Algebra Lineare e Geometria

Valerio Spagnoli

Ingegneria Informatica e Automatica

La Sapienza

Algebra Lineare

e

Geometria nel piano e nello spazio Skuola.net

-

valerio_spagnoli

Argomenti trattati:

Sistemi lineari e matrici;

• Spazi vettoriali;

• Applicazioni lineari;

• Geometria nel piano;

• Geometria nello spazio;

•

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E

LINEARI

SISTEMI MATRICI

LINEARI

SISTEMI dalla considerata

Guerra

nei è essere come

se un

può

caporione 1 b

termine

di noto

un

a

grado

polinomio uguagliato

di

sistema

Considerare considerare

un significa contemporaneamente

equazioni

più equazioni

DEF uno solusionereoCedunnindemadrlqnoaioni

neorieunan.p

che

reali

ordinata di alle

la sostituiti ordinatamente

numeri se Skuola.net

tutte

rende del

Xu le

v vere

incognite equiaroni

uguaglianze

sistema -

l'insieme

5 delle valerio_spagnoli

Il dice

Indichiamo soluzioni sistema si

con altrimenti

SE

colmano soluzione

commette

COMPATIBILE se una

dice 01

5

si INCOMPATIBILE b

termini di

tutti

se sistema

noti

DEF Guerre

i sono

un uguali

detto

è lineare

Dato

allora il sistema sistema

0 si

un

a può

omogeneo termini

sistema associato

costruire tutti i

un ponendo

sempre omogeneo

noti 0

a

juve b

click tanta

t

Ho Cuore

sistema

un bn

tanto

ami t tannino

X

dei

costruire associata

la untrice

Si completa

coefficienti o

può lei noti L

MATRICI i

motrice

Una definita elementi

cui

un

come insieme

essere

può interi matrice

Dai

ordinamento

un min

duplice positivi una

posseggono

di indicata

colonna viene

con con

m righe Qin

cuffie Onu

ami

dove elementi

gli a reali

numeri

sono

L'insieme delle elementi

motrici indicato

real è

min con

a detti A

I

R dimensioni di

Mmm men

numeri vengono Skuola.net

9 7L

eJefd sottoinsiemi di

di

DEF sono n e

im

matrice IEI

A jed Una

a min e

con

sia una -

da

A ottenuta

di A valerio_spagnoli

motrice

SOTTOMATRICE e una scegliendo

di A l'ordine

Olona colonne mantenendone

cocaine

righe di 5

K I sodomitica

H E

due sottoinsiemi

Ovvero e

siamo e Aiace

è i Il

ad 4 K jet

matrice

associata la aig c

e con

MATRICI QUADRATE

L'insieme Hulk

delle redid

matrici ordine nei indicato

quadrate con

c

oo La è

nulla

matrice strettamente infesip

tiong

Oss

A 2 0 e diagonale è

da solo

domotica elemento

formata un

3

0 Inf e

tiong crup doganale

L'ALGORITMO DI

ELIMINAZIONE GAUSS

Di

Il di Jordan sulle

di

metodo ammissibili

eliminazione Gauss operazioni

mille che

che mitici

essere quelle

ovvero

eseguita operazioni

possono matrice

volta trovare

una equivale a

una

fanno

applicata motrice

M

di Mn Nel Mara e

caso

quella patente

ad sistema lineare

ossociata le

aver applicato

dopo

un operazioni

ammissibili ottiene di

Encore

sistema patene

si quello

un a

che solenni

stesso

ho di

dalle

insieme di

lo quello partenza

Le commissibili i

sono

operazioni della

due motrice tra

1 Scambiare loro

righe Skuola.net

diverso da

2 reale X 0

numero

una

moltiplicare un

riga per

cioè della

elemento

moltiplicare dj

riga

ogni per -

valerio_spagnoli

tra loro

due

3 sommare righe Jordan

Il di

di eliminazione suddiviso

metodo in

essere

Gown può

due parti di

motrice

tranne ascolani

1 in

quello

una a potenza forma

