Algebra e Geometria - Spiegazione delle Tipologie di esercizi

O O

1 - -

- -

det(A) O 2 6

12 12

O 4 1

O O O O

- -

12 3

metodo) Sistemi lineari al variare di

1 kER

o +

2 ky 2

x =

kx+2y=k

{ ky+kz=k 2 k O)

1) b=(D -k(k2

( det(A) = - 4)

A k 2 O

= O k k

k(k2

2) - - 4) = O ~ trovo le 'radici' ~ k=0,2,-2

Sappiamo quindi che il sistema ammette una sola soluzione quando k 0,2,-2

1=

1 (2 k -k (2)

O))

2

(

3) L'unica soluzione è data da A-lb = - k(k2 _ 4) ~~2 !/k 4~ k ~ =

2

1 ( 4 k - k (1)

3 )

2 20

- k(k - 4) 2 k2 _ 2 k + 4 k _ k = L

3

4) Restano da studiare i casi k = 0,2, -2 nei quali il sistema può ammettere o no soluzioni.

G) è \fk

però, soluzione del sistema R (compresi k 0,2, -2)

=

E

G) G)

+

è

Ogni altra soluzione quindi del tipo: = (~)

a) a

{2 k b O

+ =

( b è soluzione del sistema omogeneo associato ad cioè: k a + 2 b = O

A,

c kb+kc=O

5) Sostituiamo i 3 valori di k nel sistema, e otteniemo le rimanenti tre soluzioni generali:

1: k = O ~ a = O, b = O, c E = ( ~ )

R ~ (~ : ~)

l+c l+c

l-b) (l-b)

2: k = 2 ~ a = -b, bER, c = -b ~ 0+ b = b

( l-b l-b

1 b) (1 b)

+ +

(

3: k = -2 ~ a = b, bER, c = -b ~ 0+ b = b

l-b l-b

metodo) Sistemi lineari al variare di k

2 R

0 E

+ +

3 x 2 Y k z 11

=

2x-6y-3z=0

{ kx+4y+2z=7

11) (3 2 k ) 2

b = ~ A= ~ ~6 -;3 det(A) = 6 k + 2 k - 8

( 4

k2 k 1

6 + 2 k - 8 ~ trovo le 'radici' ~ = -- 3' 4

k 1

il 1= --

Sappiamo quindi che sistema ammette una sola soluzione quando 3'

L'unica soluzione è data da A-lb = ... (calcolare collo Metodo)

4 il

Restano da studiare i casi k = -"3,1 nei quali sistema può ammettere o no soluzioni.

3X+2 +Z=11

Y

x - z

1: k 1 ~ 2 6 Y- 3 O

= =

{ x+4y+2z=7

+ x - z

(III) (II) 3 2 Y - 7

= =

(III) + (II) + (I) = 6 x = 18 ~ x= 3

Sostituisco la x trovata in (III) e (II):

(III) = 3 + 4 Y + 2 z = 7 ., 3 + 4 Y+ 2 z = 7 cioè 4y+2z=4

ClOe

(II) = 6 - 6 Y - 3 z = O 4 - 4 Y- 2 z = O

Y ~

z = 2- 2 z dipende da y R

E

~ ) è soluzione.

( 2-2y 4z

3x+2y--=11 +

3 x z

9 6 Y - 4 33 ( I )

=

2x-6y-3z=0 2x-6y-3z=0 II

{

4x -4 x + 12 Y + 6 z = 21 III

--+4y+2z=7

3

+

(I) - (II) 7 12 Y- z 33

= x =

(I) - (II) - (III) = llx - 7 z = 12

(I) + (II) = llx-7z = 33

4

Con k = -"3 non esistono soluzioni.

Metodo di Gauss (con "specifiche"): Xl + x2 + 2 x3 + x4 = t

m = 4 equazioni 2 Xl + 2 X2+ 3 X3+ 3 x~ - Xs = -t

Sistema lineare con n = 5 incognite Xl + 2 X2+ 3 X4- 2 Xs - t

{ Xl + X2+ 3 X3+ 5 Xs = -t

Al variare di t E R ~1)

t) (1 1 2 1

b A 2 2 3 3

= =

-t

t -2

1 2 O 3

( 1 1 3 O 5

-t o 1 1 1 1

2 2

O t) O t)

-1 -1 -1

-t -3t

1

2 3 3 O

C

(II) = (II) - 2 (I)

(Alb) = -2 t -2 t

O 3 O 3

2 2

5 -t 5 -t

1 1

3 O 3 O

1 1

2 O t)

-1

-1 -3t

1

O ~ (II) (III)

(III) = (III) - (I) (IV) = (IV) - (I)

O H

-2 2 -2 O

1 5 -t

1 3 O

t) t)

1 1 1 1

2 2

O O

-2 -2 O -2

1 1 -2 O

2 2

+

(IV) = (IV) (III)

G G

-1 -1

-1

-3t -3t

-1 1 1

O O

-1 5 -2 t 4 -5 t

1

O O O O

~ 1

3 soluzioni dipendenti da n - r = variabili.

