Altri condensatori e dipoli elettrici

C

Q 2

Q Q 1

∫ 2

all’integrale avremo quindi .

=

dQ= C ΔV

C 2 C 2

0 ∗S

ε σ

| |

=

E

0

Unendo l’equazione di prima con e , l’energia totale

C= ε

d 0 ( )

2 2 2 2

Q σ S d 1 σ

= = ∗ ∗ε

E= Sd

immagazzinata nel condensatore è , con Sd il

0

2 C 2 ε S 2 ε

0 0

¿

volume (indicato con fra le due armature, sappiamo che ciò è uguale a

τ

❑ 12 12

∫ 2 2

∗E ∗ε dτ ∗E ∗ε

, chiamiamo la quantità densità volumetrica di

0 0

τ

energia (U).

Per introdurre il concetto di dipolo elettrico si prendano ad esempio la molecola

NaCl e la molecola di H O. Nell’acqua distillata la molecola di sodio positiva è

2

libera dalla molecola di cloro negativa, gli ioni sono liberi di muoversi. La

presenza di un campo elettrico deforma la materia in modo da formare un

campo elettrico opposto. Dato un dipolo elettrico, e quindi una carica positiva

q+ e una carica negativa q- data una situazione del genere:

Notiamo che le cariche sono poste ad una certa distanza d, e vediamo che la

+¿=d∗cos θ ≪r

quantità , approssimando, considerando che la .

−¿−r d

¿

r ¿

Considerando che la quantità detta momento elettrico è uguale al prodotto fra

⃗

il vettore distanza fra le due cariche (uguali) e la carica e quindi ,

⃗

p=q d

abbiamo dalla formula del potenziale di una distribuzione di cariche che

−¿ r +¿

r ¿ r +¿

−¿− ¿

r +¿=d∗cos θ

¿

q −¿−r

= ∗¿

r ¿

−¿ 4 π ε 2 ≪r

, valgono le approssimazioni , per .

d

+¿=r ,r

0 ¿

1 −¿r

∗q ¿

r

4 π ε ¿

0

−

r ¿

+¿ 1 ∗q

4 π ε 0

( )=

V P ¿

0

Sostituendo abbiamo

q q 1

⃗

∗dcos ∗ ⃗ ∗⃗ ⃗

θ d ∙ r p ∙ r

( )

4 π ε 4 π ε 4 π ε

q dr cos θ . Al posto del vettore

0 0 0

( )= = ∗ = =

V P

0 2 3 3 3

4 π ε

r r r r

0 2

r si può usare il versore e quindi avere al denominatore.

r

Dato un dipolo elettrico (che si comporta come un magnete [è solenoidale ed il

flusso è 0]) il campo elettrico generato da esso nell’origine di un sistema di assi

⃗

, con un dato momento , orientato come l’asse z, è uguale a:

xyz p

[ ]

( )

⃗ ⃗ ⃗

1 p ∙ r p

⃗ = ⃗ −

E 3 r

5 3

4 π ε r r

0

Dato il dipolo, sempre ad una determinata distanza da un punto P, esso dovrà

r

−¿

⃗ ⃗

− ¿

r × E

+¿ ⃗¿

avere anche un determinato momento della forza, pari a .

⃗

( )

−q =q ¿

r × E

¿

p+ ⃗ ⃗¿

+

r ×q E

p−¿ ⃗

⃗ ⃗

=⃗ = ¿

M r × F

p

⃗ ⃗

Sappiamo dalle formule di prima che questo si trasforma in .

=⃗

M p × E

Quando in un dipolo (ad esempio in un atomo) abbiamo sia il campo elettrico

fra le cariche interne che un campo elettrico esterno, si parla di polarizzazione

n

∑ ⃗

p

per deformazione. Si introduce quindi il vettore polarizzazione come: i

⃗ i=1

=

P Δτ

con unità infinitesima di volume.

Δτ

,

Introdotte le seguenti nozioni, le si applichino al concetto di condensatore con

dielettrico. All’interno del dielettrico si formano dei dipoli elettrici che, essendo

tutti collegati, si annullano se il vettore polarizzazione è omogeneo (e isotropo),

−σ =0

σ σ

quindi , con densità di cariche di polarizzazione. Ma se il vettore

P P

polarizzazione non è omogeneo, vi sono delle cariche volumetriche. Si ha che

=−⃗

⃗ ⃗ ϱ

= ^ e ϱ ∇ , con densità di carica volumetrica. Alla fine, si

σ P ∙ n ∙ P P

P P

vengono a creare delle nuove cariche per l’orientamento dei dipoli.

1 ( )

∗Q ⃗ −⃗

r r

p q

4 π ε ε

Il campo elettrico sarà quindi , si nota che il campo

⃗ 0 r

=

E 3

| |

⃗ −⃗

r r

p q

elettrico cambia in base al vettore polarizzazione, e il suo modulo è

| |

| | | | | | ε

= ⃗ . Il campo elettrico risulta smorzato di .

E α p r

Quindi, nel caso ideale del vettore polarizzazione omogeneo, vi è la coincidenza

con il caso nel vuoto, al contrario, vanno fatte delle precisazioni, ad esempio:

⃗

Q Q+Q E

1 ( )

∯ ∯

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

tot p 0

= = = = >1 =ε ( )

E ∙ d S Q+ P ∙ d S ; E con ε ; P χ E

r 0

ε ε ε ε

0 0 0 r

La lettera “chi” è detta suscettività elettrica del materiale, ed essa è uguale a

−1

ε . Indica la costante di proporzionalità fra il campo elettrico applicato ad

r

un materiale ed il vettore polarizzazione che ne consegue. Il risultato sopra è

uguale ad una matrice 3x3. ⃗ ⃗

=

Viene definito il vettore spostamento elettrico come: , in modo che il

D E ε ε

0 r

flusso del vettore sia uguale alla carica movente. Considerando l’esempio del

cilindro conficcato nella sfera con il vettore spostamento elettrico in direzione

perpendicolare alla sfera (e quindi parallelo al vettore superficie delle due basi

n n

del cilindro), l’integrale del flusso uguale alla carica sarà uguale a: ,

−D

D 1 2

con “n” indicante “normale”. Questo vuol dire che, se la carica si annulla,