Algebra e Geometria Lineare

Algebra e Geometria

Davide Mario Solimeo

January 18, 2019

2

Chapter 1

Vettori, matrici e sistemi

lineari n

1.1 Spazi a n-Dimensioni in R

1.1.1 I vettori

Un vettore è una copia di numeri reali associata ad un punto su un piano carte-

sion. ~ ~

Sia quindi il vettore rappresentato, sarà definito come;

OP OP

x

~ =

OP y

~

E con | | si indica la Norma del vettore, oppero la distanza del punto

OP

dall’origine, è possibile calcolarla facendo riferimento a triangolo gen-

x, y

0 0,

erato fra i punti e , calcolando quindi l’ipotenusa che come ovvio

x, y

corrisponde al vettore. ~ p 2 2

| |= +

OP x y

3

4 CHAPTER 1. VETTORI, MATRICI E SISTEMI LINEARI

1.1.2 Operazioni

La prima operazione semplice fra due vettori è la somma, questa può essere

risolta facendo riferimento alla cosı̀ detta Regola del parallelogramma.

x w

Siano e due vettori del tipo = e = la loro somma sarà

v

~ v

~ v v

1 2 1 2

y z

uguale a..

+

x w

+ =

v

~ v

~

1 2 +

y z

graficamente la apparira nel seguente modo..

2

1

0 0 1 2

Per i vettori esistono due tipi di moltiplicazione, Prodotto per scalare e

prodotto scalare.. ~ 2

Per il primo siano ∈ un generico scalare e un generico vettore in ,

λ V

R R

x ~ ~

ovvero della forma , il loro prodotto · o sarà uguale a..

λ V λ

V

y

·

λ x

~ =

λ

V ·

λ y

In poche parole moltiplico per ogni elemento del vettore, ed il risultato

λ

sarà di nuovo un vettore.

Per il prodotto scalare invece il discorso è un pò più ampio, la prima differenza

è che mentre il prodotto per scalare è il prodotto fra uno scalare ed un vettore

il prodotto scalare è prende come termini due vettori e restituisce uno scalare,

~ ~ 2

quindi siano e due vettori in il loro prodotto scalare indicato come

V W R

~ ~

h i sarà..

V , W ~ ~

h i = (x · ) + (y · )

V , W x y

v w v w

N 5

1.1. SPAZI A N-DIMENSIONI IN R

Il prodotto scalare ci fornisce informazioni importanti anche sull’angolo com-

preso fra due vettori, questo è facilmente dimostrabile rimaneggiando legger-

mente la formula del calcolo del prodotto scalare come segue :

~ ~ ~ ~

~ ~ V cos θ W cos θ V sin θ W sin θ

h i = · + ·

V , W W V W V

x x x x

V W V W

~ ~ ~ ~

h i =| |·| | ·[(cos · cos ) · (sin · sin )]

V , W V W θ θ θ θ

W V W V

~ ~ ~ ~

h i =| |·| | · cos

V , W W V ω

Graficamente possiamo notare come da tale formula, oltre ad un modo alter-

nativo per ricavare il prodotto scalare, ci permette induttivamente di ricavare

l’angolo compreso fra due vettori..

Dalla formula quindi si può ricavare l’angolo compreso..

~ ~

h i

V ,

W

cos =

ω ~ ~

| |·| |

V W

~ ~

h i

V , W

= arccos

ω ~ ~

| |·| |

V W

L’angolo sarà uguale all’arcoseno del rapporto fra il prodotto dei due vettori

fratto il prodotto delle norme dei due vettori.

p 2 2

| |= +

v x y

p 21 2

| |= +

w x y 1

·x)+(y ·y)

(x

√

√

1 1 2 2

2 2

( x +y )·( x +y )

1 1

6 CHAPTER 1. VETTORI, MATRICI E SISTEMI LINEARI

1.1.3 Vettori nello spazio

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano possiamo mettere in cor-

3

rispondenza biunivoca i vettori dello spazio con l’insieme , che descrivelo

R

spazio. 2

1

0

1 0 1 2

2

3

3 3

= (x, ∈

y, z)

R R

n o

~ ~

3

∈ | (x, ∈

V y, z) V

R p 2 2 2

= (x, | |= + +

~v y, z), ~v x y z n

Esiste un insieme di vettori che definisce qualsiasi spazio , tali vettori

R

n

vengono definiti versori di e sono;

R

     

0 0

1

0 1 0

= , = , =

î ĵ k̂

     

0 0 1

sono moduli ordinari che seguono il verso degli assi del piano.

