Analisi matematica 1 - Equazioni differenziali

Equazioni differenziali

Caratteristiche

• Equazione la cui soluzione è una funzione
• Appaiono come incognite le derivate della funzione da calcolare
• Il grado o ordine è l'ordine massimo delle derivate che appaiono

Equazioni differenziali primo ordine

Siano e due funzioni continue in un intervallo, siano e fissati. Si tratta di determinare una funzione tale che:

Definiamo ora l'operatore lineare L [ ] la proprietà dell'operatore lineare è proprio la seguente: [ ] [ ] [ ]

Ora riportiamo i passaggi per la risoluzione di una generica equazione differenziale del primo ordine:

• Troviamo una primitiva della funzione nel caso particolare determiniamoe moltiplichiamo ambo i membri per
• Ci accorgiamo ora che a primo membro è comparsa la derivata di una funzione e troviamo una primitiva al secondo membro così da avere
• Ora avendo due funzioni la cui derivata è uguale sappiamo che le due funzioni differiscono solo per una costante ovvero:
• Possiamo ora determinare la costante a partire dalle condizioni iniziali
• Posso ora facilmente determinare la funzione iniziale [ ]

Equazioni differenziali secondo ordine

Equazione omogenea

Le equazioni differenziali del secondo ordine sono quelle in cui appaiono incognite fino alla derivata seconda della funzione. Una generica equazione è proprio:

Equazione caratteristica

Le cui radici sono: √ si possono così distinguere 3 casi:

• L'equazione caratteristica ha due radici reali distinte

Vogliamo verificare che in questo caso vale: Sia e sia [ ] sostituiamo questi valori nell'equazione: vediamo la derivata prima e seconda: [ ] [ ] perciò l'equazione sopra risulta: [ ] chiamiamo ora: ricordandoci dell'equazione iniziale otteniamo: [ ] poniamo ora e moltiplicando per si ottiene ovvero: ( ) ed avendo la derivata nulla la funzione: e in conclusione:

• L'equazione caratteristica ha due radici appartenenti ai numeri complessi

Sia e sia [ ] [ ] [ ] [ ] sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene: [ ] { [ ]} [ ] dopo una serie di calcoli risulta essere equivalente a: che è della forma: la cui soluzione è: cos sin riportato al nostro caso si ha: √ √cos sin e di conseguenza tornando all'equazione iniziale: √ √( )cos sin Le soluzioni complesse dell'equazione caratteristica sono del tipo: √ L'equazione di prima si riduce a: e quindi: e la soluzione sarà:

Riassunto

Le soluzioni dell'equazione differenziale...