Forma ridotta con r= m = 4

Troviamo le soluzioni: 5

4 -5 t ~ t

= = - -

Xs Xs 4 5

"4

+ + +

= -3 t ~ t = -3 t ~

X4, X3 : - X3 X4 - Xs -X3 X4

17 5

2 "2

+

= 2 t - 2 t = 6t ~ = 6t

X2: X2 X4 X4 - X2

17 27 27

2 2

+ -3 t

=

= -6 t - 2 t- t = - t- 3 Xl X4 - -

Xl: Xl X4 - X4 X4 ~ 2

27

-3 t

X - -

4 2

6t 17

+-

La soluzione è: t

X 4 4

X4

5

--t

4

Teorema di Rouché Capelli a-l)

O a

Sia Aa M (R) la matrice Aa = a- 2 1 2a- 2

E 3,3 ( O 1 2

rg(Aa) il

Determinare al variare di a R e per quali b sistema

= (::)

E

Ax = b ha soluzione.

a (a - a-

a-l

O b 2 1 2 2 b

l) 2)

(Aalb) = a- 2 1 2a- 2 b O 1 2 b,

~

2

( a-l

a

O 1 2 b O b

3 l

a = O: Aa è triangolare superiore e det A, = (-2)' 1· (-1) O

1=

rg(Aa) = 3 (poichè det A, O)

1=

{ rg(Aalb) = 3 (poichè rg(Aalb) ;::::

rg(Aa) e rg(Aalb) :::;numero righe di Aalb = 3)

La soluzione esiste ed è unica (indipendendte da b)

(II) (II) - (I)

a = 2: allora =

(III) (III) - 2(1) ~ (II) (III)

= H

2

rg(Aa) = {2

r (A Ib) = se b = b

3 2

{ g 3 se b , b

1=

a 2

b,

Ha soluzione se e solo se = b 2

a - 2 1 2a- 2 b 2)

a 0,2: O 1 2 b, (III) (III) - a (II)

=

1= ( O a a-l b l

r (A ) {3 se a -1

= 1=

g 2 se a 1

=

a _ {3 se a -1 (indipendente da b) _

1= {2 +

b

rg(Aal ) - _ -1 Il b b se b; b O

3 -

+ +

se a - a ora 3 se b b, O

1=

1 3 l

- Il sistema ha soluzioni per:

a = O b qualunque

a 2 b , b

= = 2

+

a -1 b b , O

= =

l

a 0,2, -1 b qualunque

1=

- Trovare le varie soluzioni ...

Esercizio - matrice invertibile

Trovare una matrice A (K) e b (K) T. C. Ax = b ha soluzioni ma

E Mn,n E Mn,l

Nx = b non ha soluzioni.

Poniamo: b = (~)

A = (~ ~)

lO metodo) O 1 O) O O O)

(A'[b) = O O 1 ha rango 2 (A'[b) = 1 O 1 ha rango 1

( (

Hanno rango diverso quindi Nx = b non ha soluzioni.

2 metodo)

0

Ax=b x = 1, Y variabile libera

H y O

=

Nx=b O = 1 che non ha soluzione

{

Esercizio - sottospazi vettoriali (dim, basi, completamento)

4:

Dati i seguenti sottospazi vettoriali di R

U span{GHD,(~~)} V spanro).(D.(D}

= =

1 - calcolare dimU, dim V e trovare delle basi di U e V

) Partiamo con U: (D (D

Per vettori sono un sistema di

i

definizione µ, µ, µ3

= = = (~~)

generatori per lo spazio vettoriale U (non è detto che siani linoindip).

µ3 µZ - µl dice che U Span{ µz} ( { µz} sistema generatori per U)

= ci = µv µv

Dobbiamo dimostrare che i vettori sono linearmente indipendenti; supponiamo:

2) (1) ( 2a + ~ ) (O) { 2a + ~ = O

g

a µl + ~ µz = O H a ~ + ~ ~ = a~ ~ = ~ H ~ ~ = O

( 3 4 3a + 4~ O 3a + 4~ = O

a O, ~ O

= =

H

Quindi µz} base di U con dim U 2

{µv = {O),

(1)}

) Stesso procedimento con V e si ottiene che: base di V dim V 2

=

n 4:

2 - Trovare una base di U V e completarla a base di R

4 n

x X H y, 8 C. x = a µl + ~ µz = 8 Vl + 8 Vz ~

R U V 3a,~, R T.

