Analisi 2 - Solidi e superfici di rotazione

Superfici di rotazione

Introduzione

In un riferimento (x, y, z), sia z l'asse attorno a cui vogliamo far ruotare una curva γ inizialmente assegnata nel piano x, z in forma parametrica:

x = x(t)
z = z(t)
t ∈ I

In tal caso la superficie che si ottiene con una rotazione completa della curva γ attorno all'asse z:

x = x(t) cosθ
y = x(t) sinθ
z = z(t)
t ∈ I, θ ∈ [0, 2π]

Esempi

1. La sfera è generata attorno all'asse z dalla semi-circonferenza assegnata nel piano x, z:

   x = R sinφ
   z = R cosφ
   φ ∈ [0, π]

   Quindi si ha:

   x = R sinφ cosθ
   y = R sinφ sinθ
   z = R cosφ
   θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]

2. Il toro è generato dalla rotazione in giro all’asse z della circonferenza posta nel piano x, z di centro C = (R, 0) e raggio r.

   x = R + r cos φ
   y = r sin φ
   φ ∈ [0, 2π]

   Equazioni parametriche:

   x = (R + r cos φ) cos θ
   y = (R + r cos φ) sin θ
   z = r sin φ
   φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0, 2π]

3. Il cono a 2 falde è generato dalla rotazione intorno all'asse z di una retta nel piano x, z passante per l'origine:

   z = m x
   x ∈ ℝ

   x = t
   z = mt, t ∈ ℝ

   Quindi si ha:

   x = t cos θ
   y = t sin θ
   t ∈ ℝ θ ∈ [0, 2π]
   z = -mt

4. Il cilindro di raggio r è generato dalla rotazione intorno all'asse z della retta (assegnata) nel piano x, z:

   x = r
   z = t
   t ∈ ℝ

   x = r cos θ
   y = r sin θ
   z = t
   θ ∈ (0, 2π), t ∈ ℝ

Ellissoide di rotazione

x = a sinφ
y = b cosφ
φ ∈ [0, 2π]

x = a sinψ cosθ
y = a sinψ sinθ
z = b cosψ
θ ∈ [0, 2π], ψ ∈ [0, π]

Area di una superficie di rotazione

Sia Σ:

x = x(t) cosθ
Σ: y = x(t) sinθ
z = z(t)
t ∈ ℝ, θ ∈ [0, 2π]

r_t = (x'(t) cosθ y'(t) sinθ z'(t))
r_z = (-x(t) sinθ y(t) cosθ z = 0)

r_t ∧ r_θ = det (- x(t) z'(t) cosθ -x(t) z'(t) sinθ x(t) x'(t))

||r_t ∧ r_θ|| = √(x(t)(z'(t))² cos²θ + x'(t)(z(t))² sin²θ + x'(t) (x(t))²) = √(x(t)(z(t))²)² + x'(t) (x(t))² = |x(t)| √((z'(t))² + (x'(t))²)

A(Σ) = 2π ∫ |x(t)| √((z'(t))² + (x'(t))²) dt(1)

Teorema di Guldino (2^o)

Sia C una curva nel semipiano y=0, x>0 nella prima parametrica:

x = x(t)
y = y(t)
t ∈ I ⊂ R

Ruotando attorno all'asse z la curva C genera la superficie Σ:

x = x(t) cosθ
y = x(t) sinθ
z = z(t)

Si ha (calcolo effettuato prima):

A(Σ) = 2π ∫ x(t) √(x'(t)² + (z'(t))²) dt

I = [a, b]

=> A(Σ) = 2π ∫_a^b x(t) √(x'(t)² + (z'(t))²) dt

Ma √(x'(t)² + (z'(t))²) dt è l'elemento di lunghezza ds della curva C mentre x(t) è la funzione x valutata sulla curva stessa:

=> A(Σ) = 2π ∫_C x(t) ds

Variante del problema

Data una curva nel piano x y di equazione:

x = a(t)
y = b(t)
t ∈ I ⊂ R

La superficie che si ottiene facendo ruotare questa curva attorno all’asse y si ha:

x = a(t) cosθ
y = b(t)
z = a(t) sinθ
t ∈ I ⊂ R, θ ∈ [0, 2π]

A(∑) = 2π ∫ |a(t)| √(a(t)² + (b’(t))²) dt

Le formule (2) vanno adattate caso per caso tenendo conto dei segni delle variabili nel piano in cui è assegnata la curva e dell’asse a cui la curva ruota. θ ∈ [0, 2π] la curva da far ruotare deve stare da una parte sola dell’asse di rotazione.

Esercizi

Esercizio 1

Calcolare l'area delle superfici ottenute facendo ruotare attorno all'asse z le curve:

1. y = t; z = t, t ∈ [1, 2]
2. y = 2 + cos t; z = 3 u t, t ∈ [0, π]
3. x = (1 + cos t) sen t; z = (1 + cos t) cos t, t ∈ [0, π]
4. z + z² = 2x, x

Soluzioni:

a) Tramite il teorema di Guldino

1. 2π∫₁² t√(1 + u²) dt

b) Primo teorema di Guldino

1. 2π∫₀^π (2 + cos t)√(sin² t + cos² t) dt

= 2π ∫₀^π 2 + cos t dt = 2π (2π + 0) = 4π²

c) Come sopra

2π∫₀^π (1 + cos(t))sin(t)√((x'(t))² + (z(t))²) dt = ...