Algebra lineare - Spazi vettoriali

Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali

Probabilmente già conosci qualche spazio vettoriale o saprai cos'è un vettore, basti pensare al piano cartesiano in matematica o alla rappresentazione delle forze in fisica. In algebra lineare definiamo un insieme Spazio vettoriale V dotato di due operazioni, generalmente esse sono:

• Somma vettoriale: →+ : VxV → V

Dove VxV è il prodotto cartesiano di V con sé stesso. La somma vettoriale prende due vettori v e u e restituisce un terzo vettore w = v + u, w ∈ V.

• Prodotto per uno scalare (gli scalari sono i numeri "ordinari"): · →: RxV → V

Il prodotto per uno scalare prende un qualsiasi vettore v e lo "modella" con uno scalare a, il vettore risultante è un elemento di V. Attenzione a non confondere questa operazione con il "prodotto scalare".

Uno scalare: ⃗(a + b)v = av + bv ∀a, b ∈ ℝ, ∀v ∈ V

⃗(a(v + u)) = av + au ∀v, u ∈ V, ∀a ∈ ℝ

Alcuni esempi:

• R è uno spazio vettoriale, puoi rappresentare dei vettori in un piano cartesiano
• R[x] (l'insieme dei polinomi in x) è uno spazio vettoriale
• M(R) (l'insieme delle matrici 2x2 a coefficienti reali) è uno spazio vettoriale

Se V è spazio vettoriale, allora valgono le seguenti proprietà:

1. av = ∀a ∈ ℝ
2. 0v = 0 ∀v ∈ V
3. v + 0v = v ∀v ∈ V
4. v + (-a)v = a(-v) = -av
5. Ogni spazio vettoriale contiene il vettore nullo 0
6. v ≠ av ∀a ∈ ℝ
7. Ogni spazio vettoriale con almeno un vettore possiede infiniti vettori della forma 0v

Chiamiamo "sottospazio vettoriale" un sottoinsieme W di V che soddisfa le

seguenti proprietà:⃗w ≠1) W possiede almeno un vettore 0v2) W è chiuso rispetto alla somma3) W è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare∈4) W0vEsempi: y = 0W = {(x, y) R | } è uno spazio vettoriale, si può veri care controllando le quattro proprietà:2∈1 1) W ha almeno un vettore diverso da 0v2) (x , 0) + (x , 0) = (x , 0) W (W è chiuso rispetto alla somma)∈1 2 3a a a3) (x , 0) = ( x , 0) W (W è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare) ( R)∈ ∈1 14) (0, 0) W∈ 2fi fi fiALGEBRA LINEARE ETTORE_MUNGAIy = x + 1 ∉W = {(x, y) R | } non è un sottospazio vettoriale perché W02∈2 2v2y = xW = {(x, y) R | } non è un sottospazio vettoriale perché non è chiuso rispetto alla somma:3∈3 2 2 2≠(x , x , z ) + (x , x , z ) (x , x , z )1 1 1 2 2 2 3 3 3(2, 4, 1) + (3, 9, -1) = (5, 13, 2) W∉ 3[ ]a b a + d = 2W ={ M (R) | } non è un sottospazio

vettoriale perché non è chiuso rispetto alla somma : ∈

4 2c d[ ] [ ] [ ]5 81 0 6 8+ = W∉ 40 -34 1 4 -2

Esercizi:

Si dica quali tra questi sono sottospazi vettoriali

y = 0

1. A={(x, y, z) ∈ R | }
2. B = {x ∈ R | x < 0}
3. C = {(x, y, z, t) ∈ R | }
4. D = {(x, y, z, t) ∈ R | }
5. E ={ M ∈ (R)}
6. F = { M ∈ (R)}
7. G = { M ∈ (R)}