equivocante di

matrice

tranne seconda quello

capitolanti a

z potenza

una ridotta

forma ascolani

in Il nulla

di

elemento da

diverso 0

Oss riga

una non

primo

detto

è pivot deve 2

notice condizioni

ascolani

Oss uno essere soddisfare

per nulle

tutte

1 di

di sotto

nulle al

sono

larghe non

quelle

poste

2 trova

nulla

Il alla

colonna

in

di

pilot si una

non

una riga delle

tutte

destra le contenenti

di righe

colonne pilot

i soprastanti

deve

ridotto

notice

uno due

ossi in scolai

forma soddisfare

o

condizioni deve

mitica

la

1 ascolani

essere l'unico

2 deve

deve 1 essere

pilot essere e

ogni a

uguale

della colonna

elemento nullo sua

non LE

DI MATRICI

OPERAZIONI BASE CON

DEF i

MATRICI

TRA

ADDIZIONE La

by dueundici

Be

A

Siani matrice

clip reali

e somma

non

da

di B matrice

Ae la non definite

e Skuola.net

by

A B a

matrici

Non dimensioni

e sommare

Oss possibile differenti

con -

valerio_spagnoli

tra

La di

ricondotta

motrici è 2cal

somma numeri

anonima

quindi

le

mantiene

e proprietà

seguenti VA

d At R

At

Associatività B

Btc Mun

te Bic

i e tale

0

2 R che

matrice

NEUTRO e

ESISTENZA ELEMENTO i Menu

una

FA

OTA

A A O notice

R nulla

diede ho

ci

to Mann

e

e e

tutti elementi

gli 0

yal a J A

A

3 fait

R

opposto E

Elemento

esistenza Mmm

a

A La

0

C

A

tale

ll A

A A

t C

che motrice è

c Mmm A

detta od

matrice opposta R

AD

4 A

B

At Bt

commutatività e Mmm

Def PER SCALARE

moltiplicazione UNO

MATRICE

notice

Sono Si

A la

reale definisce

e a

ma

g numero

uno un

la

di A matrice

motrice ottenuta

a

prodotto min moltiplicando

come

per

A

di

elemento X cioe

per

ogni A day tra

di matrice

Il riconduce al

sedere

una si

uno

prodotto prodotto

per le

reali mantiene i

numeri e proprietà

quindi seguenti B

5 Ata

DISTRIBUTIVITÀ AtB

ALLA X

DI matrici a

RISPETTO SOMMA

V taek

R

AB Mmm

e B BA

At

A

6 d

Distenditività t

ALLA DI SCALARI

RISPETTO SOMMA Skuola.net

fa

HAE Bene

Mmm HAE

7 ndr

fa Min

BA Bene

A

Xp X

COMPATIBILITÀ DEL pensato -

valerio_spagnoli

tt R

Ae Min

1 A

A

8 neutro

Elemento

esistenza VA

9 ti Ae ER

A R

0 NO

PER Mmm

PRODOTTO L'ELEMENTO NEUTRO VA ll

A

A

l

10 COMPATIBILITÀ Mmm

OPPOSTO E

ELEMENTO

Le le

due di

strutturali vettoriale

uno

definite sono spazio

operazioni operazioni

le

che otto

In le costituiscono

opinioni proprietà riportate

prime

verificano

generale della di vettoriale

astratta

essenziale definizione

una parte spazio

R delle

dotato

l'insieme due

Quindi Mmm l'uno

precedenti operation spazio

reale

vehicle lo lo

Le 9 lo

mentre

8 si

sono

Oss e

proprietà indipendenti

prime possono

dalle oltre

ottenere La

A notice

Sia reale

Def motrice

min

TRASPOSTA uno TRASPOSTA

clip

data da

A

di notice

lo non

e At aji

A

di

cioe ottenuta colonna viceversa

e come o

una

prendendo riga

ogni A detta

notice di è

ordine

Uno

Def Antisovietica

simmetria n

E quadrata Ate A

A

À detta In

ed di

è termini

Antisimmetrica

simmetrica se

se motrice ed

elementi è

è simmetrica aji.fi 1,2 n

a j

se

uno

antisimmetrica ajitti.jo 1,2

se aije h

Una matrice nè nè

simmetrica ontisimmeh.ca

ossi non essere

non può

quadrato Skuola.net

indica simmetrica

simmetrica

ossi uno alla

e rispetto diagonaleprincipale

ho

