Analisi delle Serie Storiche - Approccio Classico

E

[ ] E

[ ] 0 Var

[ ]

+ +

t i t i t i t i t i

= − = − = −

i m i m i m

m 2

ϑ <

∑ 1

i

=−

i m

la serie trasformata, se , ha varianza ridotta. La m.m. in questo caso ha un’azione

spianante, cioè tende a ridurre le irregolarità di tipo casuale presenti nella serie.

ATTENZIONE: le variabili così trasformate sono tra loro correlate. L’esistenza di correlazioni non

nulle tra i valori successivi del modello introduce effetti di correlazione spuria (effetto di Slutsky-

Yule). 6

2.6.1 Diversi tipi di modelli

• MODELLI POLINOMIALI:

- Vantaggi: i modelli polinomiali godono di numerose proprietà analitiche e di una buona

capacità di approssimazione al crescere del grado del polinomio

- Svantaggi: molto rigidi, spesso inaccettabili per utilizzazioni differenti

• MODELLI RAZIONALI:

- Vantaggi: consentono una parametrizzazione più efficiente rispetto ai polinomi interi anche

con gradi non elevati

- Svantaggi: la stima dei parametri richiede algoritmi non lineari, la loro utilizzazione non è

molto diffusa

• MODELLI SIGMOIDI:

Sono caratterizzati da un andamento sigmoide con asintoti adattabili in funzione dei dati.

Sono utili in quelle situazioni in cui la dinamica di un fenomeno incontra dei limiti obiettivi

nel sistema di riferimento.

2.6.2 Principali tipi di trend

Le funzioni più usate per rappresentare il trend dei principali fenomeni sono:

La retta:

 T = a + bt

t

La funzione esponenziale:

 t

T = α β

t

La parabola di secondo grado:

 2

T = a + bt + ct

t

La logistica:

 1

T = t

a+c

t

Per quanto riguarda il trend esponenziale, esso rappresenta quelle serie storiche che aumentano e

diminuiscono secondo una progressione geometrica. Essendo non lineare, non posso stimare β e β

0 1

con il metodo dei minimi quadrati, ma devo attuare una trasformazione in logaritmo (artificio). Per

far questo bisogna però utilizzare un modello di tipo moltiplicativo:

α t

ε α ε

= × = ×

y f ( t ) e 1

t t 0 t

da cui α α ε

= + +

log y log t log

t 0 1 t

α α ε

* *

= + +

t

0 1 t 7

2.6.3 SCELTA DEL GRADO DEL POLINOMIO.

- CRITERIO DELLE DIFFERENZE SUCCESSIVE serve per evidenziare i dati nascosti nella serie

e trasformare genericamente i dati. Lo utilizziamo principalmente per decidere il grado del

polinomio che rappresenti il trend. Si indichi con B l’operatore ritardo

Y = By

t-1 t

∆B operatore differenza prima

∆BY = Y - Y

t t t-1

Y = β + β t

t 0 1

∆BY = (β + β t) – [β + β (t-1)]

t 0 1 0 1

= β costante

1

β elimina una crescita lineare: questo criterio trasforma il polinomio in maniera tale da ottenere una

1

costante se il grado del polinomio è uguale al grado della differenza. Se non ho il grado del

polinomio provo a calcolarmi il ∆ fino a quando non trovo una costante. Quando effettuo questa

trasformazione, anche e deve essere trasformato: resteranno valide, dunque, solo le ipotesi sul

t

valore medio mentre per quanto concerne covarianza non sarà più uguale a zero e per quanto

riguardo la varianza essa non sarà più costante. Non sarà, dunque, il miglior stimatore lineare non

distorto. L’operatore B fa sentire i suoi effetti sulla componente accidentale εt, aumentando

marcatamente la varianza della serie.

2

- CRITERIO DEL VALORE R è possibile scegliere il grado del polinomio in base al valore

assunto dall’indice di bontà dell’adattamento. Siccome l’aggiunta di una variabile provoca sempre

2 2

un aumento dell’indice R non è possibile utilizzare tale indice, ma si utilizza R corretto

Dev(e)/(n− p)

2

R = 1 - Dev (T )/(n−1)

e sceglierò il grado del polinomio di grado m se

2m 2m+1

R ≥ R

2.7 La componente stagionale.

E’ costituita dai movimenti del fenomeno nel corso dell’anno che, per effetto dell’influenza di

fattori climatici e sociali, tendono a ripetersi in maniera pressoché analoga nel medesimo periodo

(mese o trimestre).

2.7.1 Destagionalizzazione di una serie

Quando le osservazioni si riferiscono a frazioni di anno, la componente da eliminare, dopo quella

tendenziale, è quella stagionale. Il metodo più semplice fa uso delle medie mobili.

Il procedimento della perequazione con medie mobili attenua le oscillazioni presenti in una serie di

valori. Se, in particolare, le oscillazioni sono perfettamente ricorrenti (ossia se hanno lo stesso

periodo e la stessa ampiezza), la perequazione con medie mobili con un numero di termini pari alla

lunghezza del periodo elimina le oscillazioni stesse, fornendo una serie destagionalizzata.

Lo studio della stagionalità presenta due problemi fondamentali:

a) la semplice stima di questa componente;

b) l’eliminazione, dopo la stima, di tale componente dall’andamento generale della serie

storica (destagionalizzazione).

