Analisi di statistica sociale riguardante i tassi di separazioni e divorzi in Italia nell’anno 2009, Statistica sociale

CONCLUSIONE

Dopo questa analisi è possibile notare che in Italia tra il 2000 e il 2009 c’è stato un decremento lineare nel

numero dei matrimoni (col procedere degli anni il numero dei matrimoni diminuisce progressivamente, ossia le

due variabili sono correlate inversamente). Come postulato da questa relazione quindi il numero dei matrimoni

è correlato con lo scorrere degli anni e probabilmente ciò è anche determinato da una cambiamento sociale che

prevede percorsi di studi più lunghi, maggiori possibilità di carriera soprattutto per le donne e media di

lunghezza della vita più alta, senza contare che molte coppie optano per un’unione di fatto invece di scegliere la

via matrimoniale. Per tutte queste ragioni probabilmente le persone tendono a posticipare negli anni la

decisione di sposarsi e costruire una famiglia o addirittura decide di rinunciarvi.

Essendo il coefficiente di correlazione vicino ad 1 possiamo vedere che questo legame tra variabili è forte, tesi

confermata anche dal test di significatività, ben maggiore del valore critico.

SEPARAZIONI:

Diagramma di Dispersione

Numero di separazioni nei dieci anni tra il 2000 e il 2009 sono variati in modo lineare?

x 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

y 71969 75890 79642 81744 83179 82291 80407 81359 84165 85945

! 9

90000

85000

80000

75000

70000 0 1 2 3 4

! La variabile indipendente X che rappresenta gli anni è stata descritta con dei numeri naturali da 1 a 10.

Retta di Regressione

Quando stimiamo la relazione lineare fra una variabile dipendente Y e una variabile indipendente X,

regrediamo Y rispetto ad X, producendo una relazione lineare bivariata o una regressione bivariata, in termini

algebrici: Y= a+bX

Dove Y (ordinata) coincide alla somma di una costante a (che corrisponde al punto in cui la retta intercetta

l’asse verticale, ovvero il valore di Y quando X=0) più il valore di b (il gradiente, cioè l’inclinazione della retta)

moltiplicato per X.

I ricercatori sociali di norma presuppongono che le variabili siano correlate in modo lineare a meno che non sia

evidente l’esistenza do una correlazione non lineare, come nel caso di una curva gaussiana o logaritmica.

Il punto di partenza è un’equazione predittiva, nella quale ad ogni valore di X (v. indipendente) ne corrisponde

una di Y (v. dipendente):

= a +

Tuttavia i dati analizzati dai ricercatori sociali non sono mai delle perfette relazioni lineari, bisogna perciò

valutare l’esistenza di un errore (detto anche residuo), che misura la discrepanza fra i valori osservati di Y e

quelli attesi in base all’equazione di regressione lineare.

L’errore è detto “residuo” in quanto rappresenta la quantità che rimane dopo aver sottratto l’equazione

predittiva dal modello di regressione lineare:

- = [a + + ] – [a + ] =

Coefficiente di Regressione ! 10

L’analisi di regressione stima i valori di a e b utilizzando i dati osservati. Compito del modello è minimizzare i

residui.

Il criterio dei minimi quadrati:

Esso permette di stimare l’equazione; secondo questo criterio (OLS → stima dei minimi quadrati comuni) la

somma delle differenze al quadrato deve essere minima.

La stima dei minimi quadrati per il coefficiente di regressione bivariata è calcolata come:

L’intercetta si può ricavare dall’equazione predittiva dopo aver trovato : a = -

Per poter effettuare tutti i calcoli si può costruire una tabella, come quella che segue, che contiene tutte lòe

informazioni necessarie per calcolare e a. X = 5,5 Y = 80659,10

( - M(x)) ( - M(y)) ( - M(x)) ( - M(y)) ( - M(x) ( - M(y)

-4,5 -8690,10 39105,45 20,25 74116602,81

-3,5 -4769,10 16691,85 12,25 22744314,81

-2,5 -1017,10 2542,75 6,25 1034492,41

-1,5 1084,90 -1627,35 2,25 1177008,01

-0,5 2519,90 -1259,95 0,25 6349896,01

0,5 1631,90 815,95 0,25 2663097,61

1,5 -252,10 -378,15 2,25 63554,41

2,5 699,90 1749,75 6,25 489860,01

3,5 3505,90 12270,65 12,25 12291334,81

4,5 5285,90 23786,55 20,25 27940738,81

93697,50 ( - M(y) = 148870899,70

= 82,50

Nel nostro caso:

= = 1135,73 [INCLINAZIONE DELLA RETTA DI REGRESSIONE]

a = 80659,10 – (1135,73 * 5,5) = 80659,10 – 6246,52 = 74412,58

[PUNTO IN CUI LA RETTA DI REGRESSIONE TOCCA L’ASSE Y CON X = 0]

! 11

Inoltre:

Il numeratore di diviso per N-1 determina la covarianza indicata come :

= = = = 10410,83

Il denominatore di diviso per N-1 determina la varianza di X, indicata come :

= = = = 9,16

Dato che N-1 appare nel denominatore di covarianza e varianza campionaria questo viene eliminato nel

rapporto tra le due il quale risulta uguale a . Dunque lo stimatore può anche essere espresso come:

Per determinare la forza della covariazione scomponiamo gli effetti:

Dove:

= Esprime la differenza tra osservazione e valore atteso:

= Esprime la parte di valore osservato attribuibile alla relazione lineare tra Y e X.

COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE

Un modo per determinare la forza della covariazione tra due variabili è misurare la vicinanza tra i valori

osservati e quelli prodotti dalla retta di regressione stimata.