1

0

0 0 1

1 N 7

1.1. SPAZI A N-DIMENSIONI IN R 3

1.1.4 Operazioni sui vettori in R

Le operazione fra vettori mantengono le stesse proprietà indipendentemente

dallo spazio vettoriale in cui ci troviamo;

Somma + = (x + + + )

~v w

~ x , y y , z z

v w v w v w

Prodotto per scalare  

λx

~ = λy

λ V  

λz

Prodotto scalare

· + · + ·

h~v = =| || | · cos

x x y y z z

, wi

~ ~v w

~ ω

v w v w v w

  

 x

x 1

e w = , il loro prodotto

Dati due vettori v = y y

Prodotto vettoriale 1

  

 z z

1

vettoriale, · detto anche v vettor w è un vettore tale che;

~v w,

~

~ ~

1. | |=| || | · sin

V x W ~v ~v ω

~ ~

2. | | → è perpendicolare al piano

V x W = (y − ) + (x − ) + (x + )

~v x w

~ z y z î z x z ĵ y x y k̂

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1

8 CHAPTER 1. VETTORI, MATRICI E SISTEMI LINEARI

1.2 Matrici

Una matrice nxm, n-righe e m-colonne, è una tabella numerica che esprime una

funzione che prende in input un k-insieme numerico, fissato e si indica come

M di elementi i,j dove ≤ e ≥ e indicano gli indici, degli elementi

i n j m

nxm

all’interno della matrice. 



m m

1,1 1,j 



M =

nxm 

 

 m m

i,1 i,j

1.2.1 Operazioni

Date N,D ∈ M allora la loro somma N + D è la matrice R tale che r

nxm nxm i,j

= n + d

i,j i,j    

n n d d

1,1 1,j 1,1 1,j

   

N = + D =

nxm nxm

   

   

n n d d

i,1 i,j i,1 i,j

 

+ +

n d n d

1,1 1,1 1,j 1,j

 

R =[N+D] =

nxm  

 

+ +

n d n d

i,1 i,1 i,j i,j

La somma di due matrici quindi è uguale ad una terza matrice avente come

entrate la somma degli i,j-esimi element delle matrici sommate.

1.2.2 Moltiplicazione per uno scalare

Dati uno scalare e una matrice M , sia una matrice aventi

λ λM λm

nxm nxm i,j

entrate;  

λm λm

1,1 1,j

 

M =

λ· nxm  

 

λm λm

i,1 i,j

Casi particolari di Matrici

1. n = 1 → vettore riga

2. m = 1 → vettore colonna

3. n x n → matrice quadrata

4. n = m = 1 → numero 9

1.2. MATRICI

1.2.3 Prodotto fra matrici

Date due matrici M e N il loro prodotto M · N è una matrice R ∈ M

nxn nxm nxm

le d entrate saranno definite come;

i.j n

P

{ · | (1 ≤ ≤ ∧ (1 ≤ ≤

m n i m) j m)}

i,k k,j

k=1

quindi; 

 

 n n

m m 1,1 1,j

1,1 1,j 

 

 = D

x

M x N = nxm

nxn nxm 

 

 

