Analisi 1 - numeri complessi, forma trigonometrica

Analisi 1 - Lezione 3

Forma Trigonometrica

z = (a, b)

-z = (a, -b)

z = √a² + b²

Coordinate polari (ρ, θ)

ρ = raggio vettoreθ = angolo a meno di 2π

z = a + ib

ρ = √a² + b²

tg θ = b / a → θ = arctg b/a

0 ≤ θ ≤ 2π

b = ρ(sin θ) a = ρ(cos θ)z = a + ib = ρ(cos θ + i sin θ)

z = (a + ib) (a - ib)

z = (2 - 5i)² = 4 - 5 - 10i - i = -1 - 10i

• (2 - 5i)² + (5i)² + 3(2)²(5i) + 3(2)(5i)²...

Troppo lungo e complicato

• z₁ = ρ₁ (cos θ₁ + i sin θ₁)
• tg λ₂ = (cos θ₂ + i sin θ₂)
• z₂ = ρ₂ (cos θ₂ + i sin θ₂) (cos θ₁ + i sin θ₁)

p₁p₂ = (cos θ₁cos θ₂ + isin θ₁cos θ₂ + icos θ₁sin θ₂ - sin θ₁sin θ₂)

p₄p₂ (cos θ₁ cos θ₂ - i sin θ₁ sin θ₂) + i (cos θ₁ sin θ₂ + sin θ₁cos θ₂)

p₄p₂ (cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂))

Analisi 1 - Lezione 3

Forma Trigonometrica

= (,)

- = (,-)

= √²+²

coordinate polari (,)

= raggio vettore = angolo a verso di 2

= + : = √² + ² = / = arctg / 0 ≤ ≤ 2

= = = + +() = ( + )

= - * = ( + )*

= (2 - 5)² = 2² - 5 - 10 = -1 - 10

(2-5)= 3(2)²(5)² + 3(2)(5)² ...

Troppo lungo e complicato

₁ = ₁ (₁ + ₁)₂ (₁+₁) (₂ + ₂)

₁=_{1 12} (₁₁₂+₂) = ()*₁₂ (₁₂--) = (₁₂) ((₁ - ₂) + (₂)) ((₁ - ₂) + (₂))

Esercizio

z₁=-(1+i) z₂=√3-1 z₁z₂=?

z₁z₂=(-1-i)(-1+√3 i)=

= -1-√3 i - i-(√3 i)²=

= -1-√3 i - i+√3 (1+√3)+i(1+√3)

z₁=(-1,-i) ρ=√a²+b²=√1+1=√2

tg θ=-1-1=1 θ=-^π/₄5_π/₄

z₁=i√2(cos^5π/₄+isin^5π/₄)

z₂=1+i√3

ρ=√1+3=2

tg θ=√3=-√3

θ=-1 θ=2^π/₃

z₂=2(cos^2π/₃+ isin^π/₃)

z₁z₂=2v√2(cos^23π/₁₂+i sin^23π/₁₂

π₂9-3_π/2₂

5₄+23+5/4+3/12+15+8/12

zz̅ - z̅ - z = 0

z = x + iy

z̅ = x - iy

x, y ∈ ℝ

(z + i y)( x - iy) - (x + iy) (x - iy) = 0

x² + y² - x - iy + x + iy = 0

x² + y² - 2x = 0

circonferenza con centro (1, 0)

2 | z + i | ≤ 4

z = x + iy

z + i = x + iy + i = z + i (y + 1)

| z + i | = √ (x² + (y + 1)²) ≤ 4

4 ≤ x² + (y + 1)² ≤ 16

⇨ circonferenza centro (0, -1)

0 ≤ x² + (y + 1)² < 4 > 0

raggio 2

raggio 4

z̅ + z Re z = 2 (Re z²)

z = x + iy

(x + i y) (x + i y) - 2 z z̅

x² + y ² + ix + iy - 2z² = 0

→ parte reale e immaginaria = 0

{y² + y = 0

{x = 0

{2y = 0

{y = 0

{x = 0

orizzontale

Formula di De Moivre

z = ρ (cos(ϑ) + i sin(ϑ))

zⁿ = ρⁿ (cos(nϑ) + i sin(nϑ))

zⁿ = z̅̅̅ = ρ (cos(ϑ + ϑ₂ ...) + i sin (ϑ + ϑ₂ ...))

Radice n-esima di n° complesso

ω dato trovare z = radice z = ?

zⁿ = ω

z₁ = ρ(cosα + i sinα)

z₂ = ?

zⁿ = ρⁿ (cos(nϑ) + i sin(nϑ)) = ω

z¹ = ρ (cosα + i sinα)

=>

1. ρ₂ⁿ = ρ₁

2. ρ₂ = ρ₁

   ϑ = α + 2kπ

ϑ = α + 2kπ/m k ∈ ℤ

k = 0 ϑ = α/m

k = 1 ϑ = α/m + 2π/m

k = m ϑ = (α + 2πm)/m

Le radice ennesime di un numero complesso sono

• modulo = radice n-esima del modulo del n° dato
• argomento = m angoli d'amp: α + 2kπ/n

Esempio

ω = 1 i = 5 ω = ?

1 + i = √2 (cos ^π/₄ + i sin ^π/₄)

z = 5[ω = p₄ (cos θ_j + i sin θ_j)]

p₄ = √²/₂ ^√/₂

θ₁ = ^π/₄ + 2kπ

k = 0, ..., 4

θ_{k = 0} = ^π/4/₅ = ⁵/₂₀

θ_{k = 1} = ^{π/4 + 2π}/₅ = ⁹/₂₀ = π

θ_{k = 2} = ^{π/4 + 4π}/₅ = ¹⁷/₂₀ = 2π

θ_{k = 3} = ^{π/4 + 6π}/₅ = ²⁵/₂₀ = ⁵/₄ = π

θ_{k = 4} = ^{π/4 + 8π}/₅ = ³³/₂₀ = π

θ_{k = 5} = ^{π/4 + 10π}/₅ = ⁴⁷/₂₀ passo ^40π/₂₀ + ^π/₂₀ - ^2π/₂₀ + ^π/₂₀

Esercizio

a) Trovare parte reale e immaginaria

z = ^{1 + i}/_{(4 - 2i)(2 + 3i)}

z = a + ib

a b ∈ R?

^{1 + i}/2 + 3i = ^{1 + i}/8 - i = ^{(1 + i)}/(8 - i) = ^{8 + i}/8 + i = ^{7 + 9i}/65 = ⁷/65 + ³/65 i

a = Re z = ⁷/65

b = Im z = ³/65

b)^√41

1 = cosΘ + i sinΘ

Θ = 0 + 2kπ/4 k = 0, 1, 2, 3

Θ₀ = 0

Θ₁ = 0 + 2π/4 = π/2

Θ₂ = 0 + 4π/4 = π

Θ₃ = 0 + 6π/4 = 3π/2

x

y

z² + 1 + z^-2 quadrato ha senso?

z = x + iy

z² + i y, z^-2 = x² + y² - 2 i xy ∈ R

= (x² + y²) + i (y - 2 xy)

y - 2xy = 0

y = 0 z = ¹/₂