Algebra e Geometria, prof. Nicotera

TROVARE IL RANGO di UNA MATRICE

1. Considera una matrice A. P(A) = E se

• A ha un minimo di almeno 1 ≠ 0
• Tutti gli m.c.p. sono zero
• massimo grado del minimo è di tutti che sono cicli

A = ^{-1 1} _{0 3} ^{7 1/4}

P(A) = ² ₁ ⁰ ₃

1 ≤ P(A) ≤ 2

det (1) = ^{3 0} _{0 3}

P(A) ≥ 2

f INIETTIVA / f SURIECTIVA / f BIETTIVA

f iniettiva ↔ f elimina i disturbi ↔ ∀ x ≠ y f(x) ≠ f(y) ↔ con f ha V f(x) = f(y), x = y ↔ Ker f = {0}

x f: ℝ³ → ℝ³

Ker f = {(x, y, z) ∈ ℝ : x+y+z = 0, x−y+3z = 0, 3x+4z = 0, Kx+(K+1)z = 0}

Se r aggiungiamo ^{1 1 1} _{3 0 4}

x f: ^{1 1 1} _{2 3 4} ³

x ^{det 1 4 0} _{2 0 1} ^{3 4 1}

1A ^{1 0 1} ₀ ^{-1 3} _{-3 k+3}

K ⁰ ₀ ^{k k}

f è iniettiva per ogni K ≠ ±3

f suriettiva ↔ insieme f.p. = titolo dominio ↔ dim ker f = dim codominio f

x f: ℝ³ → ℝ⁴

Im f = ℝ⁴ ↔ dim Im f = 4

f biiettiva ↔ f iniettiva e suriettiva

DEFINIZIONI

• f è un MONOMORFISMO ↔ f è LINEARE e INIETTIVA ↔ Ker f = {0}
• f è un EPIMORFISMO ↔ f è LINEARE e SURIECTIVA
• f è un ISOMORFISMO ↔ f è LINEARE e BIETTIVA

X Se dominionio = codominio (prof: lineare) → f: V → V

f è un ENDOMORFISMO ↔ dominio = codominio ↔ f: V → V ed adesso suona _{una matrice A}

Dipendenza Lineare di un Sistema di Vettori di V

Sia V uno spazio vettoriale, S = {v₁, v₂, …, v_n} un k-sistema di vettori. Considera la matrice A e

• S₁ = {(0, 2, 0, 1), (0, 0, 2, 1), (1, 0, 0, 0, 1)} ≠ A_n
• S₂ = {(1, 3, 5), (1, 2, 0), (3, 1, 0), (1, 0, 4), (1, 1, 1)} = A₂

Ex: ^rk_n = 2 - 1 pia = 2, pi₀ = 5, ^rk_n (A) = A_n quindi S₁ è infetto 3 = sc1 = 2, pi_n = 2 quindi ^rk₄ = 3 chiara la dipendenza Se è linearmente indipendente

λ 013 014 020 100 2-3

= det = (0, 0, 4) - 0 ≠ 0 P(A) = 2, 3 -> S₁ è influsso

Teorema di Rouche-Capelli

Un sistema si definisce risolto in forma numerica se pi(A) = m (A: matrice incompleta, m: equazioni) Ogni sistema risolto in forma numerica è incompatibile cioè pi(A) ≠ P(A)

Se A neuter cancellar (pi(A) - pi(A)) = m determinato centro anche b me m risolve, quindi pi(A) = m => pi(A) = P(A), pi(A²) = pi(A) = il sistema è compatibile

Kramer-Sir: se la matrice mancata ≠ 0 il sistema di Kramer (P(A) - P) è esistente

Ogni sistema di Kramer è risolto in forma numerica è quindi è compatibile 1: centro si verifica in soluzioni (a, b) P = n modi che si verifica P di dipendenza sistema A k si sostiene delle ACTA, ACTA, ACTA colonne di passi in P, questi determinati noti.

Dipendenza Lineare (+ vettore nullo 2 vettori uguali)

Sia V uno spazio vettoriale S, R = { v₁, v₂, …, v_n } Se è linearmente indipendente ⟺ il vettore nullo si può ottenere come combinazione lineare dei vettori S secondo scalar non tutti nulli: ⟺ ∃ d₁, d₂, …, d_n, pe °: a(v = t1v1 ≠ t2v2 + v_n)

Se o 6 5 5 e dipenditu

ripart: se v₄ = 0 - 1v_n+0v₄+0v₅ - 1v₆ = 0

2 ci siamo due vettori regoli + si deppatoria riparti: se v₄ = v₁ + v₂ + 0v₄+0v₅ - 1v₆+v₄v₁v₄ = v₄

Dimensione di Uno Spazio Vettoriale

La dimensione di uno spazio (V) è dato dal numero di vettori che compongono una base di V

→ Se una gelossia applicazione linearsif, dim_v(V) = dim_k F + dim_k F _{dim v, ...ing}

INVERTIBILITÀ e INVERSA

- Se det C ≠ 0 allora esiste C^-1

C^-1 = ₁/^{det C}

Tel che C · C^-1 = Im

CC = ^{1 0 0 0 1 0 0 0 1} = I_m

RISOLUZIONE SISTEMI

1) Rendo la matrice a scala usando le operazioni delle righe

2) Rendo poi la matrice a scala ridotta

3) Risolvo il sistema di eq. usando la matrice a scala ridotta

Sistema bis = soluzioni sistemi di equazioni lineari

Sistema unico KB parametrici esterno ordine: impos. i risultati lineari

Equazione del piano per l'origine ortonormale

Data r₃: x = α; tg t; (x = x₃) y = β tg t z = γ tg t

1. (3): x = 2t y = t z = 2 + 3t

P(0, α, 0) m = u ∧ v = (2, -1, 3) n = x + by + cz + d = 0 2x - y + 3z + d = 0

P(0, 0, 1) ➔ 2(0) - (0) + 3(1) + d = 0 ^➔ d = -3

P₀ (x₀, y₀, z₀) e Q (x₁, y₁, z₁)

Equazione retta PQ: x = x₀ + t (x₁ - x₀) y = y₀ + t (y₁ - y₀) z = z₀ + t (z₁ - z₀)