E E E

+ ~ Y 8 O

a µl µz - Vl - Vz =

Dobbiamo trovare le soluzioni del sistema lineare omogeneo: 1 O -3

1 -1

2a+~-Y-28=0 (2 -2)

a - 3y - 48 = O A = 1 O - 3 -4 A O 1 O

=

Gauss

a + ~ - 3y - 38 = O 1 1 -3 -3 O O 5

(

{ O O O

3a + 4~ - Y = O 3 4 -1 O

y =-8 le soluzioni sono quindi date da: (~~)

~ =-8 8 R

E

{ a = 3y + 48 = 8 (-m

(D - (D) (D)

+ +

x 8( 8(- v, v,) 8 ( 8

µ, - µ,)

= = = =

x (JJ ~ unv span{(JJ} ~ dimUnV

8 1

= = =

{(JJ,

4 Wl, W2, W3} ~

Vogliamo completarla ad una base di R ottenendo:

bisogna verificare che questo sia un sistema di generatori e che siano linoindip.

4: {II (D'13 m'14 m}

Base canonica di m,l,

R = = = =

(JJ 1, -14 3 13

+ W,

allora l, scegliamo l" W, l" W

= = = =

+ 14 , 13 , 14}

{Il lz - lz , è una base.

1 O O O)

6 6 ~ ~ il

det 1 O ~ sono linearmente indipendenti perchè det O

= 1= 1=

( -1 O O 1 +

3 - Trovare una base di U V:

+ + +

n

dim(U V) dim(U) dim(V) - dim(U V) 2 2 - 1 3

= = =

+

Il teorema di Grassmann dice che una base di U V è ottenuta estraendo una

ci

n

base di U V a una base di U e una base di V e poi prendendo l'unione

insiemistica di queste due basi. Nel nostro caso:

(JJ n

base di V che può essere completata a base e di V cosi:

W = U U

v.l

Base di U {W, µz} Base di V {W,

= =

+

Base di U V {w, µz, vtJ

=

Esercizio - sottospazi vettoriali (è sottospazio? , trovare sottospazio)

3

Si considerano in R i seguenti sottoinsiemi: HD l

1

R Y O} W R O}

3 3

I I

+

V 2x - 3z span{ ( ~ x - 2z

= {(~) = = = { (~) =

E E

Wl Wz

1 - Dimostrare che V e W sono sottospazi vettoriali

Def: Un sottoinsieme T è un sottospazio vettoriale di un sottospazio vettoriale U se:

+

tl tz E T tz E T

v

\ft

{ T R T

'I

Àt E E t E

'lÀ

W è un sottospazio vettoriale per definizione, determiniamo quindi V:

G:) GD +

Zx, (i

Sia V, V, T.C. 3z; O 1,2)

= = -y; = =

+

Xl XZ)

+ + + + + + +

Allora Vl Vz Yl YZ ~ 2(Xl xz) - (Yl yz) 3(Zl zz) O O O

= = =

( +

Zl Zz ÀX1)

Inoltre se R allora V =

E Yl ~

À À À

l ( À Zl

3 3

2 - Trovare un sottospazio S di R T. C. VElìS WElìS R

= =

Def: Un sottoinsieme T è un sottospazio vettoriale di un sottospazio vettoriale U se:

3 3 3

dim S dim R dim V dim R dim W 3 - 2 1 ~ S Span(s} s R

= = = = = = (~) E

- -

ft.

s V quindi 2x + 3z * Y

{ ft.

e se s W quindi x + 2z * O

G) 2'1+3'0*0 è giusto quindi:

Proviamo a prendere s quindi

= { 1+2·0*0

n n

Allora S V S W (O)

= = n

~ dim(VElìS) dim(V) + dim(S) - dim(V S) 2 + 1 - O 3

= = =

~ similmente dim(WElìS) 3

=

3

Quindi VElìS WElìS R

= =

Esercizio - matrice (endomorfismo, dim Kerf - Imf, base Kerf - Imi)

3

Sia f l'endomorfismodi R rappresentato rispetto la base canonica della matrice:

2 k k- 1)

(

A O k - 1 O M (R)

= E 3,3

1 2 k

Determinare dim Kerf, dim Imf e rispettive basi.

1)

2) Esistono valori di k per i quali f è suriettiva e/o ignettiva?

1,2 - Risolviamoli insieme 3

Il teorema della dimensione dice: dim Imf + dim Kerf dim R 3 ci dice che

= =

f è iniettiva se e solo se f è suriettiva; ed è suriettiva se e solo se f è invertibile.

Inoltre f è invertibile se det A * O

kZ

detA 2(k - 1) . k - (k - l)Z - 1 le cui radici sono k ±1

= = =

f è iniettiva e/o suriettiva se e solo se k ±1 inoltre:

=

r; r;