Algebra e Geometria - Spiegazione delle Tipologie di esercizi

BASE del Kerf e Imf x+z )

!y_ +

3 4

Es) Data f: R R l'applicazione lineare definita da: z

f (;) 2y

=

~ (

z x+y+z

a) determinare una base di Kerf e di Imf il

- Scrivo la matrice A associata al sistema lineare e riscrivo sitema uguagliando a O ogni riga

X {X

+ +

O z O z O

= =

2y O Y O

= =

2 + +

{

-2 2y z O x z O

= =

X -

1 x+y+z=O x+z=O

(iJ

(~z) o vanno bene entrambi ma bisogna sceglierne solo uno.

il il

- Ho uguagliato sistema a O perchè Kerf indica i valori di x, y, z che fanno risultare

(O)

f( ~)

-z

il sistema O, cioè: = ~

_ Utilizzando (~z) si può ricavare una base di Kerf

BKerl{(~l)l

1 ~

z = + il

3 è numero di variabili (x, y, z) dim B 3 - 1 2

- dim B dim B 3 = =

= 1mf

Kerf 1mf

- essendo dim B 2 prendo le prime 2 colonne di A per creare la B

=

1mf 1mf

{(~H

B'm' ~2)}

= il

determinare i valori di h uali vettore V artiene a Kerf

=

b)

°

1 METODO (consigliato)

- sostituisco i valori di V nel sistema di partenza e risolvo il sistema:

+ +

h 1 2 O

=

Y= O {h + 3 = O ~ h = - 3

h+1+2=0

{ h+1+2=0

2° METODO (consigliato)

il

- calcolo rango della matrice che ha come prima riga V e come seconda la B Kerf

+

h 1 O 2) 2

=

(

P -1 O 1 il

- elimino la colonna con 2 zeri e calcolo determinante di ciò che rimane

h + 1 21 = h + 1 + 2 = O h =-3

I -1 1

DIAGONALIZZABILITA'

k O)

o

(

Es: 2) A 1 1 O p(A) 3

= =

3 O 1 k

a) discutere al variare di nei reali la diagonalizzabilità della seguente matrice

G ~ D . G ~ Dl

il

_ trovare la matrice A _ lÀ e suo determinante [lÀ À

= =

k- O O)

À

(

A - lÀ 1 1- À O detA - lÀ (k - À)(l - À)(l - À)

= =

3 O 1-À

- uguaglio il determinante a e trovo i valori che fanno annullare l'equazione

O 3

(k _ À)(l _ À)(l- À) O À k, À 1, À 1 À{~

= = = =

k k

- ora si considerano i casi al variare di e per ogni valore dato a si provano tutti i valori

di (che in questo caso sono 2 cioè k e 1)

À À{~

k 1, 1

= =

À k-À O O) (O O O)

O O O

= = A- = ~ 1

p(A - lÀ) =

1-À 1

=

V(À) V(l) lÀ ( O 3 O O

1-À

- E' diagonalizzabile se: n - p(A - lÀ) annullamenti di À n ordine matrice

= =

- gli annullamenti di À sono il numero di O presenti sulla diagonale della matrice A - lÀ

1 = 2 = =

non diagonalizzabile per k

In questo caso: 3 - 3 ~ 3 ~ è 1

À{~

k;" 1, 1

=

À O

k-À O) (k - O O)

À

0=100 p(A - lÀ) 1

=

1-À

V(l) lÀ

= A - = ~

( 1-À 3 O O

O diagonalizzabile per k 1

In questo caso: 3- 1 2 ~ 2 2 ~ è

= = 1=

b) dato k O determinare una matrice diagonale simile ad A e relativa matrice diagonalizzante

= ÀG

k=O, À=O

V(O) O

- creo la matrice e ne risolvo il sistema associato ponendo le righe =

(k - O O) (O O O) ( x )

À

V(O) = 1 1 - O = 1 O O {~ : R

=~x ~ -x x E

À

O 1- O O

3 3 -3x

À

ÀG

k=O, À=l

-1 O O) (O)

(

V(l) {x O ~ ~ y, z R

= ~ ~ ~ = E

{G).GHDJ

_ Utilizzo la base canonica con V(O) e V(l) ottenendo

{(;;).GHDJ {G).GHDJ

V(O) V(l)

= =

G)

_ Unisco V(O) e V(l) togliendo i ed ottengo:

O O)

1

-1 1 O

B = ( -3 O 1 TIPOLOGIE DI ESERCIZI

Regola di Cramer (3x3):

In un sistema con 3 equazioni e 3 incognite:

+ +

ax by cz = j

+ + fz

dx ey k

=

{ + + l

gx hy iz =

Può essere scritto come prodotto fra matrici:

[~~~H~l

[~l

= l

Se la matrice 3x3 ha determinante diverso da O, il sistema ha una sola soluzione (x,y,z):

a j ~l

Cl b

a j

b

j k

k det d e

det d

k f

det e [ [

[ ~l g h l

[= ~ z [a Cl

y = b

x = [~~ =

det d e

det d e ~ det d e ~

g h g h

g h

l l

Trovare Parametri Direttori di una retta:

X - {X -

y + 2z - 1 = O y = 1 - 2z

{

r ~ r

2x + y - z + 3 = O 2x + Y = z - 3

1- 2z -11

z - 3 1 1 - 2z + z - 3 -z - 2

1 I~ 3 3

~11

=

X l 1-2zl

I 2 z- 3 z - 3 - 2 + 4z 5z - 5

I~

y= ~11 = 3 = 3

2 1

x=----t 3 3

5 5

r{ y=--+-t

3 2

z=t

Parametri direttori: ( - ~, ~, 1) ~ (-1,5,3)