La variazione di Y è dovuta sia all’effetto esercitato da X sia dall’errore causale; possiamo dividere la somma

dei quadrati totale in una componente sistematica ed in una casuale.

Se vogliamo conoscere la quota di variazione attribuibile al modello di regressione:

= =

Quindi →

Nel nostro caso:

= = = 16541211,08 ! 12

= = 0,72

Possiamo dunque affermare che la variabile Y è influenzata per l’72% dalla variabile X, quindi l’72% della

variazione osservata nel numero delle separazioni è data dallo scorrere del tempo.

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE DI PEARSON

È la radice quadrata del coefficiente di determinazione .

= = 0,84

Se è -1 rappresenta una relazione inversa perfetta tra le variabili, se è uguale a zero indica l’inesistenza di

relazioni e se è uguale a 1 abbiamo una relazione diretta perfetta.

In questo caso abbiamo una relazione diretta non totalmente perfetta; le due variabili hanno una relazione

direttamente proporzionale.

TEST DI SIGNIFICATIVITA’ PER I COEFFICIENTI DI REGRESSIONE

Il test di significatività del coefficiente di determinazione consente di trarre inferenze sulla popolazione a

partire dai dati campionari.

Il test di significatività statistica per fa ricorso alla distribuzione F. La somma dei quadrati della regressione,

essendo stimata a partire da possiede solo un grado di libertà. La somma dei gradi di libertà può essere

suddivisa in due come la somma dei quadrati totali, perciò:

N-1 = 1 + → = N-2

Nel nostro caso:

= 10-2 = 8

= * * (N-1) = 0,72 * 16541211,08 * 9 = 107187047,80

* (N-1) = 16541211,08 * 9 = 148870899,70

[= * = 0,72* 148870899,70 = 107187047,80]

- 148870899,70 – 107187047,80 = 41683851,90

= = 5210481,49

= = = 20,57

Poniamo α = 0,01, in quanto un α “piccolo” riduce le possibilità di errore.

! 13

Il valore critico è 11,26. Essendo F superiore a questo valore il test di significatività può dirsi convalidato.

CONCLUSIONE

Dopo questa analisi è possibile notare che in Italia tra il 2000 e il 2009 c’è stato un incremento lineare nel

numero delle separazioni (col procedere degli anni il numero delle separazioni aumenta, ossia le due variabili

sono correlate inversamente). Come postulato da questa relazione quindi il numero delle separazioni è correlato

con lo scorrere degli anni.

Essendo il coefficiente di correlazione vicino ad 1 possiamo vedere che questo legame tra variabili è forte, tesi

confermata anche dal test di significatività, ben maggiore del valore critico.

DIVORZI:

Diagramma di Dispersione ! 14

Numero di divorzi nei dieci anni tra il 2000 e il 2009 sono variati in modo lineare?

x 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

y 37573 40051 41835 43856 45097 47036 49534 50669 54351 54456

60000

45000

30000

15000

0 0 1 2 3 4

! La variabile indipendente X che rappresenta gli anni è stata descritta con dei numeri naturali da 1 a 10.

Retta di Regressione

Quando stimiamo la relazione lineare fra una variabile dipendente Y e una variabile indipendente X,

regrediamo Y rispetto ad X, producendo una relazione lineare bivariata o una regressione bivariata, in termini

algebrici: Y= a+bX

Dove Y (ordinata) coincide alla somma di una costante a (che corrisponde al punto in cui la retta intercetta

l’asse verticale, ovvero il valore di Y quando X=0) più il valore di b (il gradiente, cioè l’inclinazione della retta)

moltiplicato per X.

I ricercatori sociali di norma presuppongono che le variabili siano correlate in modo lineare a meno che non sia

evidente l’esistenza do una correlazione non lineare, come nel caso di una curva gaussiana o logaritmica.

Il punto di partenza è un’equazione predittiva, nella quale ad ogni valore di X (v. indipendente) ne corrisponde

una di Y (v. dipendente):

= a +

Tuttavia i dati analizzati dai ricercatori sociali non sono mai delle perfette relazioni lineari, bisogna perciò

valutare l’esistenza di un errore (detto anche residuo), che misura la discrepanza fra i valori osservati di Y e

quelli attesi in base all’equazione di regressione lineare.

L’errore è detto “residuo” in quanto rappresenta la quantità che rimane dopo aver sottratto l’equazione

predittiva dal modello di regressione lineare: ! 15

- = [a + + ] – [a + ] =

Coefficiente di Regressione

L’analisi di regressione stima i valori di a e b utilizzando i dati osservati. Compito del modello è minimizzare i

residui.

Il criterio dei minimi quadrati:

Esso permette di stimare l’equazione; secondo questo criterio (OLS → stima dei minimi quadrati comuni) la

somma delle differenze al quadrato deve essere minima.

La stima dei minimi quadrati per il coefficiente di regressione bivariata è calcolata come:

L’intercetta si può ricavare dall’equazione predittiva dopo aver trovato : a = -

Per poter effettuare tutti i calcoli si può costruire una tabella, come quella che segue, che contiene tutte lòe

informazioni necessarie per calcolare e a. X = 5,5 Y = 46445,8

( - M(x)) ( - M(y)) ( - M(x)) ( - M(y)) ( - M(x) ( - M(y)

-4,5 -8872,80 39105,45 20,25 78726579,84

-3,5 -6394,80 16691,85 12,25 40893467,04

-2,5 -4610,80 2542,75 6,25 21259476,64

-1,5 -2589,80 -1627,35 2,25 6707064,04

-0,5 -1348,80 -1259,95 0,25 1819261,44

0,5 590,20 815,95 0,25 348336,04

1,5 3088,20 -378,15 2,25 9536979,24

2,5 4223,20 1749,75