Algebra e Geometria - Schema/Diagramma delle Definizioni

A

{l'insieme quoziente, considerando la divisione di interi per 2, sono le classi [0], [1]} tutti gli elementi di A che mediante f, sono equivalenti ad a . Si indica con [a].

∈ S si dice Sostegno della struttura algebrica (S;*1,…*n). 2) h H , a A si ha che a · h H , h · a H

∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈

L’insieme quoziente è l’insieme di tali classi di equivalenza. { Esempio: A = {708, 2325, 329, 324, 42, 7502, 2, 29, 3} f = prima cifra iniziale uguale Anello { (A;+) Gr. abeliano, (A; · ) Semigr., distridutiva }

Se considero f(324) avrò che [324] = {324, 329, 3} } Una struttura algebrica (A, +, · ) è un anello, se + e · sono operazioni interne ad A per cui:

- (A;+) è un gruppo abeliano; {operazione + è commutativa} Sottoanello { Chiuso rispetto + , · }

Relazione di equivalenza Semigruppo { op. interna associativa } - (A; · ) è un semigruppo; {(A; · ) gode di proprietà associativa} Se (A, +, · ) è un anello e B A allora B è un sottoanello di A, se le operazioni +, · sono interne in

Una relazione binaria R su un insieme A è un sottoinsieme di A x A. ⊆

Gruppo quoziente { [a][b] = [ab] = [c] } Un semigruppo è una struttura algebrica (S;*) con * operazione interna associativa. - x, b, c A

∀ B e B è un anello rispetto a tali operazioni.

Una relazione di equivalenza è una relazione binaria riflessiva, simmetrica e transitiva tra Un gruppo quoziente è formato dalll'insieme delle classi di equivalenza, ricavate da delle x ( b + c ) = (x · b) + (x · c) {distr sx} Proprietà distributiva del prodotto rispetto

elementi di un insieme A e valgono le seguenti proprietà: congruenze. ( b + c ) x = (b · x) + (c · x) {distr dx} alla somma.

x ~ x x A Le congruenze sono relazioni di equivalenza che però mantengono l’operazione del gruppo quindi

∀ ∈ A è il sostegno dell'anello.

x ~ y implica y ~ x x,y A deve valere che: a R b e c R d allora (ac)R(bd) implica che: [a][b] = [ab] = [c]

∀ ∈ Monoide { elemento neutro }

x ~ y e y ~ z implicano x ~ z x,y,z A Esempio: congruenza “resto modulo 3”.

∀ ∈ Anello commutativo { Op. · commutativa }

Un semigruppo (S;*) dotato di elemento neutro si dice monoide. {(N;°) è monoide con l’elemento Se l’operazione · è commutativa, l’anello A si dice commutativo

neutro 1 . (N;+) non è monoide} Anello unitario { Op. · , Elem. Neutro }

Un anello è unitario se esiste l’elemento neutro rispetto a · (che è l'elemento 1).

Sottogruppo { ≠ * interna, gruppo }

∅,

Sottogruppo Generato { < W > } (G;*) è un gruppo; H G {H è un sottoinsieme}. H è un sottogruppo di G se valgono le Gruppo { ogni elemento simmetrizzabile } Dominio d’integrità { a ≠ 0, b ≠ 0 → a · b ≠ 0 }

⊆

Il sottogruppo generato da W (che è sottoinsieme di G), è il sottogruppo più piccolo tra quelli che seguenti proprietà: Un monoide (G;*) è un gruppo se ogni suo elemento è simmetrizzabile. Se A è un anello commutativo allora A è un dominio di integrità se accade che:

contengono W (si indica con <W> ) - H ≠ Un gruppo G è una struttura algebrica (G;*) dotata di una op interna * t.c. : a · b = 0 → a = 0 oppure b = 0

∅

Se un elem. di G è generato dal prodotto di elementi di W allora tale elemento <W>

∈ Corpo { Elem. Invertibile }

- a,b H , a*b H {operazione * interna ad H} − * associativa: equivalentemente:

∀ ∈ ∈

N.B.: Ogni elemento x genera un sottogruppo ciclico < x >. Un anello unitario, si dice corpo SE ( A – {0}; · ) è un gruppo quindi se ogni elemento ≠ 0 di A , è

x-1 !

