Algebra lineare - formulario

Formulario di Algebra Lineare per l’esame della professoressa Ekaterina Pervova. Argomenti trattati: formula di Grassmann (anche definizione), applicazioni lineari (definizione, costruzione della matrice associata), applicazioni invertibili e cambiamenti di base (formule e spiegazione su come effettuarli), regola di cambiamento delle coordinate, formula della dimensione, matrici (traccia, prodotto, matrice invertibile, simmetrica, antisimmetrica, unitaria, ortogonale, hermitiana, antihermitiana, unitaria); sistemi lineari, rango, teorema di Rouchè-Capelli, teorema di Cramer, teorema delle orlate; spazi e sottospazi vettoriali, sottospazi affini (somma, forma parametrica e cartesiana, posizioni reciproche di sottospazi affini); rette e piani in R^2 e in R^3 (forme cartesiane e parametriche rispettive); prodotto scalare in R^n e in C^n, norma, ortogonalità, procedimento di Gram-Schimdt, disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, proiezioni e decomposizioni ortogonali; prodotto vettoriale, identità di Jacobi; numeri complessi (unità immaginaria, forma polare, esponenziale), logaritmo complesso, ortogonale ad un numero complesso, radici n-esime dell’unità, coniugato (somma e prodotto di coniugati), norma, fase, modulo, semplificazione di un numero complesso sotto radice quadrata; applicazione aggiunta, autoaggiunta, ortogonale; Teorema Spettrale nel caso reale e nel caso complesso, molteplicità algebrica e geometrica.
Vari esempi su: come trovare una base di uno spazio vettoriale; esibire la matrice di cambiamento di base tra due basi; studiare le posizioni reciproche tra due sottospazi affini e anche tra le loro giaciture; capire quando due sottospazi affini sono paralleli; posizioni reciproche tra una retta e un piano in R^3; divisione tra polinomi; applicazioni lineari con un parametro variabile (capire quante applicazioni esistono al variare del parametro).