Analisi e Geometria 1 - Insiemi, funzioni, successioni, limiti, numeri reali e complessi, luoghi geometrici

Insiemi

a, b ∈ A insieme

a ∉ A non appartenenza

A ⊂ B A è contenuto in B

A ⊆ B A è contenuto o è uguale a B

A ⊂ B ↔ B ⊃ A

A = B ↔ se e solo se

P₁ => P₂ P₁ implica P₂

P₁ ≠ > P₂

Intersezione

A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}

Simmetrica A ∩ B = B ∩ A

Unione

A ∪ B := {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ⊆ X, B ⊆ X

Complementare

Aᶜ := {x ∈ X : x ∉ A}

Differenza

B \ A := {x ∈ B ∧ x ∉ A}

N.B. B \ A ≠ A \ B

Prodotto cartesiano

A × B := {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}

N.B. (a, b) ≠ (b, a)

A₁, x A₂, x ... Aₙ ∃ (a₁, a₂, ..., aₙ)

K = 1, ... , n aₖ ∈ Aₖ

Insiemi

a, b ∈ A insieme elementi

a ∉ A non appartenenza

A ⊂ B A è contenuto in B

A ⊆ B A è contenuto o è uguale a B

A ⊂ B B ⊂ A ↔ A = B se e solo se

Intersezione

A ∩ B = { x ∈ A ∧ x ∈ B }

Simmetrica A ∩ B = B ∩ A

Unione

A ∪ B := { x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B }

A ⊆ X, B ⊆ X

Complementare

A^c := { x ∈ X : x ∉ A }

Differenza

B \ A := { x ∈ B ∧ x ∉ A }

N.B. B \ A ≠ A \ B

Prodotto cartesiano

A × B := { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }

N.B. (a, b) ≠ (b, a)

A₁, x_A₂, x_..., A_n ∃ (a₁, a₂, ...a_n)

K = 1, ... , n a_K ∈ A_K

A × A × A ... × A = Aⁿ potenza n-esima di un insieme

Insiemi numerici

N= { 0, 1, 2, ... n } numeri naturali

Z= { 0, ± 1, ± 2, ... } numeri interi relativi

Q= { ^m⁄_n : m, n ∈ Z, n ≠ 0 } numeri razionali

R= numeri reali

C= numeri complessi

P = numeri primi

P ⊆ N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

x ∈ R punto della retta

(x, y) ∈ R² punto nello spazio

Funzioni

f : A → B

A → B valore della funzione associato ad x

f : N → Q

f(x) = ^x⁄_{x + 1} x ∈ N

Grafico di una funzione

f : A → B

g(f) = { (x, f(x)) ∈ A × B : x ∈ A } ⊆ A × B

Proprietà dei grafici

Partendo dal grafico di una funzione posso risalire alla funzione stessa.

P(y) è la proiezione su x e y

Funzione iniettiva

p: A → B

a₁, a₂ ⊂ A

P(a₁) = P(a₂) ⇔ a₁ = a₂

Se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A

≠ non confonde i punti

P(a₁) ≠ P(a₂) ⇒ a₁ ≠ a₂

es. ℝ → ℚ → ℚ

P(x) = 2x è iniettiva

P(x) = P(y) ⇔ 2x = 2y ⇔ x = y

Funzione suriettiva

∀ b ⊂ B ∃ a ⊂ A / b = p(a)

Se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

Funzione biunivoca o biettiva

Se è iniettiva e suriettiva!

∀ b ⊂ B ∃ ! a ⊂ A / b = p(a)

Se ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

Funzione modulo in ℚ

|x| Modulo di x

P: ℚ → ℚ

|P(x)| = {P(x) se x ≥ 0-P(x) se x < 0

|x-y| è la distanza euclidea tra x e y

Non è né iniettiva né suriettiva

Cardinalità

di insiemi → quanti elementi contiene un insieme = biezione tra gli elementi di un insieme e l'insieme dei numeri

A e B hanno la stessa cardinalità se sono in corrispondenza biunivoca.

#(A) = #(B) se ∃φ : A → B biunivoca (o biettiva)

#(A) = +∞ cardinalità di A è +∞

se ∃φ : A → A iniettiva ma non suriettiva

cioè esiste una biezione tra A e un suo sottoinsieme proprio (≠ da se)

P(A) = immagine = { P(α) ∈ A, α ∈ A }

P(A) ⊂ A, P(A) ≠ A

φ: N → N

p(x) = x+1 x ∈ N

p(x) = p(y) ⇔ x+1 = y+1 ⇒ x = y ← iniettiva

p(N) = P(N) \ {0} ⊂ N non è suriettiva

#(N) = +∞ cardinalità numerabile

ρ: {1,2} → {1,2}

Non è infinito ma finito

# {1,2} {1,2,…,m} = {1,2,…,n} ⇔ m=n

N.B. #(N) = #(Z) = #(Q) non esistono cardinalità intermedie

Principio di induzione

∀n ≥ 0 q∈Q; q≠1

P(n): 1 + q + q² + q³ + ... + qⁿ = □

Sia n_0∈N fissato e ∀n ≥ n₀ un predicato o una formula P(n)

Se:

• P(n₀) vera
• P(n) vera ⇒ P(n+1) vera ∀n ≥ n₀

allora P(n) è vera ∀n ≥ n₀.

Verifico le ipotesi

• n=0 P(0) è vera

Suppongo □

Dimostriamo che anche P(n+1) è vera

P(n+1) = 1 + q + q² + q³ + ... + qⁿ + qⁿ⁺¹ ⇒ P(n+1) è vera

∀n ≥ n₀ è vera per principio di induzione