∀!g , g , g !!!!!!!g ∗ g ∗ g = g ∗ g ∗ g a ≠ 0, b ≠ 0 → a · b ≠ 0.

- x H si ha che H ! ! ! ! ! ! ! ! !

∀ ∈ ∈ invertibile. {B è dominio di integrità e il suo sottoinsieme B-{0} è stabile rispetto alla

− elemento neutro u: moltiplicazione}

∃!u ∈ G ∶ ! ∀g ∈ G!!!!!!!!!!g ∗ u = u ∗ g = g!

− ogni elemento è simmetrizzabile:

! ! !

∀g ∈ G!!!∃g ∈ G ∶ !!g ∗ g = u = g ∗ g!

-1

Sottogruppo Normale { gh g € H }

Gruppo ciclico {(N;+) non è un gruppo; (Z;+) è un gruppo }

Dato un gruppo (G;*) e H sottogruppo di G, H è detto sottogruppo normale se: Campo { Op. · commutativa }

Un gruppo G si dice ciclico se un elemento g G (g è il generaore) tale che G è l'insieme:

∃ ∈ ∀g ∈ G,!!!!!!gH = Hg! Un corpo si chiama campo se il prodotto · è anche commutativo.

n

(notazione moltiplicativa) delle potenze ad esponente intero di g: G = {g : n Z }

- cioè le classi laterale sinistra e destra coincidono.

∈ Campo: (A; +) si dice campo se valgono le seguenti proprietà:

(notazione additiva) dei multipli: G = {ng : n Z}

- Se H è commutativo, H è sempre un sottogruppo normale.

∈ Gruppo abeliano { op. commutativa } ! !

{!!è!! !"#. !"!!"!#$%&", ! + !! ∙ !!"#"!!"!!"#$!!ℎ!!!"!!"##"$"!!"#$%&'&!!"#! !"#!$%$}!

Classe laterale destra : La classe laterale destra di H in G è rappresentata dal sottoinsieme:

1 2 3 Se l’operazione * è commutativa, il gruppo (G;*) si dice abeliano.

{ Ad esempio: G ={ e,g ,g ,g } allora G è ciclico } - (A; + ) è commutativo ( abeliano con elemento neutro 0)

!" = {!ℎ! ∶ !ℎ! ∈ !!}!!dove!, ! ∈ !!è!il!!laterale!destro.! - ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {associativo}

Il sottogruppo <g> (generato da g) coincide con G → G = <g> Classe laterale sinistra : La classe laterale sinistra di H in G è rappresentata dal sottoinsieme: - a + b = b + a {commutativo}

Ordine di < S >: l’ordine di un sottogruppo generato è il minimo numero naturale n per cui: !" = {!!ℎ ∶ !ℎ! ∈ !!}!!dove!, ! ∈ !!è!il!!laterale!sinistro.! - 0 + a = a + 0 = a {elemento neutro 0}

n

a = e (notazione moltiplicativa)

- -1

- Deve valere che: gh g € H g G h H

∀ ∈ ∀ ∈ - a + a' = 0 = a' + a {elemento simmetrico}

na = e (notazione additiva)

- - (A - {0}; · ) è commutativo ( abeliano con elemento neutro 1)

Se l'ordine è infinito allora n non sarà mai uguale ad e. - ( a · b ) · c = a · ( b · c) {associativo}

- a · b = b · c {commutativo}

- 1 · a = a · 1 = a {elemento neutro 1}

-1 -1 -1

- a ≠ 0 a : a · a = a · a = 1 {elemento simmetrico}

∀ ∃

Struttura algebrica { ( S ; * , … , opn ) }

1 - La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma. {distributivo} Autovalore, Autovettore

Data f endomorfismo, esistono:

Forma Bilineare { f: VxW → K }

Spazio Vettoriale { (V;+) Gr. abeliano, (A; · ) Monoide, Distridutiva } Omomorfismo (di Gruppi) { f (a*b) = f (a)°f (b) } un vettore v V , v ≠ 0 → autovettore

-

Si dice forma bilineare su due spazi vettoriali V e W, un applicazione bilineare sul campo K:

