Algebra e Geometria, prof. Nicotera

Trovare il rango di una matrice

Esiste una matrice A. p(A) = c se A ha un minore di ordine c ≠ 0

A = 1 -10 37 14

p(A) = ?

λ 1 -10 3

det(1 - λ -10 3 - λ) = (λ - 1) (λ - 3)3 ≠ 0

p(A) = 2

Iniettiva, suriettiva, biettiva

• Iniettiva ⇔ eliminati distiniti
• Suriettiva ⇔ l’immagine di f è il codominio

Definizioni

• f è un monomorfismo ⇔ f è lineare e iniettiva ⇔ Ker f = {0}
• f è un epimorfismo ⇔ f è lineare e suriettiva
• f è un isomorfismo ⇔ f è lineare e biettiva
• f è un endomorfismo ⇔ dominio = codominio ⇔ f: V → V

Trovare il rango di una matrice

1. Cerca una matrice A, p(A)=2 se: A ha un minore di ordine ≠ 0. Tutti i minori di ordine zero hanno sing./ordine solo minori di ordine tale sono ≠ 0.

Inizia sotto senza calcolo

A=¹/₁¹/₁0 33 7(A)=-1 20 3det (A-λI)=3 λ-1λ

λ=1

Iniettiva

f diversa dagli elementi distinti e se f(x)=f(y)=f(x)f λ(x≠y)

Suriettiva

L'immagine di f è tutto il codominio  dim Mf e il codominio è f

Biettiva

f iniettivo e sullo con f suriettiva – f

Definizioni

• f è un monomorfismo ⇒ f lineare e iniettiva ⇒ ker f={0}
• f è un epimorfismo ⇒ f lineare e suriettiva
• f è un isomorfismo ⇒ f lineare e biettiva

X Se f ^codominio→ f _V≠Vf≠ r(min)(x)=f(min)(εp mx+r 3)

Re calcoli maglie col metodo dei 3x3

Se f iniettiva

Se f suriettiva

f è un endomorfismo codominio=dominio f:∀ V≥V precedenza ^orBiETIVA su ^man

Dipendenza lineare di un sistema di vettori

Sia V uno spazio vettoriale, S = {v₁, ..., v_n} un sistema di vettori. Considero la matrice A = [v₁, ..., v_n].

Se l’insieme è indipendente ⇔ Se es., v_i esposizione di un vettore analogo → S è il pi greco. → Se p(A)=3, quindi p(A₂)3 → sono dipendenti.

A = ( 0 1 3 ) det A = 3 ≠ 0 ( 0 0 2 ) ( 1 0 0 )

Teorema di Rouche-Capelli

Un sistema si definisce risolto in forma numerica se p(A)=m (A=matrice incompleta, m=incognita). Ogni sistema risolto in forma numerica è compatibile cioè: p(A)=p(A').

Se il determinante incognito ausiliare D=m detto anche ausiliare è incompleto, again comp → c ≠ 0 → T meno moli

Kramer → Si Kersell, alla mostra mancante ≠ 0 il sistema di Kramer p(A)=p=[b]

Ogni sistema di Kramer è risolto in forma numerica e quindi è compatibile → il numero di soluzioni (d=nderivòz) b○ forma di queste → accanto b.

Dipendenza lineare

= Vettore nullo o 2 vettori uguali

V uno spazio vettoriale R = {v₁, ..., v_n}.

Se l’insieme è dipendente ⇔ Il vettore nullo si può ottenere come combinazione lineare dei vettori di S S= {v₁, ...} ⇔ 0 = t₁v₁ + ... + t_nv_n.

⇔ ∃ t₁, ..., t_n ∈ R non tutti zero. ∃ D = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_mv_m.

• Se 0 ∈ S ⟹ è dipendente. Infatti: se v₁=0 • 1v₁+0v₂ +0v₃ + 0v₄ = v₄ ⟹ 0.
• Se vi sono due vettori uguali ⟹ è dipendente. Infatti: se v₄=v₂ → b • v₃ + 10v₄ = v₄.

Dimensione di uno spazio vettoriale

La dimensione di uno spazio V è data dal numero di vettori che compongono una base di V.

Per una qualsiasi applicazione lineare dimKer(f) + dimKer(f) = dimIm(f).

Sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale U≤VW è un sottospazio se:

• 0∈W
• ∀x,y∈W x+y∈W
• ∀y∈W k∈ℝ k⋅y∈W

Oppure W un sottospazio se: W≠∅∀x,y∈ℝ e ∀u,v∈W α⋅u+β⋅v∈W

Se ℝ²={(x,y):x,y∈ℝ},∈ℝ: x,y≥0 e x+y=4

W={(x,y)∈ℝ: x=y}{0,0}∈W se x=0, allora b={0,0}, dunque ∈ W(x,x)∈W (y,y)∈W(x,y)∈W d∈ℝ d(x,y)∈W

L'insieme S delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un SOTTOSPAZIO

U∩W={v∈V:v∈U,v∈W} è un sottospazio, U∪W non è sottospazio

∪ insieme di vettori comuni

U∪W={(x,y)∈ℝ ²: x≤3, 2y+4≥0, 2x-y≤0)}

U∩W={5/3,1,2,2,1 ∈x∈ℝ}

U⊕(U∩W)=VU∪W sottospazio se: verso di u e d, d∈WU,W sottospazi di V, U∩W sottospazio

U∪W={(x,y)∈ℝ²: x=0 ∨ (0,1)∈y∈ℝ

U∪W = {(x,y) ∈ ℝ : x=0 ∨ y=3}

U∩(U∩W)=sottospazio, U(W= sottospazio)

Sottospazio congiungente

U=W ¬(a^→,a,a=2)

U∩W=5y, 2+x, y, |z∈z,y,x,t∈ℝ

Il sottospazio congiungente è il p.ci che il sottospazio di V che contiene V e W→V(U∩W)→U⊕W

Combinazioni lineari

Sia V uno spazio vettoriale su R oppure C

S = {v₁, v₂, ..., v_n} un sistema di vettori

L'insieme delle combinazioni lineari dei vettori S: (cioé polinomiali)

L'insieme delle combinazioni lineari è il più piccolo sottospazio V che contiene S

SL(U, W) = U + W

Sistemi di generatori

Sia V uno spazio vettoriale su R o su C, W sottospazio di V.

S è il sistema di generatori di W se (W = L(S))

Considero un elemento generico di W

Scrivo questo elemento in componenti

Ricerco quanti insiemi generano il generico γ

Dimostro che W = L(S), cioè che tutti i vettori appartenenti a W (che soddisfano le due condizioni)

U = { (x,y,z,t) ∈ R⁴ : 2y + z = 0 }

U = { 2y,2,4y,2t, t) ∈ R⁴ }

Determinando S di R⁴ : L(S) = U

Elementi generatori: (2y, -2y, 4y, 2t), (lo scriviamo in matrice)

(2y, 4y, 0, t) + t(2, 0, 2t, t), (0, 0, 0, 0)

(4y, 2t, 0, 0) = t(4, 2, 0, 0) + t(0, 0, 0, 4)

S = [ (2, 4, 0, 0), (4, 0, 4, 0), (0, 0, 0, 1) ]

(U ⊆ L(S))

(2, 1, 0) ∈ U

Soddisfa la (1, 4, 1, 0) ∈ U (0, 0, 0, 0) ∈ U

Loro x - 2y + z

Prodotto righe-colonne tra matrici

A = [a₁₁, a₁₂, a_1n; a_r1, a_r2, a_rn]

B = [b₁₁, b₁₂, b_1r; b_r1, b_r2, b_rr]

C = AB = [somma di prodotti sulle righe di A e sulle colonne di B]

Determinante di una matrice

• m = 1: det(a₁₁) = a₁₁
• m = 2: det(a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁
• m = 3: det(a₁₁, a₁₂, a₁₃; a₂₁, a₂₂, a₂₃; a₃₁, a₃₂, a₃₃)
• det = 0: Se la somma

Proprietà dei determinanti

• Se A ha una riga nulla, detA = 0
• Se A ha due righe o due colonne uguali, detA = 0
• detA^T = detA
• Il det. di una matrice triangolare:
• Se ottengo B con p scambi (p righe o colonne), allora detB = (-1)^pdetA
• Se ottengo B con k righe (colonne), allora detB = k detA
• Se ottengo B con r righe (colonne), allora detB = r detA
• AB = BA: detAB = detA * detB
• Se detA ≠ 0, allora A è invertibile

Invertibilità e inversa

Se detC ≠ 0 allora esiste C^-1

C^-1 = ₁/_detC C^t_c

C =

_{0 1 3 2 5 0 0 0 3}

det = 3 ⋅ (1 ⋅ 3²) − 1 ⋅ 4 ⋅ (0 ⋅1 ⋅ 2) = −6

C^-1 =

_{+5 0 0+3 0 0+1 0 3⁻¹}

C^-1 =

_{-6^-1 ⋅ 1 0 1⁄31 1 6⁄30 0 3⁻¹}

C ⋅ C^-1 = _{1 0 00 1 00 0 1} = I_mm

Risoluzione sistemi

Rendo la matrice a scala mediante elem. di riga.

Ri ↔ Rj

Ri → k ⋅ Ri... + Rj

Rendo poi la matrice a SCALAR mediante elem. di riga.

