Altri condensatori e dipoli elettrici

Altri tipi di condensatori

Un’altra tipologia di condensatore esistente è quello sferico fatto in questo modo: \( \mathbf{Q} \, \mathbf{r} = \mathbf{E} \cdot \mathbf{S} \). Sappiamo che la formula del campo elettrico è \( \frac{\mathbf{Q} \, \mathbf{r}}{4 \pi \epsilon_0 \, 3r^2} \). La differenza di potenziale è data da:

\(\int_A^B \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\int_a^b \frac{\mathbf{Q}}{4\pi\epsilon_0 \, r^2} \, dr = \Delta V\)

Utilizzando la definizione di capacità, essa verrà uguale a \( \frac{Q}{\Delta V} \), quindi essa dipende esclusivamente dalle caratteristiche geometriche del condensatore.

Condensatore cilindrico

Parliamo adesso di condensatore cilindrico, in cui la superficie ha una densità di carica \( \sigma \), mentre esso è attraversato da un filo avente densità di carica lineare pari a \( \lambda \).

La densità di carica superficiale non interessa poiché rappresenta le cariche esterne, mentre va calcolata la differenza di potenziale e la capacità all’interno. Il campo elettrico di una densità lineare di carica è uguale a \( \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \, r} \), mentre la carica totale è \( \lambda \, h \), e la differenza di potenziale è uguale a:

\(\int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 \, r} \, dr = \lambda \ln \frac{b}{a}\)

Passando quindi alla capacità e facendo il rapporto avremo:

\(\frac{\lambda \, h}{\Delta V} = \frac{2\pi\epsilon_0 \, h}{\ln \frac{b}{a}}\)

Notiamo che la capacità dipende sempre dalle caratteristiche geometriche del condensatore.

Lavoro e energia immagazzinata

Dato un condensatore con differenza di potenziale \( \Delta V \) e cariche infinitesime sulle armature \( dQ \) e \(-dQ\), il lavoro svolto per caricare il condensatore (e l’energia che esso può immagazzinare) è uguale a:

\(dQ = \frac{Q \, \Delta V}{C}\)

Passando all’integrale avremo quindi:

\(\int_0^Q \frac{dQ}{C} = \frac{Q^2}{2C}\)

Unendo l’equazione di prima con \( C = \epsilon_0 S/d \), l’energia totale immagazzinata nel condensatore è:

\( \frac{\sigma^2 S \, d}{2\epsilon_0} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{\sigma^2 S^2}{2\epsilon_0} \)