Analisi dei dati, fino al valore atteso condizionato

Teoria assiomatica della probabilità

mercoledì 11 marzo 2020 09:45

La teoria assiomatica maggiormente utilizzata ad oggi è la teoria di Kolmogorov introdotta nel 1933; tale teoria parte dalla definizione di un insieme di assiomi costituenti un modello matematico ben definito ed adatto alla descrizione di esperimenti fisici con andamenti aleatori, ovvero di tipo non deterministico.

Spazio di probabilità: è una terna formata da un insieme detto spazio campionario, una famiglia di sottoinsiemi del precedente spazio e una funzione (funzione di probabilità) che mappa valori di P in valori compresi fra [0,1].

• Spazio campionario: è un insieme astratto qualsiasi, nelle applicazioni pratiche gli elementi di tale spazio sono i possibili risultati interessanti di un certo esperimento aleatorio. Esempi:
  • lancio di una moneta: Ω=[T; C];
  • lancio di una moneta più volte: Ω=[0,1,2,3], numero di risultati pari faccia tese;
  • sequenza delle facce risultanti ad ogni lancio.
  • lancio di primi n lavici che esca testa: Ω=[1,2,3,...], potrebbe essere infinito;
  • una parola in memoria di n bit, ovvero osservare le cifre binarie della parola: Ω={b₁,b₂,...,b_n}, b : appartiene a {0,1}];
  • osservazione di consumo di corrente di uno smartphone nelle 24 ore:
  • osservazioni di sesso, età e peso di un insieme di pazienti:

Possono esistere spazi campionari con cardinalità finita, numerabile e più che numerabile; la scelta dello spazio di probabilità deve essere opportuna e legata all'esperimento che si svolge, inoltre da spazi campionari più dettagliati si possono ricavare informazioni di spazi simili ma meno dettagliati, non il viceversa.

Gli elementi dello spazio campionario sono detti esiti o eventi elementari; collezioni di esiti, sottoinsiemi dello spazio campionario, possono essere considerate eventi. Si verifica un evento se l'esito di un esperimento appartiene ad almeno un sottoinsieme del sottospazio campionario.

Verificando sempre la sottoinsieme di se stesso ed è detto evento certo se si verificano sempre. L'insieme vuoto o qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario non contenente esiti di Ω è detto evento impossibile.

Operazioni elementari su insiemi

Si considerano due sottoinsiemi dello spazio campionario Ω, A e B, distinguendo da:

A. sottoinsieme di B se ω∈A implica ω∈B; ω∉A∪B;

B. A=B se A⊂B, B⊂A dunque A⊕B, A∩C;

A. sottoinsieme proprio di B se A⊂B e A∉B

B. separazione: A∩B=⌮ e l'uno e l'altro.

union de sotto spazi: ω∈A∈B∪B

• unione di sottospazi: A∪B= {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B}
• intersezione: A∩B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B}
• insiemi disgiunti o mutuamente esclusivi (incompatibili): A e B si dicono disgiunti se A ∩ B = ∅ E i_i ∩ E_j = ∅ i ≠ j La definizione può estese essere a sequenze finite o infinite di eventi; una sequenza di eventi è formata da eventi mutuamente esclusivi se E_i ∩ E_j = ∅ i ≠ j
• differenza di insiemi: B \ A = B ∩ A^c B^c ∩ A = A \ B
• differenza simmetrica: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) A Δ B = (A ∩ B^c) ∪ (A^c ∩ B)
• Identità fra insiemi Sono le seguenti proprietà degli insiemi:
  • commutatività: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
  • idempotenza: A ∪ A = A A ∩ A = A
  • associatività: A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A∩B) ∩ C
  • distributività dell'intersezione rispetto l'unione: A ∩ (B ∪ C) = (A∩B) ∪ (A ∩ C)
  • distributività dell'unione rispetto all'intersezione: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • leggi di De Morgan: (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

Interpretazione geometrica della probabilità

Si rappresentano gli insiemi mediante diagrammi di Venn potendo dare una conveniente interpretazione geometrica della probabilità.

Lo spazio campionario e i suoi eventi rappresentano punti del piano mentre la probabilità P può essere interpretata come l'area di un insieme, assumendo unitaria l'area dello spazio di probabilità Ω; devono essere validi gli assiomi prima riportati:

• la probabilità non è negativa perché l'area è sempre positiva o nulla;
• la probabilità deve essere pari a 1 in accordo con l'area normalizzata;
• l'area dell'unione di due insieme disgiunti deve essere la somma delle probabilità ed è verificata perché è data dalla somma delle aree;

Pure tutte le altre proprietà sono verificate per l'interpretazione geometrica.

Assegnazione dei valori alla funzione P

Partendo da uno spazio campione si considera un'opportuna σ-algebra e definire le probabilità agli elementi di σ-algebra.

Prendendo l'esempio semplice del lancio di una moneta, dove lo spazio campione è dato essenzialmente dal risultato testa e da quello croce, si considera:

• Ω = { c, t }
• P(Ω) = { ∅, { c }, { t }, Ω }

dei parti, sottoinsieme di Ω; si assegna ovviamente il valore di probabilità 0 all'insieme vuoto e il valore 1 a Ω. Per gli altri 2 elementi sapendo che l'evento croce è il complementare dell'evento testa, quindi la probabilità dell'evento croce è data dal valore di probabilità 1 meno il valore di probabilità dell'evento testa; assegnando qualsiasi valore p compreso fra 0 e 1 alla probabilità dell'evento testa la funzione risulta compatibilmente definita e compatibile con gli assiomi sopra indicati.

Problema della distribuzione

Un approccio per stabilire la probabilità degli eventi è eseguire delle osservazioni sulle frequenze relative degli eventi, tali osservazioni devono essere eseguite tutte nelle stesse condizioni; si parla per tal modo di approccio frequentista. Supponendo di avere un esperimento che sia possibile ripetere un numero sufficientemente alto di noli, ripetendolo n volte si può osservare la sequenza dei n risultati risultanti; per ogni evento A appartenente all'algebra F si indica con n_i il numero di esiti per cui si verificala evento A, ovvero il numero di esiti e_i appartenenti a A; ovviamente si avrà:

• il numero di eventi per ogni A deve essere maggiore o uguale a 0;
• il numero di esiti in cui si verifica l'evento certo Ω è pari al numero di eventi totali;
• essendo comunque due eventi A e B disgiunti il numero di esiti dell'unione degli eventi è la somma del numero di

Proprietà dei coefficienti binomiali

giovedì 19 marzo 2020

0! = 1, 0!=1

Per costruzione si pone coefficiente di 0 e 0 pari a 1 perché 0! è pari a 1.

Proprietà:

• considerando il binomiale di n su k esso è pari anche a un su n-k;
• il termine coefficiente binomiale è anche detto numero della successione di colonne nello sviluppo del binomio di Newton.
• Il numero di volte in cui compare a^kb^n-k è pari al numero di combinazioni in cui si può prendere k volte a, sommando tutti i termini si ottiene il risultato;
• avendo un insieme di cardinalità finita n il suo insieme delle parti ha cardinalità pari a 2ⁿ, ciò si ottiene tramite sommatoria di coefficienti binomiali;
• il coefficiente binomiale è possibile calcolarlo ricorsivamente;

Formula di Stirling

Viene usata per il calcolo approssimato del numero n!

L'errore relativo commesso per n tendente ad infinito è pari a 0 altrimenti cresce l'errore assoluto diverge. Questa formula può anche essere usata per il calcolo approssimato del coefficiente binomiale, ma tale approssimazione è buona solamente per n e (n-k) sufficientemente grandi.