Numeri complessi - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

• Numeri complessi
• Forma algebrica
• Coniugato
• Reciproco
• Modulo
• Formula di Moivre
• Forma trigonometrica
• Radice complessa

INDICE DOCUMENTO

• Numeri complessi
• Forma algebrica
• Coniugato
• Reciproco
• Modulo
• Formula di Moivre
• Forma trigonometrica
• Radice complessa

Numeri Complessi

Il numero complesso può essere definito come un gruppo ordinato (x, y) di numeri reali x e y.

L’insieme dei numeri complessi è denotato con e può essere identificato con il piano cartesiano R x R.

Consideriamo R x R = { (x,y) x∈R, y∈R } = C

Sì C, +, ⋅ = ^R2, + , ⋅ -> campo de numeri complessi. Essendo un campo C è:

• Gruppo Abeliano rispetto la somma (+, ⋅):

• - è associativo (Proprietà di somme d’assi)
• - ∃ un elemento esiste Ø = (0; 0) tale che (x,y) + (0,o) = (o,o) + (x,y) = (x,y)
• - (x,y) ∈ C ^∃ (x,y) ∈ C tale che (x,y) + ( - x, - y) = (x - x, y - y) = (o,o)
• - è commutativo

• Gruppo Abeliano rispetto la prodotto (·):

• - è associativo
• - ∃ un elemento esiste e = (1,o) tale che (x,y) (1,o) = (1,o)(x,y) = (x,y)
• - ∀(x,y) ≠ ^{℧ ∃} gruppo C (x^-1, y^-1) ∈ C tale che (x,y) (x^-1, y^-1) = (x,y) (x,y) = (λ, = λ, = )
• - è commutativo

Operazioni tra Numeri Complessi

• Somma ⊕ = (x,y) + ( x', y') = ( x + x’ ; y + y’)
• Prodotto ⊗ = (x,y) ⊗ ( x’, y’) = ( xx' − yy' ; xy' + yx’)

differenza tra possibili sette componenti

somma tra componenti scambiati

FORMA ALGEBRICA DEL NUMERO COMPLESSO

OSS Esiste un isomorfismo tra l'insieme delle coppie (x;0) ∈ ℂ e l'insieme dei numeri reali (ℝ)

(x;0) ➔ x ∈ ℝ

Le coppie che hanno x come 1_a componente e 0 come 2_a componente corrispondono al numero reale x

ℝ = {(x;0) , x ∈ ℝ} ⊂ ℂ

(ℝ,+,⋅) è un sottocampo di ℂ

Introduciamo = (0;1) ➔ = UNITÀ IMMAGINARIA

Sia z = (x; ) ∈ ℂ

z = (x;0) + (;0) = (x; )

Quindi ℂ = {z = x+i·y , x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}

dove x ∈ ℝ è detto PARTE REALE DI Z

x = Re(x)

y ∈ ℝ è detto PARTE IMMAGINARIA DI Z

c è detto COEFFICENTE DELL’UNITÀ IMMAGINARIA

(0;) = 0+ = 0

(x;0) = x + 0 = x

OSS

² = (0;1)² = -1

ℝ contiene ℚ come sottinsieme ma ℂ ha degli elementi che lo collocano maggiormente nei ℝ, come ad esempio dei numeri che hanno quadrato non risultato negativo.

OPERAZIONI IN FORMA ALGEBRICA

SOMMA ➕

(x+i·y) + (x+i·y) = [x+x] + i(y+y)

SI MOLTIPLICANO NORMALMENTE I TERMINI FRA LE PARTI REALI E FRA LE PARTI IMMAGINARIE

PRODOTTO ⊙

(x+i·y)(x+i·y) = x² + xy + (x·y + x·y)

= x² - y² + i(ixu + x)

Coniugato di Z

Sia z = x + iy ∈ ℂ allora z = x - iy ∈ ℂ è detto "coniugato di z"

Proprietà

1. z · z = x² + y² ∈ ℝ⁺
2. z₁ + z₂ = (z₁ + z₂)   ∀ z₁, z₂ ∈ ℂ
3. z₁ · z₂ = z₁ · z₂   ∀ z₁, z₂ ∈ ℂ
4. z = |z| (hanno lo stesso modulo)