induce

ossi la

Uno della

condisommetica diagonale principale -

valerio_spagnoli

L'unico la nulla

motrice che

08 motrice

simmetrica è

contraimmetica

sia

delle Snk

L'insieme motrici indicato

simmetriche

real quelle

e con

An Hull

R di

antisimmatiche sottoinsiemi

entrambi

con A di

notice in

ordine modo

Teo n si scrivere unico

ogni quadrata può

di Esse

motricesimmetria date

ed antistumetica

come somma una sono

una At

dalle At A

At

motrici e

rispettivamente AI

CATAN A A

t

moltiplicazioni TRA MATRICI

A Bo

reale hjk matrice

matrice

sia reale

Def e

min

Aig una una

lo notice

esiste

allora elementi

fu Cir

i

n cui

Gp

xp prodotto

doA

la B

di

la K

considerando i colonna gli

si riga moltiplicando

ottengono tali In

elementi sommando

e formule

prodotti

corrispondenti È aiabtktaizbzkt.it tank

Qin

ciao Qijbjk

delta

Tale e MATERIALE

PRODOTTO

operazione

È A B

matriciale il

calcolare

055 solo

il se numero

e se

possibile prodotto

della matrice della

di di

colonna al seconda

e numero righe

uguale

prima Skuola.net

motrice commutativa

matriciale

Oss Il e

non

prodotto -

valerio_spagnoli

Il le

colonna

righe soddisfa proprietà

prodotto seguenti

per VA B

R

Associatività AB VR

1 c

A BC Mnp

mmm e

e

C e quel

e Mp

2 AC

A AB

Btc

ALLA

A DESTRA

DISTRIBUTIVITÀ somma t

RISPETTO

V A nel

RI tt B

e CE Mnp

mmm Act

At BC

B

3 ALLA

A

DISTRIBUTIVITÀ somma

RISPETTO

SINISTRA

AB

V Numtel V CE RI

e Mnp ti

AH

4 B B Be

AB Ag R ER

A ll Mnp

Mmm a

Lo di

notice

DEF G

identita ordine

MATRICE notice

e

IDENTITÀ n quadrata

che

di tutti sulla

ho

ordine elementi

gli

n uguali

principale

diagonale

diagonale

1 Ichi

Essa indicata

è

a con tutti

ho

matrice che sulla

una elementi

Oss gli

doganale diagonale principale

detta matrice salire

è

ugual

La della identità è

matrice

fondamentale

proprietà tl

A A

Icm

AIG R

Ae mmm

A intero

Dato matrice

DIUNA e numero

Def una

MATRICE

POTENZA quadrata un

la

è di matrice

definire

k ricorsivamente

non una

possibile potenza

negativo I

Ao

nel modo

seguente Zoo

AA

A K e

con Skuola.net

di

A che

Una

1 matrice ordine elevata

n

Oss a una

quadrata qualche

potenza

detta

dia la è

nulla

k matrice Nilpotent ORDINE

Di K

positiva -

tale

di

A A HK

mitica valerio_spagnoli

che A

2 ordine intero

una e

n

quadrata positivo

della idem

POTENTE A

notice di dice invertibile

ordine

uno

DEF inversa n

matrice se

si

quadrata tale ABEBA

13 dello

matrice

esiste che Jen

stesso ordine

una quadrata

B A

A

della

In tal di

motrice indica con

e

inversa

e

caso si

1 Solo le invertibili

matrici

Oss sono

quadrate

Se motrice

esiste inversa

2 la unica

e

questa

La identità lo è stessa

matrice invertibile inversa

3 sé

e sia

e a

uguale CÀ A

Ae ci invertibile

A

Mu

1

prop anche

allora

Se invertibile e

e

A A

ci

Male

Se anche

allora che

c lo

inoltre

invertibile

2 invertibile

ci si

e

1

F A

ABE A

Hull

Se 13

allora il

anche

invertibili lo inoltre

3 sono e

prodotto

È

ABI

lo che A

si L'insieme delle 2cal R

è G

invertibili Ln

di indicato

ordine

motrici

Oss n con

che G che

Luce dato il

al

Dato è di

chiuso motrici e prodotto

prodotto

rispetto

Gluck che

è In Gluck l'inversa

associativo che C elemento commette

e ogni

