Analisi delle serie storiche (Econometria Applicata)

Il rendimento logaritmico e il rendimento aritmetico

Il rendimento logaritmico può assumere valori nell'insieme dei numeri reali, mentre il rendimento aritmetico può assumere valori solo tra -1 e infinito. Quando si valutano delle serie storiche, sarebbe ottimo riuscire a inserire l'informazione in un contesto probabilistico noto e facile da gestire, come quello della distribuzione normale. La distribuzione normale è definita nell'insieme dei numeri reali, quindi è possibile pensare di assumere una distribuzione normale dei rendimenti logaritmici e non aritmetici.

Approccio basato sui processi stocastici

Quando osserviamo dati sulla produzione industriale, ad esempio, stiamo osservando una variabile aleatoria con una distribuzione di probabilità. Una serie storica è quindi la realizzazione di un processo stocastico. La procedura di Box e Jenkins ci permette di individuare il processo generatore dei dati. Dobbiamo individuare alcune caratteristiche che il processo deve avere per essere considerato adeguato.

Il processo stocastico deve avere alcuni requisiti/vincoli per essere trattabile da noi dal punto di vista operativo. Uno di questi requisiti è la stazionarietà in senso stretto, che si verifica quando la sequenza di variabili aleatorie ha la stessa distribuzione (identità congiunta) indipendentemente da t e s. Questa condizione è particolarmente restrittiva: se prendiamo delle parti del processo e consideriamo la distribuzione di identità di probabilità congiunta di una parte e di un'altra (con lo stesso numero di variabili coinvolte), scopriamo che hanno la stessa funzione di densità di probabilità. Tuttavia, non abbiamo bisogno di questa condizione perché introdurremmo una restrizione troppo forte.

Invece, richiediamo la stazionarietà "in senso debole" (stazionarietà in covarianza): processi stocastici ancora stabili che soddisfano 3 requisiti. Il valore atteso di ciascuna variabile

atteso della funzione g applicata a ciascuna variabile aleatoria del processo stocastico. ho 1 dato (osservato). L'ergodicità ci permette di utilizzare tutti i dati della serie storica per conoscere le variabili aleatorie della serie storica. Sfrutto l'informazione della serie per calcolare i momenti. [concetto che vale al limite, quindi per serie abbastanza lunga]

Se la sommatoria del valore assoluto delle covarianze calcolate per tutti gli ordini di lag temporali da 0 a infinito è una quantità finita (NON esplosiva, ma convergente), allora il processo stocastico lineare debolmente stazionario è ergodico per la media. Cioè possiamo utilizzare la nostra serie storica per misurare il valore atteso della variabile aleatoria (in qualunque istante temporale, perché tanto è lo stesso). 23

È auspicabile che ci sia un legame che tenga insieme le osservazioni che faccio nel

in senso debole, ergodico (così possiamo utilizzarla per calcolare i momenti della serie storica). Abbiamo analizzato il più semplice processo stocastico, il white noise. e visto l’ MA 1 e l’MA di infinito ordine. [vedi PDF di 10 pagine]

Ora vedremo i processi autoregressivi (AR) e successivamente vedremo gli ARMA. Partendo dalla serie storica andremo ad intercettare il processo stocastico che la genera.

Un processo autoregressivo di primo ordine (AR1) è un processo definito come:

→Se ‘phi’ in valore assoluto è <1, risulta: [espansione di taylor]

Quindi moltiplicando entrambi i membri per l’inverso di 1-phi*L

AR(1) non è altro che un processo stocastico a media mobile di ordine infinito. È stazionario in senso debole ed ergodico nella misura in cui la sommatoria dei coefficienti che moltiplicano il white noise sia convergente [abbiamo ipotizzato che il valore assoluto di phi1 sia minore di 1, quindi c’è

La convergenza della sommatoria. Ora calcoliamo i momenti di questo processo: 30Più vado avanti più mi avvicino alla formula trovata poco faIl processo AR(1) è un processo a ‘memoria infinita’, si conserva tutta l’info passata, ma piùche andiamo a conservare. Il modulo di ‘phisiamo indietro nel tempo minore è la porzione 1<1 mi garantisce la stabilità del processo.La soluzione dell’ ‘equazione caratteristica’ del polinomio in L è in modulo > di 1. Questacondizione è quella che ci consente di verificare se i processi autoregressivi di ordinesuperiore sono stazionari oppure no. 31[white noise con ‘drift’] 3202.12Interviene un secondo ritardo. Utilizzando l’operatore ritardo riscriviamo il processo stocastico. 33(per espansione di taylor)L’operatore L non serve più perché abbiamo espresso epsilon come t – j. 34Correggere non j-1 e j-2 ma j+1

e j+2. (è la distanza tra t-1 e t+j; t-2 e t+j) [sia qui che sotto]

I momenti del processo sono: 3509.12

Sintesi, recap e grafici

Notiamo (per gli ordini di ritardo fino al 10) che al ritardo1 l’autocorrelazione esce fuori dall’intervallo diconfidenza (i trattini); il che significa che il valore è significativo. Per tutti gli altri ritardi invece non succede: questo perché è un MA(1).

L’autocorrelazione parziale misura la correlazione a tutti gli ordini di ritardo al netto dell’effetto dovuto ai ritardi intermedi.

Notare l’autocorrelazione significativa fino all’ordine 3 36

Notare che l’autocorrelazione rimane significativa per molti ritardi e decade in maniera graduale, mentre la correlazione parziale è significativa solo (pari sempre all’ordine del primo ritardo processo- AR1) (correlazione parziale significativa fino al ritardo 2) 3738

Già il ritardo uno contiene tutta l’informazione passata, per

questo la correlazione parziale è alta solo al primo ritardo. [in basso a sinistra random walk, in basso destra random walk con drift] [y0=valore di inizializzazione=valore atteso random walk senza drift] 39Questi grafici derivanti da dati reali, ci danno un certo sconforto. Non sono stazionari.Procedura Box-Jenkins: ci consente di ricondurre le serie storiche dei fenomeni economici non stazionari a delle condizioni di stazionarietà tali per cui poi noi possiamo applicare i nostri strumenti analitici per poter quindi individuare il processo generatore e fare previsioni.La procedura di modellizzazione Box-Jenkins prevede una analisi preliminare dei dati (con eventuale trasformazione degli stessi) e 3 fasi iterative / step: identificazione del modello,→stima e validazione. Dopo la validazione previsioni e simulazioni.Ad ognuno dei 4 stage si associa una domanda:1. Analisi preliminare: finalizzata a capire se la serie storica che stiamo analizzando presenta già le

caratteristiche per essere da noi trattata o necessita trasformazioni. La serie storica che stiamo trattando è plausibilmente il risultato di un processo stocastico stazionario? Si, no.

Identificazione del modello: che tipo di processo generatore di dati mi ha prodotto i dati che sto osservando (e che ho eventualmente trasformato)?

Stima del modello: quali sono i parametri del modello?

Check del modello: sono i residui del modello effettivamente un white noise?

Nel primissimo step, quando andiamo ad investigare i dati che abbiamo sottomano per capire se sono stazionari oppure no, andiamo a capire se esistono quegli elementi che rendono la serie non stazionaria: ossia trend e stagionalità (e una variazione sistematica della varianza... volatilità cambia nel tempo). La presenza del trend è uno dei principali motivi per cui le serie storiche dei fenomeni economici non sono stazionarie.

UNIT ROOT TEST (test di radici unitarie) [N.B. Beta IN VALORE ASSOLUTO]