Algebra e geometria - strutture algebriche e sottogruppi

Strutture algebriche

Algebra è una branca della matematica che studia strutture come gruppi, anelli, campi e spazi vettoriali. In questa sezione, esploreremo alcune delle principali strutture algebriche.

Monoide e gruppo

Una struttura algebrica (S, *) è un monoide se è associativa e se esiste un elemento neutro. Un gruppo è un monoide dove ogni elemento è simmetrizzabile.

Esempi di monoidi:

• (ℕ, +)
• (ℤ, +)
• Il monoide delle parole su un alfabeto A, (A*, .)

Esempi di gruppi:

• (ℤ, +)
• Il gruppo delle permutazioni, AB = (B, o), dove {f | f biettiva} ∈ A_idA e a ∈ A → a ∈ A è l'elemento neutro di (B, o)

Se f ∈ B, allora f è tale che f^-1 o f o f^-1 = idA ⇒ (B, o) è un gruppo. Se A è finito, B si chiama gruppo di permutazioni.

Notazione e operazioni

Notazione moltiplicativa:

• Operazione: *
• Elemento neutro: 1
• Simmetrico: x^-1

Notazione additiva:

• Operazione: +
• Elemento neutro: O
• Simmetrico: -x

In genere si usa (G, *) ma se il gruppo è commutativo si usa (G, +).

Sottogruppi

Sia (G, *) un gruppo. H ⊆ G è un sottogruppo di G se:

• Per ogni x, y ∈ H ⇒ x * y ∈ H (chiusura)
• Se x ∈ H ⇒ x^-1 ∈ H
• 1 ∈ H

Esempio:

• ℤ₂ è un sottogruppo di ℤ? Sì, perché ℤ₂ è chiuso sotto l'operazione di addizione e include l'elemento neutro 0.
• ℤ⁺ è un sottogruppo di ℤ? No, perché ℤ⁺ non include l'elemento neutro 0 e la somma di due numeri dispari non è dispari.

Esercizio:

Verificare se {z ∈ ℤ | |z| ≤ 10} è un sottogruppo di (ℤ, +).

Esempi di gruppi e sottogruppi

Esempio 1: ℤ₄ = {[0]₄, [1]₄, [2]₄, [3]₄}

• [2]₄ + [3]₄ = [5]₄ = [1]₄
• [1]₄ + [-1] = [0]₄
• [-1]₄ = [3]₄ - 1 = 4*(-1) + 3
• [-2]₄ = [2]₄

{[0]₄, [2]₄} è un sottogruppo di ℤ₄.

Esempio 2: (ℤ₃, *) è un gruppo:

{[1]₃, [2]₃} è un sottogruppo di (ℤ₃, {o}, *).

Esempio: GL₂(ℝ) è il gruppo delle matrici 2x2 invertibili.

• Operazione righe per colonne:
• (1 2) * (3 0) = (3 + 2)