di

Lulla

G

GLuce è lineare

matriciale

in un

prodotto

con l'operazione gruppo

di

reale ordine n

generale A E AI

Una matrice detto A

Def invertibile è

Un ORTOGONALE se

E

À ATA

A fini

cioè e

se Skuola.net

Once

di

matrici

L'insieme delle reti è indicato

ossi ordine n con

ortogonali -

Gluck valerio_spagnoli

di

sottoinsieme

Esso e e

un un sottogruppo

TRACCIA E RANGO

DETERMINANTE La

A di traccia

Sia

DEF traccia matrice n

ordine

ai una quadrata

dei

di sulla

A è cioè

la elementi

somma suoi diagonale principale

È

Tr A iieantazzt.i.tann

La traccia le

soddisfa proprietà

seguenti

Tr K LR

IR

fa

Talon A Ae Min

1 a e Muta

HA.BE

At B

Ti

Ti Ti A

b

2 V A Hulk

LA

Te Talal

3 e Tr

Tr

Tal BCA

4 CAB

ABC cavo

via

vai Skuola.net

Di

DEF Ricorsiva DETERMINANTE -

dat

A A valerio_spagnoli

Se a

a n

EHI dat

dat

lait A

Ai a

Se Aiip

i e la

A

da

la ottenuta

matrice

Aiip e i

dove lo colonna

e j

riga

togliendo

lo alla

La colonna

LAPLACE

sviluppo DI f

e

formula precedente rispetto DI

SVILUPPO

E

dat lAlij

aij.de

te

A LAPLACE

i e

Lo colonna

di e

J

una

fissando

Laplace si

sviluppo applica applicando

la formula sopra

Può anche i

una

essere fissando riga

eseguito

Il solo matrici

determinate calcolato su

essere quadrate

ossi può ad be

dat A

Sia A

282

Def DETERMINATE MATRICI sia

3 3 Salas

REGOLA

Def Di

DETERMINATE MATRICI t

t

b b

a a

e Io

I e

4 i h

g g

i bdi

h afh

dettate aeitbfgi.co ceg

Il ha le

determinante proprietà

seguenti FA

del At

del

La Nn

determinante A

il

1 e

cambia

non

trasposizione

A è

Se allora

2 a DIAGONALE

triangolare O

inferiore superiore Skuola.net

dat A ann

an.am

aii

i il

della

tra duerighe

3 due

Scambiando loro motrice

colonne o -

valerio_spagnoli

di

determinante cambia segno

4 il determinante

colonna scolare

una

o

una

Moltiplicando riga una

per A taek

A

detta dat HAE

Mu

viene a

moltiplicato per

Se

5 ha

la di nulli

motrice colonna colonne

due

elementi

una o uguali

Lo

due WE

determinante

il stesso

0

voce

colera

colonne

o proporzionali

In

lerighe linearmente

colonne

sono

se o

ci

generale righe

per wee 0

determinante

il

dipendenti il

6 un'altra determinante

Se colonna di il

una

somma

si multiplo

a

Lo WE

stesso le

cambia

non righe

per dat f Aib

del RI

LAB B Mn

detta

7 Binet

teorema e

di della A

8 di

del

A

Il di il determinante

determinante motrice inversa e reciproco

detta HAE Male

i

detta

È di

cd

il di

il

determinante metodo elminosione

calcolare

Oss possibile renderlo

matrice scalmi

padre

infatti una a

Gunn a triangolare

equivale

rendere i

Poiche è e

1

necessario pilot poiché

non a

ergere

superiore di

ci inviate

il determinante sommare una

all'operazione

rispetto riga

di

al nel

solo

deve ottenerne

un'altra scambiano

caso

si si

prestare

multiplo

tra loro

righe A

A di

notice è

di il

sia Un minore

ordine min

MINORE

Isef uno A

di L'ordine

di sottonatrice di

determinante e

minore

un

quadrata

uno

della sottomarca

l'ordine quadrata corrispondente Skuola.net

A di

Sia Il

nutrice h

Def ordine MINORE

COFATTORE ay una quadrata

di è

A della

di il determinante

complementare elemento sottandrice

un a -

valerio_spagnoli

do

di A

Acp eliminando

ottenuta

e sdtomoh.ee