Reciproco di Z

La divisione tra due numeri complessi è uguale al prodotto tra il primo ed il reciproco del secondo. z₁/_z2 = z₁ · 1/_z2

Per fare il reciproco di un numero z

Sia z = x + iy

¹/_z 1/_x+iy ¹/_z = ^x-iy/_(x+iy)(x-iy) = → si moltiplica e si divide per il coniugato del denominatore

x - iy/x = x - iy/ (x₂ + y₂) = → x - iy/(x₂ + y₂)

Esempio (trovare il reciproco)

^{4 - 5i}/_3i = ^{(4 - 5i)(-3i)}/_(-3i)(-3i) = -12i + 15/(-9) = → -12i + 15/(-9) = z = ⁵/₃ - i ⁴/₃

^-/_- = ^-/_- = ⁵/₃ - i ⁴/₃ = ²⁸/₉ = ^-25/₉ + ¹⁶/₉

MODULO DI z

Dato z ∈ ℂ, &exists; numero reale non negativochiamiamo modulo del numero complesso z.

Geometricamente, il modulo di un numero complesso è la distanza tra il puntorappresentante il numero complesso e l'origine.Il coniugato di un numero complesso e il simmetrico rispetto agli assi _x ^y.

PROPRIETÀ

1. |z| ≥ 0
2. |z| = |-z|
3. |z| = |z|
4. z · z = |z|²
5. |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
6. |z₁ - z₂| ≥ ||z₁ - |z₂||
7. |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

DIMOSTRAZIONE

Siano z₁, z₂ ∈ ℂ, consideriamo z₁ = z₂|z₁ · z₂| = |z₁||z₂|Dimostriamo che l'argomento del prodottoè uguale alla somma degli argomentiz₁ = |z₁| (cosα₁ + i senα₁) ez₂ = |z₂| (cosα₂ + i senα₂) quindi

z₁ · z₂ = |z₁||z₂| (cosα₁+i senα₁)(cosα₂+i senα₂) == |z₁||z₂| [cosα₁ cosα₂ - senα₁senα₂ + i (senα₁cosα₂ ++ i senα₂cosα₁) = |z₁||z₂| cosα₁cosα₂ - senα₁senα₂ + i (senα₁cosα₂ ++ i senα₂cosα₁) ] = |z₁||z₂| cosα₁cosα₂ - sena senb + i (sena cosa + sena cosb)]

RICORDANDO CHEsin(x+y) = sinx cos y + cosx sinycos(x+y) = cosx cosy - sinx siny z₁ · z₂ = |z₁||z₂| [ cos(α₁ + α₂) + i (sen α₁ + α₂) ]

MOLTIPLICAZIONE IN FORMA TRIGONOMETRICA

si moltiplicano i modelli tra loro e si sommanogli argomenti

arg (z₁ · z₂) = arg z₁ + arg z₂ + 2kπ

L'argomento del prodotto di due numeri complessi e è dato dalla somma degli argomenti

|z₁| = |z₁|

|z₂| = |z₂|

arg ^z₂/_z2 = arg z₁ - arg z₂ + 2kπ   k ∈ ℤ

Poniamo Z = ^z₂/_z2   →   z ⋅ z₂ = z₁

arg ^z/_z2 = arg z - arg z₂ + 2kπ   k ∈ ℤ

arg z = arg z₁ - arg z₂ + 2kπ

ESEMPIO

|z₁| = √2

|z₂| = √2

arg z₁ = π/4

arg z₂ = π/4

FORMULE DI DE MOIVRE

Sia z ∈ ℂ

z = |z|(cos    + i sin   )   con n ∈ ℕ

Allora zⁿ = |z|ⁿ(cosn  + i sen n )

Poniamo eiα  cosα + i senα   α ∈ ℝ

quindi z = |z|e^iα   →   zⁿ = [|z|ⁿ(e^iα)ⁿ]