Ri VERIFIRi + Ri → Ri

Riscrivo il sistema verifico che numero di soluz. sia uguale a num. delle righe

1. [2x − y − 3z = 2]
2. [3x + 2y − 2 + 3t = 0]
3. [3 ⋅ 3 y + 3z − 2 = 0]

R_{3 → R3 + R2}

2⋅3−0 = 12 − 42

R_{3 → R3 + R2 + R3}

3 + 2x − 1 = 0

R₃ → 3^-1 + R₂+3 ⋅ 2 =1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 1 3 = 13

− x 2 − 3 = 0

Domande "teoriche"

Dimostrare che ∩ è un sottospazio

• Siano e sottosp. di . Posso considerare ∩ = {∈: ∈ e ∈}
• 0∈∩ sottosp. di ➡ 0∈ sottosp. di ➡ 0∈ 0∈∩ = ∩≠∅
• Siano ,∈∩ (∈∩∈),∈ ➡,∈ sottosp. di ➡ +∈ sottosp. di ➡ +∈➡+∈∩

Quindi, essendo ∩≠∅ e essendo + ∈ ∩ allora ∩ è un sottospazio

Dimostrare che + è sottospazio

• Siano e sottosp. di . Posso considerare + = {+: ∈ e ∈}
• 0 sottosp. di ➡0∈ sottosp. di ➡0∈ 0∈+∀1,2∈+V.d.siamo 1∈ e 1∈2: 2: 2∈ e 2∈

(1+1)+(2+2)=(1+2)+(1+2)∈(+)

3. ∀,∈=0+2=(+)0∈∩

Quindi invece , +∈ℎ(+)e allora + è sottospazio

Dimostare che () è un sottospazio

Esiste il vettore nullo - 0=01+02+0=0∈() armoniche - =1+22̀ =: : ∉

Base di uno spazio vettoriale

1. Considero uno spazio V
2. Parto dal sistema di equazioni
3. Verifico che tutti i vettori ...
4. Ora considero la matrice di un'applicazione ...

A. _{200 001 001 0} rank (A) = m = n - liberamente ...

Nucleo e immagine di f

• Nucleo - Ker(f) = {x ∈ V | f(x) = 0 } ⊂ V
• Ker (f) = {(x,y,z,t) ∈ R⁴ | (x,y,z,t) ∈ {(0,0,0,0)} }
• Immagine - Im(f) = {f(x) ∈ W | x ∈ N_f}
• Im(f) = {(y,z,x) ∈ R³ | ... }

Lo stesso, la dimensione dell'immagine ...

Polinomio caratteristico, autovalori, molteplicità & autospaio di un'applicazione lineare

1. Det f: V → V
2. Ricavo una base di V (ex canonica) ...
3. Matrice con matrice in colonna
4. Ricerca il polinomio caratteristico ...

P(λ) = det | 22 5 -25 | ...

Trovo p(x) = 0 ...

V₂ = soluzioni ...

ρ = 2 dimV₂ = 3 - 2 = 1 ...

V_n = {x,y,z | ... }

Endomorfismo diagonalizzabile + base semplice (+matrice)

f è diagonalizzabile ↔ esiste base con n. vett. prop propri + il numero di ripet. De m.a > 1 ogni blocco J. Coincide.

Quindi, l'applicazione delle seguenti funzioni è diagonalizzabile.

Per determinare le base semplici occorre trovare basi dei singoli autozeri e unire:

Nel caso V₃ = {x₁ S.x₂; x₃, x ∈ ℝ}

BASE = {(1, 4, 5), (0, 1, 0, 5, 1)}

V₂ = {x₁; x₁ x ∈ ℝ}

BASE = {1, 4, 4}

BASE SEMPLICE: B: {ρ2, (1, 0, 5), (0, 5, 4), (1, 4, 1)}

La matrice diagonale è costruita degli autovali esulla diagonale principale.

M = [3 0 00 -3 00 0 2]

Monomorfismo ↔ Ker f = {2}

Dim. Sia ∅ e Ker f ↔ f(v) = 0 = f(0)

f(u) = f(v) (unicità f iniziata η = 0

Siano η, v ↔ V Verificare f(η) = f(v) = f(η) - f(v) = 0

Retta passante per due punti

1. Considero due punti P0 e Q0
2. Equazioni: x-t=0, y-t=0, z=0
3. Si mettono insieme i simboli delle due equazioni...
4. Dalla equazione trovata scrivo le equazioni cartesiane della retta...

Retta passante per P e parallela a r

1. Dati P e r...
2. Considero m. un m. di r
3. Riscrivo la retta con lo stesso passo di...

Retta parallela o secante (1) + punto di intersezione

1. Date due rette...
2. Una volta trovata l'intersezione calcolo...
3. Per calcolare il punto di intersezione uso solo il sistema di due equazioni...

Piano passante per tre punti

1. Considero tre punti: A, B, C
2. Trovare le matrici...

Una volta ottenuto il determinante si trova l'equazione del piano...