Invertire matrice (quadrata):

2 -5 1)

(

Data A= O 2 -1 trovare A-l

O O 3

il (N)

1) Calcolo determinante di A e la sua trasposta

O D

~s

A' 2

det(A) 12

= = ( -1

2) Applico complemento algebrico:

Cl,l = + det (!1 ~) = 6 ~ cancello riga '1' e colonna '1' il

~ indici di C (1 e 1), sommati danno un numero pari quindi metto + davanti al det

(-5 O) ~ cancello riga '1' e colonna '2'

Cl,2 = - det 1 3 = 15 il -

~ indici di C (1 e 2), sommati danno un numero pdisari quindi metto davanti al det

15

A'=G 6 D

O 1 15 1

6 15 3 - - -

- -- 2 12 4

12 12 12

C 15 1 1

6 2

3) A-l = O D=

6 =

O O

1 - -

- -

det(A) O 2 6

12 12

O 4 1

O O O O

- -

12 3

metodo) Sistemi lineari al variare di

1 kER

o +

2 ky 2

x =

kx+2y=k

{ ky+kz=k 2 k O)

1) b=(D -k(k2

( det(A) = - 4)

A k 2 O

= O k k

k(k2

2) - - 4) = O ~ trovo le 'radici' ~ k=0,2,-2

Sappiamo quindi che il sistema ammette una sola soluzione quando k 0,2,-2

1=

1 (2 k -k (2)

O))

2

(

3) L'unica soluzione è data da A-lb = - k(k2 _ 4) ~~2 !/k 4~ k ~ =

2

1 ( 4 k - k (1)

3 )

2 20

- k(k - 4) 2 k2 _ 2 k + 4 k _ k = L

3

4) Restano da studiare i casi k = 0,2, -2 nei quali il sistema può ammettere o no soluzioni.

G) è \fk

però, soluzione del sistema R (compresi k 0,2, -2)

=

E

G) G)

+

è

Ogni altra soluzione quindi del tipo: = (~)

a) a

{2 k b O

+ =

( b è soluzione del sistema omogeneo associato ad cioè: k a + 2 b = O

A,

c kb+kc=O

5) Sostituiamo i 3 valori di k nel sistema, e otteniemo le rimanenti tre soluzioni generali:

1: k = O ~ a = O, b = O, c E = ( ~ )

R ~ (~ : ~)

l+c l+c

l-b) (l-b)

2: k = 2 ~ a = -b, bER, c = -b ~ 0+ b = b

( l-b l-b

1 b) (1 b)

+ +

(

3: k = -2 ~ a = b, bER, c = -b ~ 0+ b = b

l-b l-b

metodo) Sistemi lineari al variare di k

2 R

0 E

+ +

3 x 2 Y k z 11

=

2x-6y-3z=0

{ kx+4y+2z=7

11) (3 2 k ) 2

b = ~ A= ~ ~6 -;3 det(A) = 6 k + 2 k - 8

( 4

k2 k 1

6 + 2 k - 8 ~ trovo le 'radici' ~ = -- 3' 4

k 1

il 1= --

Sappiamo quindi che sistema ammette una sola soluzione quando 3'

L'unica soluzione è data da A-lb = ... (calcolare collo Metodo)

4 il

Restano da studiare i casi k = -"3,1 nei quali sistema può ammettere o no soluzioni.

3X+2 +Z=11

Y

x - z

1: k 1 ~ 2 6 Y- 3 O

= =

{ x+4y+2z=7

+ x - z

(III) (II) 3 2 Y - 7

= =

(III) + (II) + (I) = 6 x = 18 ~ x= 3

Sostituisco la x trovata in (III) e (II):

(III) = 3 + 4 Y + 2 z = 7 ., 3 + 4 Y+ 2 z = 7 cioè 4y+2z=4

ClOe

(II) = 6 - 6 Y - 3 z = O 4 - 4 Y- 2 z = O

Y ~

z = 2- 2 z dipende da y R

E

~ ) è soluzione.

( 2-2y 4z

3x+2y--=11 +

3 x z

9 6 Y - 4 33 ( I )

=

2x-6y-3z=0 2x-6y-3z=0 II

{

4x -4 x + 12 Y + 6 z = 21 III

--+4y+2z=7

3

+

(I) - (II) 7 12 Y- z 33

= x =

(I) - (II) - (III) = llx - 7 z = 12

(I) + (II) = llx-7z = 33

4

Con k = -"3 non esistono soluzioni.

Metodo di Gauss (con "specifiche"): Xl + x2 + 2 x3 + x4 = t

m = 4 equazioni 2 Xl + 2 X2+ 3 X3+ 3 x~ - Xs = -t

Sistema lineare con n = 5 incognite Xl + 2 X2+ 3 X4- 2 Xs - t

{ Xl + X2+ 3 X3+ 5 Xs = -t

Al variare di t E R ~1)

t) (1 1 2 1

b A 2 2 3 3

= =

-t

t -2

1 2 O 3

( 1 1 3 O 5

-t o 1 1 1 1

2 2

O t) O t)

-1 -1 -1

-t -3t

1

2 3 3 O

C

(II) = (II) - 2 (I)

(Alb) = -2 t -2 t

O 3 O 3

2 2

5 -t 5 -t

1 1

3 O 3 O

1 1

2 O t)

-1

-1 -3t

1

O ~ (II) (III