Analisi multivariata

Modello di regressione lineare semplice

È un modello di dipendenza per mezzo del quale si cerca di spiegare una variabile

Y in funzione di una variabile

X (non causale)

Esempio

• Verifica reddito e consumi:
• Determinazione equazione che descrive la dipendenza di Y
• Stima degli parametri dell'equazione
• Verifica correttezza del modello

Nel M.R.L.S si ipotizza che Y dipenda in modo da X (nel senso da

che il valor medio di Y è determinato da X

X = variabile esplicativa (non è variabile causale)

Y = variabile spiegata

Dato X si suppone che il valor medio di Y sia E(Y|X) = α + βX

(funz lineare di x)

Esempio

Relazione reddito e spesa per consumi delle famiglie e determinismo

dei bisogni in funzione dei livelli reddittuabili.

• Per un dato livello di reddito X si ottiene Y da spesa per consumi
• C'è una diversa propensione al consumo nelle singole famiglie onde
• Se variabilità supera le med. famiglie si ottengono intorno ai loro valori
• medi dei consumi (dato un certo reddito) e poi sommando quelle di
• solone similumento dei valor medi

Per risolvere difficoltà dovuti col campione normalmente nell'insieme di funzioni di stime si forniscono alcuni criteri.

In un campione di n valori (n) si ipotizza che e E(Y|X) esistono:

1. Stima varianza σ² in corrispondente di ogni X.
2. Si modula E(Y_i) scenia sulla su una retta teorica:

_{i E (Yi) = ϒ + β Xi}

dove dovuto scrive E (Y|X) no non esistano E (y)

_{= costante}

3. Le var. casual Y₁ sono statisticamente independente.

" Insieme Desale di Annunziato perch non considera ex forma delle

n⁰ delle Y

Definiamo in modo completa il VLS introducendo uno scarto di Y₁ dallo suo valore medio teorico:

e_i = Y_i - E (Y_i) = Y_i - ϒ - β X_i

Y_i = ϒ_i + β X_i - e_i

_espressione

e_i = errore o disturbo

E_i = trasformazioni lineari delle l_i.

Per cui come e v.c. Y_i sono semplicemente le uno onde:

con media E (Y_i) = ϒ + β X_i

e varianza σ²

OSS

INTERVALLI DI CONFIDENZA SU 9 E B

Errore b una combinazione lineare delle Yi onde b∼N,

Tuttavia onde le Yi non hanno accertato

Avendo assunto:

con (m−z) gradi di libertà.

Se non riesco ad ottenere una stima opportuna puntuale di B cerco almeno di ottenerla per intervallo.

Da tenere a mente che quando si fa il prodotto misto, per esempio Y∗X[2] overo (Y∗X) (Y∗X) sarebbe (Y∗X).

quindi: Y(X[1]−X[2])1−Y1 = Y(X[2]−X[1]) e questo perché il prodotto è uno scalare.

Questo è importante perché ci consente di fare un gioco di semplificazioni

Ora faccio la derivata: (∂/∂b)(...)=0

vado a dividere tutto per 2 e ottengo: (X−Xb)+b−X

Ponici per ipotesi abbiamo detto che la matrice dei dati è lunga n×1 e la matrice (X) quadrato di ordine K+1 e di rango K+1 ed è definita positiva. Dato che è positiva esiste (l’unica e inversa) (X).

Perciò esisteva (X) corretta e inversa?

perciò ci consente di fare altre operazioni di questo tipo, per esempio ci consente di moltiplicare (X∗X)=X(X)=(X)(X) e il risultato è il prodotto otte... stimatore dai minimi quadrati; (X; (X))=.

Le proprietà del vettore b sono le seguenti:

1. È uno stimatore lineare e β (in questo fuma: lineare dalle e):
2. È uno stimatore corretto infatti:

DEI b= (X); X(λβ + e)== β+ e (X) ; X⊆ X

Devo fare prodotti e scambi (X)∗1(X(b+1)=X(t))=X(M)−1=b

Abbiamo detto b è uno stimatore corretto allora: alloro si pone il valore atteso di b: Diret vettore atteso di b come abbiamo detto E(∈)=0

vero che da−∂ ∈( b)=∈(β+ (X) ∗E(∈)− E(∈)=β=; quando si pone nel faro multilinea.

Lo stimatore generale b del vettore incognito β è uno stimatore corretto

3. Inoltre la matrice var(aXb) è: Σ ∑ Σ ( )=0( (X))

Consideriamo la trasformazione della v.c. multivariata

U = Q^tε

e il vettore delle medie e matrice var-cov di U sono uguali a quelle di ε

E(U) = E(Q^tε) = Q^tE(ε) = 0

Ora, tenendo conto che QQ^t = I_m poiché ortogonale di Q

E(UU^t) = E(Q^tεε^tQ) = Q^tE(εε^t)Q = Q^tσ²I_mQ = σ²I_m

Da ciò si desume che le v.c. componenti di U dati (U₁,U₂,...,U_m) hanno tutti var = σ² e cov = 0

∀ ^i=j=1,...,m var(U_i) = σ²

cov (U_i,U_j) = 0 i ≠ j

A questo punto siamo in grado di dimostrare che

E(ε²_i) = (n-k-1)σ

Infatti,

e (ε,ε) (ε ε^t) = εQe = 0{"="}(Λ)

cov (U_i,U_j) = 0

Note:

E(εε) = Σⁿ_i E(U²_i) = σ² Σ^m_i

σ²(m-k-1)

Modello Lineare Generale Approfondimenti

Assumiamo valide le ipotesi e metodi di stima del MLG su aio e alcune ipotesi. In particolare dato il modello

1) a media nulla E(ε_i) = 0 i = 1,...,m

2) omoschedasticità: Var(ε_i) = σ² i = 1,...,m

3) incorrelati cov(ε_i, ε_j) = 0

⇔ E(ε ε') = σ²I_m

Σ_ε = E(ε ε') = σ²I_m

Ad esempio osservazione empirica suggeriscono che l'ε relazionato desta errori per consumi varianti col numero dei prodotti, loro peso e microstruttura degli errori.

E(ε) ≠ 0 dunque

b = (X'X)^-1X y ≠ b_c corretta quando

E(y) = E(Xβ + ε) = Xβ + E(ε) ≠ Xβ ⇔ E(ε) = 0

E(L) ≠ E((X'X)^-1X' y = Xβ) = β

ma NON risulta nei punti di calcolo

cioè l'errore è minimo (quando | |ε è minimo

E(ε ε') = δ²Ω

2

Assunzioni nella distribuzione

Nei modelli lineari generalizzati si assume che la v.c. in studio abbia distribuzione normale e che quindi sia media che varianza siano funzioni del vettore parametro.

La funzione di densità (o di prob. nel caso discreto) deve essere della forma:

p(y, θ, ϕ) = b(y)

+ c(y, θ, ϕ)

Il parametro θ è incognito mentre ϕ può essere noto o incognito.

Nel caso in cui sia noto a è una f>li densità (o prob.) della famiglia esponenziale a un parametro (θ).

1. Normale

Se Y è una v.c. normale con media μ e varianza δ² la sua p. densità vera del tipo:

p(y; μ, δ) =

Parte θ=μ

le li del tipo

t(θ) = θ²

g(y, θ)

a =()

2. Binomiale

Se X è una v.c. binomiale del numero lanci n e provabilità del successo θ su 0, ..., n.

P(c, y; π) = ()

p(c, y; π) = (

paragrafi trattano dell combinatoria è de realtà produttive