Vettore
segmento orientato identificato da s, d e v
Dico che AB = CD se sono e AB = CD
- AB e CD appartengono alle stessa retta
- AB e CD giacciono su rette parallele
Due vettori sono equivalenti se hanno s, d e v uguali
Versore
componete unitarie 1 lungo e indica una direzione
v ∈ v
v = v / |v|
|v| = modulo del vettore
v può essere esampato nel piano cartisiano Oxy
Operazioni tra vettori
Somma
- Metodo grafico: u+v regola del Parallelogramma
- Metodo analitico: v = (u
- Proprietà
- Commutativa: u+v= v+u
- Assocativa: u+(v+w=(u+v)+w
- Elemento neutro: 0 = v
- Opposto: v+(-v) = 0
Prodotto scalare
Metodo grafico
x=a∈a≠b∈b
x∈f a vettore parallelo
- Distribuitiva: a(u+v)=au+av
- Associativa: (ab)v=(ab)v
- Elemento neutro: 1v = v
Vettore
segmento orientato identificato da modulo, direzione e verso
Due vettori AB e CD si dicono equivalenti se
- AB = CD ↔ AB e CD appartengono alla stessa retta
- AB e CD giacciono su rette parallele
Due vettori sono uguali ↔ hanno modulo, direzione e verso uguali
Versore
vettore di lunghezza unitaria il cui scopo è quello di indicare una direzione
- v ∈ V
- vers(v) = v / |v| → modulo del vettore
Un vettore può essere scomposto nel piano cartesiano Oxy
- |vx| = |v| cosθ
- |vy| = |v| sinθ
- |v| = √(vx² + vy²)
- θ = vy/vx
Operazioni tra vettori
- Somma Metodo grafico: u ± v
- Differenza u - v
Metodo analitico: v = (u1, u2, u3)
- u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
- u - v = (u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3)
Proprietà
- 1) Commutativa: u + v = v + u
- 2) Associativa: h + (v + w) = (h + v) + w
- 3) Elemento neutro: v + 0 = v
- 4) Opposto: v + (-v) = 0
Prodotto scalare
Metodo grafico: x ≠ 0, y ≠ 0 → av vettore nullo.
- direzione di v
- verso: se k > 0, stesso di v; se k < 0, opposto a v
- modulo: |av| = |a| |v|
Metodo analitico: v = (v1, v2, v3)
- av = (a v1, a v2, a v3)
Proprietà
- 1) Distributiva: a(u + v) = au + av
- (a + b)v = av + bv
- 2) Associativa: (ab)v = a(bv)
- 3) Elemento neutro: 1Λv = v
ℝ2 = {(x1, x2) | x1, x2 ∈ ℝ}
Proprietà:
- (+) : ℝ2 × ℝ2 → ℝ2 operazione interna(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
- ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2) = (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)) Prop. ASSOCIATIVA
- (x1, x2) + (0,0) = (x1, x2) ∀(x1, x2) ∈ ℝ2 ∃ elemento neutro (+)
- (x1, x2) + (-x1, -x2) = (0,0) ∀(x1, x2) ∈ ℝ2 elemento opposto
(ℝ2, +) è un gruppo
- (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) ∀(x1, x2) (y1, y2) ∈ ℝ2 Prop. COMMUTATIVA
(ℝ2, +) è un gruppo abeliano
- ◦ : ℝ × ℝ2 → ℝ2 alica un vettore a vettoreλ(x1, x2) = (λx1, λx2)
- 1(x1, x2) = (x1, x2) ∀(x1, x2) ∈ ℝ2 elemento neutro (◦)
- (λ + μ) (x1, x2
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