Analisi delle vibrazioni

Analisi delle Vibrazioni

• Analisi sistema ad un grado di libertà

Modello con: massa, rigidezza, smorzamento

Sistema avente moto trasutorio

Si applica il Principio di d'Alembert

∑ forze applicate + ∑ moti d'inerzia = 0

- m ¨x - C ˙x - Kx + F(t) = 0

m ¨x + C ˙x + Kx = F(t)

Massa, Smorzam., Rigdezza = Costanti

Analisi delle vibrazioni

• Analisi sistema ad un grado di libertà

Modello con: massa, rigidezza, smorzamento

Sistema avente moto traslutorio

Si applica il Principio di d'Alembert

Σ forze applicate + Σ moti di inerzia = 0

-m_¨x - C - Kx + F(t) = 0

m_¨¨x + C + Kx = F(t)

Massa Smorzam. Rigidezza = Costanti

Studio

m x^¨ + c x^˙ + k x = F(t)

1. f(t) = 0, c = 0

mx^¨ + kx^˙ = 0

x(t) = A e^st

velocità e accelerazione

x^˙(t) = s A e^st

x^¨(t) = s² A e^st

A = AmpiezzeS = n° complessot = variabile tempo

Non conosco S e nemmeno A

Sostituisco e

m x^¨ + k x^˙ = 0

x e^st trovati

Allora

m s² A e^st + k A e^st = 0

Divido e^st

m s² + k = 0

Ricavo S

s = ± √^-k/m

= ± √^-1 • √^k/m

= ± i √^k/m

√^k/m = ωmpulsazione naturale

Quindi:

S1 = i ωm

S2 = -i ωm

Tornando alla soluzione iniziale

x(t) = A e^st      = A₁ e^{s₁ · t} + A₂ e^{s₂ t}      = A₁ e^iωnt + A₂ e^-iωnt

Sostituisco s₁ e s₂ trovati.

Ora manca da trovare A₁ e A₂, le costanti di integrazione.

• Imporro spostamento iniziale      x (t=0) = x₀
• Imporro velocità iniziale         ẋ (t=0) = ẋ₀

Usando Eulero      ( e^iωnt = cos ωnt + i sin ωnt )      ( e^-iωnt = cos ωnt - i sin ωnt )

x(t) = A₁ ( cos ωnt + i sin ωnt ) + A₂ ( cos ωnt - i sin ωnt )

Raccolgo cos ωnt e sin ωnt

x(t) = ( cos ωnt )(A₁ + A₂ ) + i ( A₁ - A₂ )( sin ωnt )

Chiamo diversamente le costanti     C₁         C₂

x(t) = c₁ cos ωnt + c₂ sin ωnt

x (t=0) = c₁ cos (0) + c₂ sin (0) = x₀      c₁ · 1         + c₂ · 0 = x₀      c₁ = x₀

ẋ (t) = - ωn c₁ sin (ωn) + ωn c₂ cos (ωnt)

ẋ (t=0) = - ωn c₁ · (0) + ωn c₂ · 1 = ωn c₂

Quindi sostituendox(t) = x₀ cos ωnt + ^ẋ₀/_ωn sin ωnt

Legge del corpo non smorzato.

Rappresentazione

x(t) = A cos (ω_n t - φ)

A (cos ω_n t · cos φ + sin ω_n t · sin φ)

A cos φ · cos ω_n t + A sin φ · sin ω_n t

  x₀    ^ẋ/_ωn

^{A sin φ}/_{A cos φ} = tg φ = ^ẋ₀/ω_n/_x0

φ = arctg ^ẋ₀/ω_n/_x0

A² cos² φ + A² sin² φ = x₀ + ^ẋ₀2/_ωn²

A = √^{x₀ + ẋ₀2/_ωn2}

caso 1 Per un sistema rotatorio

f(t)=0      C=0

PER LA TRASLAZIONE ABBIAMO:

mẍ + kx = 0

ωₙ = √(k/m)

x(t) = A₁ cos ωₙ t + A₂ sin ωₙ t

PER LA ROTAZIONE ABBIAMO:

I θ̈ + kt θ = 0

ωₙ = √(kt/I)

θ(t) = A₁ cos ωₙ t + A₂ sin ωₙ t

A₁ = x₀;

A₂ = ẋ₀/ωₙ;

A₁ = θ₀;

A₂ = θ̇₀/ωₙ;

I è il momento d'inerzia del disco

Γ = (k x₀/F₀) = 1/(1 - ω²/ωₙ²)

SFAS = φₑ = φₛ/ωₙ

F₀ = m ωₙ² ε

SBL = m ε

M = (LR/LM)

M = η[fₛ (1+k) - k]/M > 0

1/M = 1/kₐ + 1/kβ

T = kx₀ = k x₀ l

ωₙ = √((kL²)/I*)

MP = (P tecnia/P dinam)

MM = MA + mg + MG

IO = mA a² + mB b² - ma a - mB b = 0

ma = mB b/ωₙ

mB = mA a/L tot

IO = IG - ma b