Analisi 2 - Teoria

Vettore

Due vettori AB e CD si dicono equipollenti se AB = CD

• AB e CD appartengono alla stessa retta orientata o sono parallele
• AB e CD giacciono nella stessa direzione
• hanno modulo, direzione e verso uguali

Versore

Un vettore può essere scomposto nel piano cartesiano Oxy

{ Vx = |v| cosθVy = |v| sinθ

|v| = √(Vx² + Vy²)

tg θ = Vy / Vx

Operazioni tra vettori

Somma (Differenza)Metodo grafico: u + v

Regola delParallelogramma

Metodo analitico: v(u1, u2, u3), u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3), u - v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3)

Proprietà

1. Commutativa: u+v = v+u
2. Associativa: k(v+w) = (k⋅v) + w
3. Elemento neutro: v + 0 = v
4. Opposto: v + (-v) = 0

Prodotto scalare

Metodo analitico: v = (v1, v2, v3) -> av = (av1, av2, av3)

Proprietà

1. Distributiva: a(u+v) = au+av(a+b)v = av+bv
2. Associativa: a(bv) = (ab)v
3. Elemento neutro: 1*v = v

ℝ² = {(x₁, x₂) | x_i ∈ ℝ}

Proprietà:

1. (+) : ℝ² × ℝ² → ℝ² operazione interna

• (x₁, x₂), (y₁, y₂) ∈ ℝ²
• (x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂)
• Es:
• (2, 3) + (7, 6) = (2+7 , 3+6) = (9 , 6) = (11 , 3)
• (3 , 3) + (5 , 1) = (3+5 , 4+1) = (11, 3)
• Prop. Associativa somm+ vett.

2. (x₁, x₂) + (0 , 0) = (x₁, x₂)
3. V(x₁, x₂) ∈ ℝ² elemento neutro (+)

3. (x₁, x₂) + (x₁, x₂) = (0 , 0) V(x₁, x₂) ∈ ℝ²
4. elemento opposto

(ℝ² , + ) è un gruppo

5. (x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (y₁, y₂) + (x₁, x₂) V(x₁, x₂) ∈ ℝ²
6. V(x₁, x₂) ∈ ℝ²
7. Prop. COMMUTATIVA

(ℝ² , + ) è un gruppo abeliano

6. • : ℝ × ℝ² → ℝ² prodotto di vettore × vettore

• λ ∈ ℝ, (x₁,x₂) ∈ ℝ²
• λ(x₁, x₂) = (λx₁, λx₂)
• Es.
• 2 (2,3) = (4,6)

7. 1(x₁, x₂) = (x₁, x₂) V(x₁,x₂) ∈ ℝ² elemento neutro (•)

8. λ(μ + λ) (x₁, x₂) = λ[μ(x₁, x₂)]
9. Prop Associativa

(ℝ² , + , •) è uno spazio vettoriale sul campo ℝ

Conseguentemente le coordinat numeranno in base a ℝ.

1. ℝ

• (x₁, x₂, x₃)
• ℝⁿ = {x₁, x₂, ..., x_n} n-pe diversità coordinate x_i ∈ ℝ V i ∈ N

Le Propless proprietà sono analcurve inalmente come R per tutti l'i R.

DEF: U⊆V, su K, U⊂V, è idea sottospazio vettoriale di V ⟺ 0_v∈U e s,t∈U ∀α,β∈K

Es: S≤t di R², R³ piano passante per O, rette passanti per O, origine (sottospazio monidi)

Prop: W⊆U⇔s e t, s+t ∈U⇔λ,v ∈W s.e. λv ∈W (chiuso rispetto al prodotto per scalari + chiuso alla somma)

* altre proprietà di uno W non possono identificare W⊆V, queste due devono essere controllate

Es: t,s,t ∈ x ∈, e il piano che la contiene (contiene anche 0), ma la loro somma casca da tale piano

Prop: W₁, W₂ sott di V ⟹ Allora W₁∩W₂ è sott di V (intersezione di sott e sott=)

Dim: u,t ∈ W₁,(intersezione) ⊂K

Allora λv ∈W (per il prop precedente) allora λu ∈(W₁∩W₂) e

⊂ W₁∩W₂ ∩ ⊂

* Diamo ⟹ ⊂ K, u,t ∈W₁⊂(W₂) ∈ W₁ ∈, e

⊂

⊂

⊂

insieme se u + ⟹w

s⊥ ∈ ad ⟹, u+t∈ W₁ e dunque u+t∈(W₁∩W₂)

DEF: diamo W₁+W₂ sott di V, lo dichi _{W1+W2, di Ut⊂W2}

Prop: W₁ + W₂ è sott di V

tra le dimostrazioni i) N∈(W₁⊕W₂), ∈K |u∈t⊂W₁, t∈t⊂(u) ut=a+σ per DEF

λ(u⊕t) = λμ(v + v_t) ∈ (W₁ + W₂)

ii) se, V₁ (Σ W)₂+gλ

d U=σ₃⁴

d di U⊔U

d ∧ ∧

non nu

non n e

nel e1

nel W₁+W₂

Prop

T ∈ R con ρ = 0 ⇒ λmin = 0

Gen. es.

Dimostri:

λ1 = λ2 = 0

Lemma (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz)

Dim

>_T ≤ √()

Dimostri:

>_T = 0

∀x ∈ Rⁿ λi = 0

=> > 0

>_{λw, λw} >= 0

>_{w, w} ≠ 0

E₃ ∫(0,1) | f(x) = x²

∫f_g = ∫x³dx = &frac;{1}{7}

E₂ ∫(0, ∞) | f(x) = sen x q(x) = cos x

{>_g}²

Determinante

A ∈ K_n×n det : A → K

• (funzione lineare in ogni riga/colonna)

Formula di Laplace

i -esima riga : det(A) = ∑ _i=1ⁿ (-1)^i+j a_ij det (A_ij)

j -esima colonna : det(A) = ∑ _j=1ⁿ (-1)^i+j a_ij det (A_ij)

A = [2 1 4 0][4 5 6 1][4 3 2 1][1 0 2 6]

(+ - + -)(+ - + -)0 = (2 - 4), 2 (6 - 1) = Λ₂

A = [2 1 4 0][4 0 6 1][4 0 2 1][1 0 2 6]

= +2∣+2∣-1|+1|- ∣0 3∣-2 ∣1 - 1∣-1|2(0 - 2)| = Λ₂

Proprietà

• Scambiando una coppia di righe/colonne il det cambia segno.
• Se una matrice ha una riga/colonna nulla (tutte note uguali), il det = 0

A = [2 3 4][0 1 0][0 0 0]

det = 0 x scambio due righe uguali: il det' = cambia = 0

• Somma di una colonna come combinazione lineare delle altre righe/colonne, il det non cambia

det [A ... A_i A_j]= ...∇ = Λ₂,

det [A ... A_i A_j][... ... ∇ ... ]

• Se una riga/colonna è combinazione lineare delle altre righe/colonne, il det = 0

A_i= ∑_j,j≠iλ_jA_j

det [A₁ ... A_n]= det [A₁ ... A_n ... 0 ...]

det(A^t) = det(A)

det(Aⁿ = ( ... c_ij a_ij

det(A)_ij) = det(A)

• Se sotto la diagonale tutti gli elementi sono nulli, il det x uguale al prodotto della diagonale

det = 6 2 1 4 = Λθ

Siamo T = 1 0 - ∣_z0 1 ∣_z (...)

una matrice triangolare superiore : det (T)