Sia K un campo. Uno spazio vettoriale su K è una struttura algebrica ( V; + ; · ) con l'operazione ∈

E' un tipo di funzione applicata a dei gruppi, che preserva le operazioni. uno scalare λ K → autovalore

-

f: VxW → K che associa a v V e w W lo scalare f(v,w) K

interna + {vale per elementi interni alla struttura} e di un’operazione esterna · {vale per elementi ∈

∈ ∈ ∈ Dati due gruppi (G;*) e (H;°) , una funzione f : G → H è un omomorfismo se f (a*b) = f (a)°f (b) T.C. f(v) = λv

Devono valere le seguenti proprietà di linearità:

della struttura ed esterni (moltipl per uno scalare) }, detta moltiplicazione esterna con operatori in Vettore v autovettore associato a λ ; λ autovalore associato a v :

! ! + ! !, ! = ! ! , ! + ! ! , ! !!!!!!!!!!∀v , v ∈ V!!!!!!!!!∀w ∈ W!

K, tale che: ! ! ! ! ! !

! !!, ! + ! = ! !, ! + ! !, ! !!!!!!!!!∀w , w ∈ W!!!!!∀v ∈ V! Se v è un autovettore allora esiste un unico autovalore v ad esso associato.

-

N.B. : 0 V. { vettore nullo}

∈ ! ! ! ! ! !

! !!!, ! = ! !, !!! = !!! !, ! !!!!!!!!!!!!!!!!∀v ∈ V!!!!!∀w ∈ W!!!!!∀a ∈ K! Autospazio: per ogni scalare λ (autovalore), il sottoinsieme V di V è un sottospazio vettoriale

+:! !!!!!! !! !! vettore ∗ vettore → vett !! V; + !è!un!gruppo!abeliano:! -

! λ

Se V e W coincidono, si dice “forma bilineare su V”. Applicazione lineare { f(u+v)=f(u)+f(v) ; f (λv)=λf(v) }

−!!!!∀!x, y! ∈ !V!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∶ !!!!x + y = y + x! che si chiama autospazio costituito dal vettore nullo 0 e dagli autovettori associati a λ.

!"#$. !"#"$. !"##$%&"'(:!!!!!!!!!!!!! < w, v >!=!< v, w > !!!!!!!!!!! ∀!w, v ∈ V.! Funzione Lineare: Diremo che f è un’applicazione lineare, ovvero un omomorfismo (valida anche

{ Commutatività tra due vettori rispetto l’operazione interna somma} !"#$. !"#"$. !"#$%!""#$%!&':!!!! < w, v >!= ! −!< v, w > !!!!!! ∀!w, v ∈ V.!

!

−!!!!∀!x, y, z! ∈ !V!!!!!!!!!!!!!!!! ∶ !!! x + y + z = x + y + z con dominio ≠ codominio) se sono verificate le seguenti condizioni, per ogni u, v Dominio e per

∈

{ Associatività tra due vettori rispetto l’operazione interna somma} ogni λ K.

∈ Polinomio caratteristico: P(λ) = det(A – λ I)

−!!!!∃!0 ∈ V!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∶ !!!!x + ! 0 = 0 + x = x!! 1) f ( u + v ) = f ( u ) + f( v ). {Morfismo} Endomorfismo Esempio: P(λ) = det(A – I) = (1- (λ-1) (λ-1) annulla due volte P(λ)

{ Elemento neutro rispetto l’operazione interna somma con un vettore è il vettore nullo} 2) f ( λv ) = λ f( v ). λ λ) λ=1

L'endomorfismo è un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale in se stesso.

Vettore

−!!!!∀!x ∈ V!!!!∃ − x ∈ V!!! ∶ !!!!x + −x = −x + x = 0! E' una ennupla di numeri v = (v ,v ,v ,…,v ) Sia f:V→V [endomorfismo di V (spazio vettoriale su K)] , B={v ,v ,…,v } [base di V] ,

1 2 3 n 1 2 n

{ Simmetria di un vettore rispetto l’operazione interna somma } A M (K) [matrice che rappresenta f rispetto a B] Allora si ha:

∈