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analisi 1
- Insiemi, logica, numeri
- funzioni
- limiti di successioni
- limiti di funzioni e continuità
- derivate e differenziali
- integrali
- serie numeriche, serie di funzioni e potenze
- equazioni differenziali
Parte 1: Numeri
Insiemi e logica
La teoria degli insiemi qui sono presentati, è ridotta come teoria assiomatica.
Questa nasce nel 800 e analizza con il logico nei fondamenti con Georg Cantor (1845-1918, Russo) e Zermelo (1871-1953, tedesco). Si basa su concetti primitivi:
- Insiemi
- Elementi
- Appartenenza
Non nomi definiti
Per indicare gli insiemi usiamo lettere maiuscole come A, B, X, Y, gli elementi li indichiamo con lettere minuscole a, b, c... v per indicare l'appartenenza di un elemento ad un insieme usiamo il simbolo ∈ come scriviamo:
a ∈ A oppure A ∉ E
Gli insiemi si presentano denotati gli elementi tra parentesi graffe A = {1, 2, 5}
In quasi contè dentro che l'insieme è definito per enumerazione cioè l'elencato di elementi che ne appartengono A = {1, 2, 3} cioè rappresenta che l'insieme al loro un numero finito di elementi è definito con un elenco di elementi e evidenziano
Esiste un insieme U che contiene tutti e l'insieme dei ragionamenti matematici e questo prende il nome di Insieme Universale. Tutti gli altri insiemi A, B, ... contengono in ogni numero di elementi da U
Enumerazione interna di un insieme:
Gli esempi al paragrafo ci sono da numeri del brano obes A = {1, 2, 3, 1, 5, 1, 6, 3}
L'insieme dei numeri pari è un sottoinsieme di A - B = {2, 1, 1, 6, 3}
Per appartenere ad un insieme occorre soddisfa della proprietà: Una proprietà è qualunque che cerca l'insieme ne siano i falsi: non esistono altre possibilità.
Sottoinsieme
Nel caso di primo sottoinsieme A ⊆ U
oppure A ∈ U
(considerando anche gli estremi presente dentro)
Numeri decimali
Tutti i numeri possono rappresentarsi in questa forma (perché la parte decimale può anche valere 0). Ogni numero ha una parte intera ed una decimale.
I numeri interi sono quelli la cui parte decimale è costituita da cifre nulli come 3,00.
I numeri razionali sono quelli la cui parte decimale contiene un numero finito di cifre non nulli oppure possono essere periodici (dopo la virgola, si ripetono gli stessi numeri all'infinito):
- Razionale: 3,14, 6,000...
- Periodico: 3,1416, 1,1616...
Numeri irrazionali
Sono numeri con infiniti cifre decimali non nulli e non periodiche:
- √ 2 = 1,414213562...
- π = 3,1418281828...
Numeri reali
R è l'insieme di numeri rappresentabili in forma decimali uniti con i numeri irrazionali.
R ragruppa così l'insieme Universale U, però costituita dallo parti naturali (N, Z, Q), dai numeri irrazionali e razionali.
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C
C è il campo dei numeri complessi.
Operazioni tra numeri reali e razionali
Negli insiemi Q ed R, si possono tenere due operazioni: Somma e Moltiplicazione.
In R e definito un ordinamento totale, per due numeri si verifica solo una delle tre proprietà:
- x = y (due numeri)
- x ≤ y (minnanza)
- x ≥ y (maggiore)
Due dai elementi di R è congiunture o sono l’uno indell’altro.
degli m in cui è verificata la proprietà. non può essere maggiore di
niente, che in un suo sottoinsieme. Il metodo dice:
1. Si vede che P(0) è vero, per m=0
2. P è vero per m, quindi anche per m+1 (induttore)
3. Allora P è vero ∀m ∈ ℕ
Dimostrazione Binomio di Newton (a+b)m=∑k=0m(m k)akbm-k
Dim:
Vale che k=0 e k=m+1. Amplio il metodo induttivo
- Per m=0 (a+b)m = (a+b)0 = ∑k=00(0 k)akb0-k
(a+b)m+1 = ∑k=0m(m (k 0))akbm-k = 0!1=1 è sempre vero, m=0
- Per m assunto che vero; vediamo per m+1
(a+b)m+1 = (a+b)(a+b)m = (a+b)1∑k=0m(m k)akbm-k
+ ∑k=0m(m ...bd+11+mk bm-k
(a+b)m+1 = (a+b)m
Usando k-m+1a k=1
(a+b)m+1 = a k=1 = akbm-k + 2m+1
(a+b)
Per ampliare la propoietà dei coefficienti binominali (m+1 k) = (k k)
(a+b)m+k= ∑k=0m(m k)akbm-k + am+1 + bm+1
Amplio al cibo proporre {(m k)*1}m+1= (m+1)
(a+b)m+1= ∑k=0m-1(m (m+1 k)2akbm+1-k
2 è vero ∀m
Potenze di esponenti razionali
Se b = k, α = z√n allora (√αz)m = (√nz)kh con z > 0. Prendi la radice n-esima e il numero della potenza.
Logaritmi
Teorema Dato a > 0, a ≠ 1, x > 0. Esiste un unico numero reale y tale che ay = x. Tale numero prende il nome di logaritmo in base a di x e si indica logax.
- ax = y ⇔ logax = y
- x = y ⇔ logay = x
- loga(x ∙ y) = logax + logay
- loga(x:y) = logax - logay
- loga(xα) = α logax ∀α ∈ ℝ
- loga(1/x) = -logax
- ax = xa ⇒ x = 0, 1 ∴ loga x = 3.
Valori: loga1 = 0 loga0 = ∞
Insiemi induttivi
Uno sottoinsieme A del tipo ℝ è detto insieme induttivo se soddisfa le proprietà: 1 ∈ A ∧ x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A. ℝ intersezione insiemi induttivi.
L'insieme ℝ contiene tutti gli insiemi induttivi e ogni insieme induttivo deve contenere i numeri naturali, quindi N è la più piccolo insieme induttivo nel contesto in tutte le altre, quindi A ⊆ {X|X ∈ ℝ, X ∈ ℝ.}
Quando assumiamo che N ⊆ A perché N è il più piccolo insieme induttivo di ℝ.
Dimostrazione: L'intersezione dei numeri in N è un insieme induttivo di ℝ quindi include proprio A ⊆ ℝ, J, ℝ ⊇ 0 ∈ N. 2) m ∈ N ⇒ m = ℝ ∀ℝ ∈ ℝ = m + 1 ∈ N.
Questi il principio di induzione o metodo induttivo, consiste nel dimostrare l'implicazione che l'insieme contiene allora un'altra parte non è anche ℝ ci accorda.
Anche se ricordiamo ℝ = risultati, suppongo che P(m) consiste nel fare o dimostrare P(m+1) se risultato.
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