Per prima cosa si stimano le componenti trend-ciclo con m.m. centrate e si ricava la componente

stagionale ed erratica, a seconda del modello di composizione: 8

y

**

− t

y y

t t **

y t

Sviluppando il ragionamento per il modello moltiplicativo:

y

ε ≡ = = + −

t

S IS t m 1,..., n m

t t **

y t

Tali quantità sono dette indici specifici di stagionalità.

Prima di procedere a separare le due componenti stagionale ed erratica occorre verificare se

quest’ultima è significativamente presente. Si ipotizza l’assenza di stagionalità e, se questa è vera,

le medie degli IS per lo stesso mese calcolate in anni diversi non differiscono significativamente tra

loro.

Se si rigetta tale ipotesi, otteniamo una serie di 12 valori detti coefficienti grezzi di stagionalità:

1 N

ˆ * = =

∑

S IS j 1,...,12

j T , j

N =

T 1

12 ˆ * =

∏ S 1

j

=

j 1

Per il modello moltiplicativo deve valere che , ma questo non accade quasi mai, dunque si

devono ricorreggere i coefficienti: ˆ *

S

ˆ j

=

S j 12 ˆ *

∏ S

12 j

=

j 1

detti coefficienti ideali di stagionalità. Ŝ j

La serie destagionalizzata si ottiene dividendo yt per .

Dunque avremmo bisogno delle variabili dummy, i cui coefficienti rappresentano i coefficienti di

stagionalità. Se il coefficiente è significativo allora c’è stagionalità:

1. Applico le medie mobili, destagionalizzo, verifico con test anova.

2. Inserisco nel modello della variabili dummy, stimo l’effetto dei coefficienti delle variabili

dummy sulla mia serie

TEST ANOVA: confronto tra diversi coefficienti di regressione; confronto tra le diverse medie di k

campioni che ha come ipotesi H che le medie tra i gruppi siano uguali tra loro. Simile al

0

procedimento della T di Studenti, solo che ora la estendiamo a k campioni (anziché 2)

dev (B)

dev (W )

Nel test anova:

- Costruisco degli indici di stagionalità per tutta la serie storica

- Faccio la media di questi indici con i valori dello stesso mese nei diversi anni

- Confronto le medie a livello di popolazione

H = m = m = m

0 1 2 k

rifiutare H nel test anova vuol dire che le medie non sono uguali tra loro.

0

Generalmente mi auguro di accettare H perché dopo non dovrò più fare altri passaggi, in quanto la

0

serie sarà destagionalizzata e dovrò analizzare solo se sono dei white noise. 9

2.8 Individuazione della componente ciclica. y’ = y + T

Per individuare la componente ciclica occorre operare sulla serie detrendizzata ( ),

t t t

eseguendo una perequazione con medie mobili di 3 o 5 termini semplice, o ponderata con pesi

y* = (y’ + 2y’ + y’ )/4 )

maggiori al centro ( esempio .

t t-1 t t+1

In questo modo, agendo sulla serie detrendizzata, il procedimento delle medie mobili elimina tutta

o in gran parte la componente erratica, facendo emergere la componente ciclica.

3. Regressione lineare multipla

La Regressione lineare multipla rappresenta una estensione del modello di regressione

 semplice.

Questa tecnica è utilizzata per studiare le variazioni di una variabile dipendente, in funzione

 di più variabili indipendenti

L’obiettivo è costruire un modello che approssimi i dati meglio del modello di regressione

 lineare semplice.

Utilizzando l’algebra lineare si ha: ɛ

Il modello può essere scritto nella forma compatta y = Xβ +

e la stima dei m.q. β= ( X’X)-1 x’y

3.1Le ipotesi.

Le ipotesi su cui si basa il modello di regressione multipla costituiscono una generalizzazione delle

ipotesi introdotte nel caso del modello di regressione semplice

Ipotesi 1: La grandezza Xβ definisce la parte sistematica del modello mentre

 ɛ

la variabile definisce la componente di errore

Ipotesi 2: La matrice delle v.c. X viene fissata alla particolare realizzazione



X=x Ipotesi 3: La matrice X ha rango uguale a k (k<n) e conseguentemente la



matrice X’X non è singolare ɛ ɛ

Ipotesi 4: Il vettore casuale ha valore atteso 0 (E( /X)) e quindi



conseguentemente E(y/X)=Xβ ɛ

Ipotesi 5: La matrice delle varianze e covarianze del vettore casuale è data

 ɛɛ

da E( ’/X)=s2Ik dove Ik è la matrice di Identità di ordine k

Stima dei coefficienti e valutazione del modello

La procedura:

– Ottenere i coefficienti e le statistiche del modello utilizzando un software statistico;

– Se il modello supera i test diagnostici, utilizzare i coefficienti per prevedere i valori della y.

– Valutare la bontà di adattamento del modello utilizzato;

– Diagnosticare le alle ipotesi del modello, cercando di risolvere i problemi se presenti; 10

Errore standard

Coefficiente di determinazione

Dunque, se almeno un coefficiente βi non è uguale a zero allora almeno una variabile è

indipendente è legata linearmente a y: il modello di regressione è valido.

3.2 Scopi del modello di regressione lineare multipla

– Il modello può essere utilizzato per:

• Predire un intervallo per un particolare valore di y, a partire da un set di valori dati di xi.

• Produrre una stima ad intervallo per un valore atteso di y, a partire da un set di valori dati di xi.

– Il modello può essere utilizzato per capire le relazioni tra le variabili indipendenti xi, e la

variabile dipendente y