 

 m m n n

i,1 i,j

i,1 i,j

Proprietà

1. Il prodotto fra due matrici è ammesso se e solo se il numero m di colonne

du una matrice è uguale al numero n di righe dell’altro

2. Le matrici quadrate, per ragioni di dimensioni sono le uniche elevabili a

potenza    

m m m m

1,1 1,j 1,1 1,j

2    

[M ] = ·

nxm    

   

m m m m

i,1 i,j i,1 i,j

che è traducibile come; 2 n 2

P

[M ] = m

nxm i,k

k=0

1.2.4 Matrice trasposta Tmxn la sua trasposta, le cui entrate

Sia M una matrice, chiameremo M

nxm Tj,i

saranno m .    

m m m m

1,1 1,j 1,1 i,1

   

Tmxn

M = → M

nxm    

   

m m m m

i,1 i,j 1,j i,j

La trasposizione gode di alcune importanti priorità;

T T T

1. (N+M) = N + M

T T T

= N M

2. (N·M) T T

3. Se M = M , allora M è una matrice quadrata, allora M si dice matrice

simmetrica rispotto alla diagonale

10 CHAPTER 1. VETTORI, MATRICI E SISTEMI LINEARI

1.2.5 Determinate di una matrice

Ad ogni matrice quadrata M , a coefficienti reali, è possibile associare un

nxn

numero detto determinante, generamentel il determinante viene indicato come

detM.

Il determinante di una matrice è riconducibile a quello di una matrice M di

rango inferiore, adottando un approccio ricorsivo.

• Sia M una matrice quadrata tale che n = 1 allora il determinante della

matrice sarà; detM=m m

i.j 1,1

• Sia M una matrice quadrata tale che n ∈ ∧ 0, allora il detM sarà;

n >

R

 

m m

1,1 1,j

 

M =

nxn  

 

m m

i,1 i,j

1 2

detM = detM + detM

n−1·n−1 n−(n−1)·n−(n−1)

1 2

Dove M ed M sono due sotto matrici, prodotte dalla cancellazione riga

per colonna all’interno della matrice, definita come complemento alge-

brico dell’elemento m -esimo. Dove il determinante di ogni sotto matrice

i,j

n è uguale alla differenza fra il prodotto del primo elemento

(n−1)x(n−1)

della prima colonna per il secondo elemento della seconda colonna e il

prodotto del secondo elemento della prima colonna e il primo elemento

della seconda 11

1.2. MATRICI

1.2.6 Regola di Sarrus

La Regola di Sarrus è un altro modo per calcolare il determinante di una matrice,

sia M una matrice quadrata 3x3, il suo determinante sarà, secondo la regola di

Sarrus, calcolabile in 2 passaggi;

1. si ricopiano le prime due colonne fuori dalla matrice..

 

m m m m m

1,1 1,2 1,3 1,1 1,2

M = m m m m m

2,1 2,2 2,3 2,1 2,2

 

m m m m m

3,1 3,2 3,3 3,1 3,2

2. Il determinante sarà uguale alla somma del prodotto fra le tre diagonali

1 2

principali di ogni sotto matrice derivata [M, M ,M ] meno la differenza

del prodotto di ogni diagonale secondaria di ogni sotto matrice

detM = (m · · ) + (m · · ) + (m · · )

m m m m m m

1,1 2,2 3,3 1,2 2,3 3,1 1,3 2,1 3,2

−(m · · ) − (m · · ) − (m · · )

m m m m m m

1,3 2,2 3,1 1,1 2,3 3,2 1,2 2,1 3,3

Esistono 6 proprietà che permettono di velocizzare l’operazione di calcolo

del determinante..

1. Se la matrice ha una riga o una colonna nulla, allora il determinante è

nullo

2. Se le righe o le colonne sono vetori linearmente indipendenti, allora il

determinante è nullo

3. Se due righe o due colonne sono uguali , allora il determinante è nullo

4. Scambiando 2 righe o 2 colonne della matrice il determinante non cambia

5. Se ad una rica o ad una colonna si aggiunge una combinazione lineare delle

altr il determinante cambia

6. Se la matrice è triangolare allora il determinante è uguale al prodotto degli

elementi sulla diagonale principale

12 CHAPTER 1. VETTORI, MATRICI E SISTEMI LINEARI

1.2.7 Determinanate di matrici di ordine superiore

Applicando le proprietà [4,5,6] del determinante possiamo manipolare la matrice

di modo che diventi più facile il calcolo del determinante, deando una matrice

triangolare inferiore, prendiamo per esempio una matrice del tipo..

