Analisi dei Dati 2/2 - Appunti Essenziali

Vettori Aleatori

Vettore della Media

m_x = E(X) =

• [E(x₁)
• E(x_n)]

Matrice di Correlazione

R_x = E(XX^T) =

|E(x₁²) E(x₁x₂) ... E(x₁x_n)

... E(x₂²) ...

... ...

E(x_nx₁) ... E(x_n²)|

è simmetrica e semidefinita positiva

Matrice di Covarianza

Σ_x = E[(X−m_x)(X−m_x)^T] =

|var(x₁) ... cov(x₁x_n)

... var(x₂)

cov(x_nx₂) ... var(x_n)

Se le componenti del vettore X sono indipendenti (=> scorrelate), la matrice è diagonale

Σ_x = R_x − m_xm_x^T

se Σ_x non è invertibile → X è degenere

se le componenti del vettore sono v.a. indipendenti sono scorrelate → cov(X_i, X_j)=0 → Σ_x è diagonale

TRASFORMAZIONI AFFINI

(vedi pg 158) m_y = Aᐧm_y + b

Σ_y = AΣ_xA^T

R_y = Σ_y + m_ym_y^T

Funzioni scalari

Z = g(X,Y)

Sia (X,Y) un v.a. assolutamente continuo, di densità congiunta f_x,y(x,y), g: ℝ²→ℝ una funzione misurabile.

E(Z) = ∫_ℝ² g(x,y)ᐧf_{x, y}(x,y)ᐧdxdx

VALORE ATTESO

f_Z(z) = d/dz ᐧ F_Z(z)

DENSITÀ

F_Z(z) = P[Z ≤ z] = P[g(x) ≤ z] = =∬_DZ f_x,y(x,y) dxdy

{(x,y) : g(x,y) ≤ z}

varianza condizionata

var(y) = var(E(y|x)) + E(var(y|x))

proprietà della varianza:

• Var(^x⁄_aX) = ¹⁄_a²Var(X)

CF MULTIVARIATA

è la CF estesa ai vettori aleatori.

Sia X un v.a.

( X = ... ) la CF multivariata di X è

φ_X(w) = E ( e^iwTX )

φ_X: Rⁿ → C

PROPRIETÀ ELEMENTARI

• φ_X(w₁, ..., w_n) = ∀w = (w₁, ..., w_n)
• φ_X(0, ..., 0) = 1
• ponendo w_i = (...), ottengo φ_X(w_i) = φ_X(w_i)
• dato X := (X₁, X₂) bivariato, supponendo che X₁, X₂ ammettano momenti, φ_X(w₁, w₂) ammette le corrispondenti derivate parziali e valgono le formule:

FORMULE

• E(X₁^k) = ¹/_i^k [_________|^(k) φ_p(w₁, 0)]_w1=0
• E(X₂^k) = ¹/_i^k [_________|^(k) φ_X(0, w₂)]_w2=0
• E(X₁^kX₂^h) = ¹/_i^h+k [_____|^{(h, k)} φ(w₁, w₂)]_{(w1, w2) = (0, 0)}

• Se X_n ^P→ X allora X_n ^D→ X

PROBABILITA'     DISTRIBUZIONE

• Se X_n ^↕→ X allora X_n ^P→ X

PROBABILITA'

Solo in queste ipotesi: E(x) → E(X)

Teorema di continuità

Sia X_n una sequenza di v.a. aventi CF ƒ_n.

Supposto che

lim _n→∞ ƒ_n = ƒ ^{una qualunque CF}

allora

X_n ^D→ F(x) che è FdD di una determinata v.a.

Significa che abbiamo convergenza (in distribuzione) ad una v.a. che ha proprio F(x) come FdD

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE (GSGMPI)

WHITE GAUSSIAN NOISE

• media m_W(n) = E(W_n) = 0 _{∀n ∈ Z}
• potenza statistica M_W(n) = σ²
• varianza E(W_n²) = σ²
• autocorrelazione r_W(n+k, n) = E(W_n+kW_n) = σ²δ(k)

W_n è stazionario in senso lato in quanto ha media nulla e autocorrelazione che non dipende da n.

GAUSSIAN RANDOM WALK

[ Y_n+1 = Y_n + W_n ]

• media m_Y(n) = 0
• potenza statistica M_Y(n) = nσ²
• varianza E(y_n²) = nσ²
• autocorrelazione r_Y(n₁, n₂) = min [n₁, n₂]σ²

Il processo non è debolmente stazionario in quanto l'autocorrelazione dipende da n₁, n₂.