Algebra lineare e Geometria

STRUTTURE ALGEBRICHE:

Sia G un insieme non vuoto.

Si dice operazione interna definita in G un'applicazione:

G x G → G

(a,b) → σ(a,b) = aσb

(G,σ) è una struttura algebrica.

G si dice sostegno della struttura.

Un elemento u ∈ G si dice elemento neutro rispetto ad a se

aσu = uσa ∀a ∈ G

Se esiste, l'elemento neutro è unico.

Se esiste l'elemento neutro allora l'elemento a si dice invertibile

tramite l'operazione σ ﹤=>﹥ ∃a^^-1 ∈ G:

a^^-1σa = aσa^^-1 = u

Ovvero esiste un elemento a che, tramite l'operazione, restituisce

l'elemento neutro.

L'operazione σ si dice associativa se:

aσ(bσc) = (aσb)σe ∀(a,b) ∈ G

L'operazione σ si dice commutativa se:

aσb = bσa ∀a,b ∈ G

Una struttura algebrica (G, ◦), essa si definisce GRUPPO se:

• ◦ è associativa;
• esiste in G l'elemento neutro;
• esiste in G il simmetrico di a, ∀a ∈ G.

GRUPPO ABELIANO:

Un gruppo abeliano è un gruppo in cui ◦ è commutativa.

Quindi:

un gruppo abeliano è un gruppo ovvero:

• (G, ◦) struttura algebrica
• ◦ è associativa
• esiste l'elemento neutro
• ogni elemento di G è simmetrizzabile
• ◦ è commutativa

LEGGE DI CANCELLAZIONE A DESTRA E A SINISTRA:

valida per i gruppi:

• a ◦ e = a ◦ b ⇒ b = e.
• b ◦ a = c ◦ a ⇒ b = e.

ANELLI:

Sia G ≠ ∅, siano +, ◦ due operazioni interne (G, +, ◦) si dice ANELLO se:

• (G, +) è un gruppo abeliano
• ◦ è associativa
• ◦ è distributiva rispetto alla somma (+)

PRODOTTO TRA MATRICI (prodotto righe x colonne)

il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda

A/B            A ∈ M_1n(k)            B ∈ M_n1(k)

A = |a₁ a₂ ... a_n|

B = |b₁b₂b_n|

D = A.B = (a₁.b₁) + (a₂.b₂) + ... (a_n.b_n)

D = d_ij = ∑_{h = 1}ⁿ a_ij b_hj

dimensioni nuova matrice:

la matrice risultante avrà il numero di righe di A, e di colonne di B.

Esempio:

A = |^-1   2| ∈ M_{3 2}(R)

      |³  0|

      |^2  -4|

B = |^{1     -1}| ∈ M_{2 2}(R)

       |  1     0|

A.B = D ∈ M_{3 2}(R)

D = |(-1.1) + (2.1)     (-1.2) + (2.0)|

      |(3.1) + (0.1)      (3.1) + (0.0)|

      |(2.1) + (-4.1)    (2.-1) + (-4.0)|

D = |  1      1|

      |  3     -3|

      |^-2     -2|

AB ≠ BA non c’è commutatività se A ∈ M_mn(k)

A. I_mp(k) = A

I_mp A(k) = A

I elemento neutro: (disco a destra e a sinistra)

Se un minore di ordine p non nullo di A ∈ M_mn(ℝ), se tutti i minori di ordine p + 1 che contiene p sono nulli, allora il rango di A è p.

Matrice a scalini:

Se A ∈ M_mn(ℝ) non nulla, si definisce a scalini se:

• una riga è nulla, tutte le successive sono nulle.
• Il primo elemento non nullo di una riga, detto pivot, è sempre nella colonna del primo elemento non nullo della riga precedente (il successivo pivot).

Matrice a scalini ridotta:

• è già a scalini
• tutti i pivot sono 1.
• sopra i pivot ci sono solo zeri

Algoritmo di Gauss (per ridurre a scalini):

i > 1

• r_i - elemento da azzerare / pivot riga precedente · x_j precedente → r_j.

Matrice identità:

I ∈ M_n(k)

• tale che
• definita da Kronecker δ_ij (delta di Kronecker)

SPAZI VETTORIALI

Sia V un insieme non nullo di un campo k

V ≠ ∅

∃ V = {0} e il più piccolo spazio vettoriale

In un V generico definiamo l'operazione somma e prodotto.

Somma: V x V ➔ V

(u,v) ➔ u + v   ∀ u,v ∈ V

Prodotto: k ∈ k   u ∈ V

h . u = hu ∈ V

k x V ➔ V

Lo chiamiamo (V, +) n-di spazio vettoriale sul campo K se:

1. u + v = v + u   Proprietà Commutativa
2. u + (v + w) = (u + v) + w   Proprietà Associativa
3. ∃ 0 ∈ V : u + 0 = 0 + u = u   Elemento Neutro
4. ∃ -u ∈ V : u + (-u) = (-u) + u = 0   Simmetrico

(V, +) è un gruppo abeliano

1. λ (u + v) = λu + λv   Distributività
2. (λ + μ) u = λu + μu   Distributività
3. (λμ) u = λ (μu)   Commutatività
4. ∃ 1 ∈ K : 1u = u ∀ u ∈ V   Elemento Neutro

TEOREMA DELLA BASE:

Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di vettori.

Siano

B = {u₁ .. u_n} e B' = {v₁ .. v_m} basi dello spazio vettoriale V

Dimostriamo che

n = m

B base di V allora genera B' poiché B ⊆ V

Se si poggessse B' e n < m, per il lemma di Steinitz allora B' linearmente dipendente che va contro la definizione di base

Il numero di vettori di B' è

n ≥ m

Allo stesso modo se B' genera V allora genera anche B ⊆ V ma se m < n allora B linearmente dipendente che va contro la definizione di base

n ≥ m

Da cui

n ≤ m ed n ≥ m

Allora

n = m

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:

(u·v)² ≤ (u·u)(v·v)

Dimostrazione:

(v-u)² ed (u·v) sono reali

(v·v)u - (u·v)v = 0

0 ≤ (v·v)[(u·u) - (u·v)u][(v·v)u - (u·v)v]

u·u) = (v·v) - (u·v)

(v·v)²(u·u) - (v·v)(u·v)²

(v·v)²(u·u) - (v·v)(u·v)^{2 0}

da qui:

(u·v)² ≤ (v·v)(u·u)

Omomorfismi (Applicazioni lineari)

f: V → V'

V, V' sono spazi vettoriali su k

z, w ∈ V

• f(z + w) = f(z) + f(w) ovvero che l'immagine delle somme è uguale alla somma delle immagini
• f(h * u) = h * f(u)

ossia:

f(h * u + h * v) = h * f(u) + h * f(v)

Definizione di Nucleo e di Immagine

Nucleo e immagine sono entrambi spazi vettoriali.

Ker f = nucleo di f = {u ∈ V | f(u) = 0} a cui appartiene sempre il vettore nullo.

Im f = immagine di f = {v ∈ V' | ∃u ∈ V : f(u) = v} a cui appartiene sempre il vettore nullo.

• f iniettiva ⇒ ker f = {0} : dim ker f = 0
• f suriettiva ⇒ V' = Im f = dim Im f = V'
• f biettiva ⇒ via iniettività e suriettività

dim V = dim ker f + dim Im f

dim V = 0 + dim V'

dim V = dim V'