So |z| = 1   →   z = e^iω

Osserviamo che ^2kπ/_i = 1

ma siccome 2kπ = α    →   e^iα

PROPRIETA

. e^{2kπ + iω} e^iω

. l'arg^{z =} _a

. |z| = |z|ⁿ    = |z|e^{ia + 2kπ}   k ∈ ℤ

= |z|e^iα

      ⋅|z|e^i(ia)

ESEMPIO

z = 1 + i

z = |z|(cosω + i senω )

=²&radic2   i   ²/

z⁴ = (1 + i)⁴ e^{4 π}

Rappresentazione Cartesiana del Numero Complesso

Z = (x; y) = x + iyZ = (x; -y) = x - iy

Forma Trigonometrica del Numero Complesso

Z può essere individuato anche dalla cosiddetta COPPIA di EULERO

OZ = |Z| = √(x² + y²)  (modulo di Z)

X = |Z| cosα   (dalle proprietà della trigonometria)Y = |Z| senα

[Z = x + iy] = [Z| cosα + i|Z| senα]

Z = |Z| [cosα + i senα] = |Z| [cos(α + 2kπ) + i sen(α + 2kπ)]

Ci sono infiniti angoli che individuano lo stesso numero complesso di Z ed è il ARGOMENTO di ZArg Z = α + 2kπ   k∈ZSe k = 0   →   argomento principale

Esempio

Passaggio forma ALG → forma TRIGONOMETRICA

• Z = x + yi
• → |Z| = √(x²+y²) ∈ R → → Z = |Z| [cosα + i senα]
• Z₁ = 1; 0 → |Ζ₁| → √1² + 0² = 1 → (1; 0) = 1 → → 1
• Z₂ = 1; 1 → |Ζ₂| = √1²+1² = → √2
• α →
  • {x' = |Z₁| cosα, y' = |Z₁| senα} → ⇒ |Z₁| cosα = 1
• cosα → cosα = 1, senα= 0
• α = 0 → → 1
• {x' = |Z₂| cosα, y' = |Z₂| senα} → {cosα = ½, senα = √2 ½}
• senα = √2½
• α = π/4
• Z₁ = |Z| [cos(π/4) + i sen(π/4)]
• Z₂ = |Z| [cos(-π/4) + i sen(π/4)]

RADICE COMPLESSA

Sia ω ∈ ℂ un numero complesso non nullo.

Risolvendo l'equazione zⁿ = ω ho n soluzioni complesse date da

z_k = n^√|ω| e^{(iθ + 2kπ)} / n

(dove θ = argomento di ω) k = 0, 1, ..., n - 1

L'equazione zⁿ = ω ha infinte soluzioni che hanno tutte lo stesso modulo, e lo stesso argomento rispetto agli argomenti. Infatti le soluzioni distinte sono n e si ottengono per n valori consecutivi del parametro k.

ESEMPIO

5^√1 questo numero complesso ha 5 radici da calcolare per k = 0, 1, 2, 3, 4

5^√1 = e^{(iθ + 2kπ)} / 5 dove θ = argomento di ω = 0

|1| = 1

• Per k = 0
  • 5^√1 = 1 · e^i·0 z₀
• Per k = 1
  • 5^√1 = 1 · e^{i·(0 + 2/5)π} z₁
• Per k = 2
  • 5^√1 = 1 · e^{i·(0 + 4/5)π} z₂
• Per k = 3
  • 5^√1 = 1 · e^{i·(0 + 6/5)π} z₃
• Per k = 4
  • 5^√1 = 1 · e^{i·(0 + 8/5)π} z₄

DIMOSTRAZIONE

Sia ω ≠ 0 Fissiamo n ∈ ℕ

zⁿ = ω ⟺ |zⁿ| = |ω|

arg zⁿ = arg ω + 2kπ k ∈ ℤ

Per k = 0: arg z = arg ω + 2 0 · π = arg ω / n (perché arg z = modulo)

Per k = 1: arg z = arg ω + 2π / n

Per k = 2: arg z = arg ω + 4π / n + 2π

Per k = n · π arg z = arg ω / n + 2π / n + . . . + 2π / n

arg zⁿ = arg ω + 2π / n . . . + 2π