k
• ∑_k=n0ⁿ⁺¹ (a_k + b_k) = ∑_k=n0ⁿ⁺¹ a_k + ∑_k=n0ⁿ⁺¹ b_k
• ∑_k=n0ⁿ a_k = ∑_k=n0^n₀-1 a_k + ∑_k=n0+1ⁿ a_k

(E3) q ∈ ℚ q ≠ 1

• (1-q) ∑_k=1ⁿ q^k = ∑_k=0ⁿ q^k - q ∑_k=0ⁿ q^k = ∑_k=0ⁿ q^k - ∑_k=0ⁿ q^k+1
• = ∑_k=0ⁿ q^k = 1 - qⁿ⁺¹
• = 1+q+q²+...+qⁿ-qⁿ⁺¹

INTERVALLI su ℚ

• ↠ ESTREMI
• a, b ∈ ℚ
• a < b

• (a, b) = { q ∈ ℚ : a < q < b } INTERVALLO APERTO
• [ a, b ) = { q ∈ ℚ : a ≤ q < b }
• [ a, b ] = { q ∈ ℚ : a ≤ q ≤ b } INTERVALLO CHIUSO
• |(a, b)| = |b-a| = b-a LUNGHEZZA EUCLIDEA

INTERVALLI SIMMETRICI

• (x₀ - ε, x₀ + ε)
• { q ∈ ℚ : x₀ - ε < q < x₀ + ε} = { q ∈ ℚ : -ε < q - x₀ < ε}
• = { q ∈ ℚ | q - x₀ | < ε }

E₀ lim_n→+∞

E₀ |a_n-ℓ| < ε

E₀ lim_n→+∞|(-1)ⁿ| < ε

E₀ lim_n→+∞ (-1)ⁿn

E₀ lim_n→+∞ (-1)ⁿ = 0 |a_n-ℓ| < ε

E₀ lim_n→+∞

LIMIT = ±∞

lim_n→+∞

∀N∈ℚ ∃M∈ℕ|n>M ⟹ a_n>N

lim_n→+∞

∀N∈ℚ ∃M∈ℕ|n>M ⟹ a_n<N

E₀ lim_n→+∞ = +∞

E₀ lim_n→+∞ 2ⁿ = +∞

NUMERI REALI

I numeri reali ℝ sono le classi di equivalenza di successioni {a_n} ⊂ ℚ che soddisfano la proprietà di Cauchy.

La successione di Cauchy:

{x_n}_{n ≥ 1} include tutte le successioni equivalenti.

Le classi di equivalenza indicano più successioni che convergono allo stesso limite.

Due successioni {a_n} e {b_n} sono equivalenti se convergono allo stesso limite. ⇒ lim_{n → ∞} (a_n - b_n) = 0 la loro differenza tende a 0.

Esempio: a_n = ¹/₃ (costante)

b_n = ∑_{K = 1}ⁿ (3 ∙ 10^-K) = 0,3...3 (n volte) equivalenti

a_n - b_n = ¹/₃ ∑_{K = 1}ⁿ (3 ∙ 10^-K) = ¹/₃ ∑_{K = 1}ⁿ (10^-1)^K

= ¹/₃ ∑_{K = 0}ⁿ (10^-1)^K - 1

= ¹/₃ (3 ( ^{1 - 10-(n+1)}/_{1 - 10^-1} - 1 )) - 1 = 0

lim_{n → ∞} ¹/₃ (3 ( ^{1 - 10-(n+1)}/_{1 - 10^-1} - 1 )) = 0

Successione della somma:

1. {a_n} + {b_n} := {a_n + b_n}

Per sommare due reali è sufficiente prendere due successioni di Cauchy che approssimano e usare la funzione somma.

Per DICOTOMIA individuiamo c, punto MEDIO.

c = (a₀ + b₀) / 2

c, consideriamo i SUB-INTERVALLI [a₀, c] [c, b₀]

Im almeno uno [a_i, b_i] sono elementi di A poiché [a₀, b₀] A ≠ 0

⇒ Scegliamo uno dei due intervalli optando per quello di destra

a₁ = c

b₁ = b₀

[a₁, b₁] A ≠ 0

e evidentemente x ≤ b₁, (punto b₀)

2 PROPRIETÀ:

• b₁ è maggiorante di A, x ≤ b₁
• [a₁, b₁] A ≠ 0

ITERANDO

∃ [a_k+1, b_k+1] ⊂ [a_k, b_k] ⊂ [a₀, b₀], PUNTI INIZIALI

tale che x∈ A ⇒ x ≤ b_k è maggiorante

[a_k, b_k] A ≠ 0

⇒ INDIVIDUA un SOLO PUNTO = ESTREMO SUPERIORE

{b_k} è MONOTONA DECRESCENTE e INF LIMITATA

a₀ ≤ b_k+1 ≤ b_k

Analogamente {a_k} è MONOTONA CRESCENTE e SUP LIMITATA

a_k ≤ a_k+1 ≤ b₀

Per il TEOREMA della CONVERGENZA delle SUCCESSIONI MONOTONE

∃ lim b_n = b poiché a_k ≤ b_k per teorema del CONFRONTO.

a_n-b_n è la LUNGHEZZA n-esimo INTERVALLO

b_n - a_n = (b₀ - a₀) / 2ⁿ → ogni intervallo è diviso per 2 n volte

Proprietà

1) |z| ≥ 0

2) |z| = 0 ⇔ z = 0

3) |-z| = |z|

4) |Re(z)| ≤ |z|

|Im(z)| ≤ |z|

|Re(z)| = cateto

|z| = ipotenusa

|Im(z)| = cateto

|Re(z)| + |Im(z)| ≥ |z|

5) |z - w| ≤ |z - v| + |v - z|

Disuguaglianza triangolare

6) |z + w| ≤ |z| + |w|

Utile per una stima del numero

7) ||z| - |z₂| | ≤ |z - z₂|

8) |wz| = |w| |z|

|w/z| = |w| / |z|

Forma Trigonometrica

dei numeri C

C ⇒ z ≠ 0

La conoscenza di ϑ e |z| permettono di ricavare z in modo univoco.

z / |z| = z̅ / |z| = v / |v|

N uovo C con cui distanza dall'origine è 1

z = |z|w = |z|(cosϑ + i senϑ)

Re(u) = cosϑ

Im(u) = senϑ

z = |z|(cosϑ + i senϑ)