Analisi matematica 1 - Equazioni differenziali

 Ora avendo due funzioni la cui derivata è uguale sappiamo che le due funzioni

differiscono solo per una costante ovvero:

 Possiamo ora determinare la costante a partire dalle condizioni iniziali

 Posso ora facilmente determinare la funzione iniziale

[ ]

EQUAZIONI DIFFERENZIALI SECONDO ORDINE

EQUAZIONE OMOGENEA

Le equazioni differenziali del secondo ordine sono quelle in cui appaiono incognite fino alla

derivata seconda della funzione. Una generica equazione è proprio:

Si definisce EQUAZIONE CARATTERISTICA:

le cui radici sono: √

si possono così distinguere 3 casi:

{

L’equazione caratteristica ha due radici reali distinte

Vogliamo verificare che in questo caso vale:

Sia e sia

[ ]

sostituiamo questi valori nell’equazione:

vediamo la derivata prima e seconda: [ ] [ ]

perciò l’equazione sopra risulta: [ ]

chiamiamo ora:

ricordandoci dell’equazione iniziale otteniamo: [ ]

poniamo ora e moltiplicando per si ottiene

ovvero: ( )

ed avendo la derivata nulla la funzione:

e in conclusione:

L’equazione caratteristica ha due radici appartenenti ai numeri complessi

Sia e sia

[ ] [ ]

[ ] [ ]

sostituendo nell’equazione differenziale si ottiene:

[ ] { [ ]} [ ]

dopo una serie di calcoli risulta essere equivalente a:

che è della forma:

la cui soluzione è: cos sin

riportato al nostro caso si ha: √ √

cos sin

e di conseguenza tornando all’equazione iniziale:

√ √

( )

cos sin

Le soluzioni complesse dell’equazione caratteristica sono del tipo:

√

L’equazione di prima si riduce a:

e quindi:

e la soluzione sarà: RIASSUNTO

Le soluzioni dell’equazione

sono della forma

{

{ è

cos

{ sin DETERMINANTE

Si può facilmente dimostrare che il determinante del seguente sistema non è mai nullo in tutti

e tre i casi di equazione omogenea, e questo ci dice che il sistema ha soluzione.

| |

la dimostrazione è molto semplice per tutti e tre i casi.

PROBLEMA DI CAUCHY

EQUAZIONE NON OMOGENEA

Una generica equazione non omogenea è del tipo:

Nel problema di Cauchy detto anche ai valori iniziali ci permette di risolvere un’equazione

differenziale non omogenea a partire da dei valori definiti della funzione:

{ ̅̅̅

TEOREMA FONDAMENTALE

Se è continua allora il sistema “P” ha una e una sola soluzione.

UNICITA’ DELLA SOLUZIONE

Supponiamo esistano due funzioni e che sono soluzioni di “P” e definiamo la

funzione:

se la funzione è uguale a zero questo implica che esista una sola soluzione.

Sostituiamo ora la funzione all’interno del problema:

{

la cui soluzione è della forma:

quindi per le condizioni iniziali deve essere:

{

e avendo già dimostrato che il sistema ha una sola soluzione perché il determinante è sempre

diverso da zero non ci resta che concludere che l’unica soluzione possibile è:

quindi:

come volevasi dimostrare il sistema “P” se esiste ha una e una sola soluzione.

ESISTENZA DELLA SOLUZIONE

Sia una qualunque soluzione dell’equazione non omogenea allora definiamo la funzione:

dove e sono soluzioni dell’equazione omogenea allora

[ ] [ ] [ ] [ ]

ma i termini evidenziati in rosso sono nulli poiché soluzioni dell’omogenea e quindi:

[ ] [ ]

cioè è soluzione del sistema “P” qualunque siano le costanti e .

N.B.

La soluzione dell’equazione non omogenea sarà una combinazione lineare delle soluzioni

dell’omogenea e della soluzione particolare della non omogenea.