Algebra lineare e Geometria

STRUTTURE ALGEBRICHE:

Sia G un insieme non vuoto.

Si dice operazione interna definita in G un'applicazione:

G x G -> G

(a, b) -> σ(a, b) = a σ b

(G, σ) è una struttura algebrica.

G è il sostegno della struttura.

Un elemento u ∈ G si dirà elemento neutro rispetto ad a se

a σ u = u σ a ∀ a ∈ G

Se esiste, l'elemento neutro è unico.

Se esiste l'elemento neutro allora l'elemento a si dirà invertibile tramite l'operazione σ se ∃ a' ∈ G:

a' σ a = a σ a' = u

Ovvero esiste un elemento a' che, tramite l'operazione, restituisce l'elemento neutro.

L'operazione σ si dirà associativa se:

a σ (b σ c) = (a σ b) σ c ∀ a, b, c ∈ G

L'operazione σ si dirà commutativa se:

a σ b = b σ a ∀ a, b ∈ G

STRUTTURE ALGEBRICHE:

Sia G un insieme non vuoto.Si dice operazione interna definita in G un'applicazione:

G × G → G(a, b) → σ(a, b) = a σ b

(G, σ) è una struttura algebrica.G è il sostegno della struttura.Un elemento u ∈ G si dirà elemento neutro rispetto ad a se

a σ u = u σ a       ∀ a ∈ G

Se esiste, l'elemento neutro è unico.Se esiste l'elemento neutro allora l'elemento a si dirà invertibile tramite l'operazione σ se ∃ a' ∈ G:

a' σ a = a σ a' = u

Ovvero esiste un elemento a' che, tramite l'operazione, restituisce l'elemento neutro.L'operazione σ si dirà associativa se:

a σ (b σ e) = (a σ b) σ e       ∀ a, b, e ∈ GL'operazione σ si dirà commutativa se:

a σ b = b σ a       ∀ a, b ∈ G

Una struttura algebrica (G, ⨁), essa si definisce gruppo se:

• ⨁ è associativa.
• Esiste in G l'elemento neutro.
• Esiste in G il simmetrico di a, ∀a ∈ G.

Gruppo Abeliano:

Un gruppo abeliano è un gruppo in cui ⨁ è commutativa.

Quindi:

Un gruppo abeliano è un gruppo, ovvero:

• (G, ⨁) struttura algebrica
• ⨁ è associativa
• Esiste l'elemento neutro
• Ogni elemento di G è simmetrizzabile
• ⨁ è commutativa

Legge di cancellazione a destra e a sinistra:

Valida per i gruppi:

• a ⨁ e = a ⨁ b ⇒ b = e
• b ⨁ a = c ⨁ a ⇒ b = e

Anelli:

Sia G ≠ Ø, siano +, ∘, due operazioni interne (G, +, ∘) si dice anello se:

• (G, +) è un gruppo abeliano
• ∘ è associativa
• ∘ è distributiva rispetto alle somme (+)

CAMPI:

un anello (G,+) è un campo se

• • · è commutativa
• • esiste l’elemento neutro rispetto a ·
• • esiste l’inverso di ogni a ∈ G tale che:

      ∀a ∈ G - {0} : ∃a'^-1 : a' · a = 1

in un campo vale la legge di annullamento del prodotto

        a · b = 0 ↔ a = 0 oppure b = 0

Esempi di gruppi abeliani:

• (Q,+)
• (R,+)
• (R - {0}, · )
• (Z - {0}, · )

  O si chiude poiché non è simmetrizabile

  riguardo per il prodotto

     a · a' = 1   se a ≠ 0

     a · a' = 0   O non simmetrizzabile.

MATRICI:

Si definisce matrice una tabella a doppia entrata con m righe e n colonne.

A ∈ M_m,n(k)

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1na₂₁ ...a_m1 ... a_mn )

MATRICE TRASPOSTA:

Data una matrice possiamo costruirne la sua trasposta invertendo righe con colonne. (Se dopo la trasposizione si ottiene la stessa matrice, essa è simmetrica.)

A^t = trasposta di A ⇒ (b_ij) = (a_ji)

MATRICE QUADRATA:

si parla di matrice quadrata quando m = n, quindi abbiamo lo stesso numero di righe e di colonne.

Gli elementi di una matrice quadrata per cui i = j si dicono appartenenti alla diagonale.

MATRICE DIAGONALE:

E' una matrice che ha tutti 0 nei posti che non sono la diagonale.

Esempio:

A = (1 0 00 2 00 0 3) in generale i ≠ j a_ij = 0

MATRICI TRIANGOLARI:

Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se a_ij = 0 per i > j

una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per i < j

Operazioni tra matrici

Somma:

Date due matrici A=(a_ij) e B=(b_ij) entrambe appartenenti a...

definiamo so