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Algebra e geometria - strutture algebriche e sottogruppi

Appunti di Algebra e geometria per l’esame della professoressa Gerla. Gli argomenti trattati sono i seguenti: strutture algebriche e sottogruppi, monoide se esiste l'elemento neutro, gruppo se è un monoide e inoltre ogni elemento è simmetrizzabile, elemento neutro.

Esame di Algebra e Geometria docente Prof. B. Gerla

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In genere si usa (G,*) però

se il gruppo è commutativo

si usa (G,+)

Def. sia (G,*) un gruppo

H

e ⊆G

H è SOTTOGRUPPO di G se:

x , y => x∗ y∈H

se ∈H

– (chiusura) −1

se x => H H

– ∈H ∈

1∈H

– ( ,+ )

Esempio ℤ

2 è un sottogruppo ?

ℤ⊆ℤ o∈2

Elemento neutro ℤ

– simmetrico

– 2h , 2k∈2

se ℤ

2h + 2k = 2 (h + k) ∈2 ℤ

2 un sottogruppo

SI ℤè

2 1insieme dei numeri dispari

Es. ℤ+ ,+) ?

è un sottogruppo di ( ℤ

2

NO perchè O ∈ ℤ+1

inoltre la somma di due numeri dispari non è dispari

3 è sottogruppo ?

Esercizio ℤ

{ z | }è sottogruppo ?

∈ ℤ| ℤ|≤10

( 4,+)

Esempio ℤ

4={ [0]4,[1]4,[2]4,[3]4}

[2]4 + [3]4 = [5]4 = [1]4

[1]4 + [-1] = [0]4

[-1]4 = [3]4 -1 = 4*(-1) + 3

[-2]4 = [2]4 4 è un sottogruppo

{[0]4, [2]4} ⊆ℤ

{[0]4,[1]4,[3]4} è un sottogruppo?

H

[1]4 + [1]4 = [2]4 ∉

=> H NON è un sottogruppo

3={[0]3, }

Es. ℤ [1]3,[2]3

3,∗) è un gruppo

( ℤ 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

{[1]3, [2]3}

{[1]3} è un sottogruppo

3, {o} ,∗)

di { ℤ

{[2]3} non è un sottogruppo

3, {o} ,∗)

di ( ℤ

In genere H sottogruppo di G H ≤G

– G≤G per ogni gruppo (G,*)

– {1G <= G (l'elemento neutro è sempre un sottogruppo)

– H3 , H2≤G∈genere

se

– H1∪H2 !⊆G

Es. R )

{ (a b) | a,b,c,d } GL2(

∈ ℝ

(c d) ad – bc ∉0

(m,*) * operazione righe per colonne

(1 2) * (3 0) = (3 +2 1=0+2)

(0 1) (1 1) = (1 1)

= (5 2)

(1 1)


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AUTORE

koganzjo

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher koganzjo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Insubria Como Varese - Uninsubria o del prof Gerla Brunella.

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