Algebra lineare - Spazi vettoriali

ALGEBRA LINEARE ETTORE_MUNGAI

SPAZI VETTORIALI E SOTTOSPAZI VETTORIALI

Probabilmente già conosci qualche spazio vettoriale o saprai cos’è un vettore, basti pensare al piano cartesiano in

matematica o alla rappresentazione delle forze in sica. In algebra lineare de niamo un insieme

Spazio vettoriale

V dotato di due operazioni, generalmente esse sono:

- Somma vettoriale:

→

+ : VxV V

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( v , u ) ↦ v + u ⃗ ⃗

v , u ∈ V

Dove VxV è il prodotto cartesiano di V con sé stesso. La somma vettoriale prende due vettori e restituisce

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

w = v + u , w ∈ V

un terzo vettore

- Prodotto per uno scalare (gli scalari sono i numeri “ordinari”):

· →

: RxV V

⃗ ⃗

(a, v ) ↦ a v ⃗

v ∈ V a ∈ R

Il prodotto per uno scalare prende un qualsiasi vettore e lo “modella” con uno scalare , il vettore

risultante è un elemento di V . Attenzione a non confondere questa operazione con il “prodotto scalare”, qui infatti

stiamo parlando di un prodotto tra un vettore e uno scalare.

V deve essere chiuso rispetto alle due operazioni considerate.

Se V e le due operazioni sono uno spazio vettoriale, allora essi rispettano pure i seguenti otto assiomi:

ASSIOMI DELLA SOMMA: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

v + u = u + v ∀ v , u ∈ V

1) Proprietà commutativa della somma: ,

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( v + u ) + w = v + ( u + w ) ∀ v , u , w ∈ V

2) Proprietà associativa della somma: , ⃗ ⃗ ⃗

⃗

+ v = v + ∀ v ∈ V

= v

3) Esistenza di un elemento neutro della somma detto “vettore nullo” : ,

0 0 0

v v v

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

v ∈ V −v v + −v = −v + v = ∀ v ∈ V

4) Ogni vettore ha un suo opposto rispetto alla somma : ,

0

v

ASSIOMI DEL PRODOTTO PER UNO SCALARE:

⃗ ⃗ ⃗

(a b) v = a(b v ), ∀a, b ∈ R, ∀ v ∈ V

5) ⃗ ⃗ ⃗

1 v = v ∀ v ∈ V

6) Esistenza un elemento neutro del prodotto per uno scalare: ,

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(a + b) v = a v + b v ∀a, b ∈ R, ∀ v ∈ V

7) ,

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

a( v + u ) = a v + a u ∀ v , u ∈ V, ∀a ∈ R

8) , 1

fi fi

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Alcuni esempi:

- R è uno spazio vettoriale, puoi rappresentare dei vettori in un piano cartesiano

2

- R[x] (l’insieme dei polinomi in x) è uno spazio vettoriale

- M (R) (l’insieme delle matrici 2x2 a coef cienti reali) è uno spazio vettoriale

2

Se V è spazio vettoriale,