 

  4 1 1 −2

5 1 1 −2 0 −1 1 5

2 −1 1 5  

  I

→ M =

M =  

  0 2 −1 1

−1 2 −1 1  

  0 −4 2 0

2 −4 2 0  

  4 2 −2 1

4 2 1 −2 0 1 5 1

0 1 1 5  

  II

II → M =

→ M =  

  0 0 1 −1

0 0 −1 1 

 

 0 0 0 2

0 0 2 0

Tale metodo consiste nello scambio di righe e colonne a volte opportunamente

manipolate.

1. I) Sostituisco la 1* colonna con la differenza fra la 1* colonna e la 3*

colonna cambiata di segno

2. II) Sostituisco la 2* colonna la differenza fra la 2* ed il doppio della 3*

3. III) Sostituisco la 3* con la 4* colonna

Le mosse ci portano ad ottenere solo zeri sotto al primo elemento ma non

cambia sostanzialmente la matrice, la seconda, come la prima, secondo le pro-

prietà del determinante espresse da Sarrus, non modifica il determinante.

La terza mossa cambia il determinante nel seguente modo..

III

detM = -detM

quindi, dato che, per matrici triangolari il determinante è uguale a..

III

detM = [4 · 1 · 1 · 2] III

quindi il determinante sarà l’opposto del determinante di M 13

1.2. MATRICI

1.2.8 Rango di una matrice

Il rango di una matrice rappresenta il massimo numero di righe o colonne lin-

earmente indipendenti, indicato come ker(M).

{0 ≤ ) ≤

ker(M min(m, n)}

In altre parole il rango di una matrice è l’ordine massimo di un minore non

nullo, dove con minore si intende il determinante di una sottomatrice quadrata

ottenuta intersecando k-righe e k-colonne della matrice primaria.

Sia M una matrice 3x4 con minori di ordine 1, 2, 3..

 

3 2 3 2

II 1 4 1 0

M =  

2 −1 5 9

Si procede calcolando i determinanti di ogni sottomatrice di ordine inferiore..

Determinanti di ordine 2

3 2

1. det 1 4

4 1

2. det −1 5

Determinanti di ordine 3



 2 3 2

4 1 0

1. det 



−1 5 9

Quindi una matrice M ha un rango k se

nxm

• Esiste un minore di ordine K

• Non esiste minore di ordine K+1, se esistono sono nulli

• Se trovo quindi un minore di ordine p non nullo, allora il rango è maggiore

uguale a p

1.2.9 Teorema degli Orlati

Affinchè una matrice M abbia una rango K è necessario che valgano le 2

nx,

seguenti proprietà;

• Esiste un minore di ordine K non nullo

• Sono nulli tutti i minori di ordine K+1 ottenuti da precedente orlando la

corrispondente sottomatrice con una qualunque altra riga o colonna

14 CHAPTER 1. VETTORI, MATRICI E SISTEMI LINEARI

1.2.10 Algoritmo di Gauss

Una matrice si definisce ”a scala” o a gradini se;

1. Le eventuali righe nulle si trovano in basso nelle ultime righe

2. Al di sotto del rimo elemento non nullo di una riga e sotto tutti gli elementi

uguali a zero che lo precedono ci sono zeri

 

2 0 1

1

0 4

 

0 0 3

In una matrice a scala il primo elemento non nullo di una riga è detto pivòt,

ciò significa che il numero di pivòt è ugale al numero di riche non nulle, e di con-

seguenza riduecendo una matrice a scala, il numero di pivòt è uguale al rango

della matrice..

Per ottenere una matrice a scala si procede analogamente al calcolo del de-

terminante per matrici di ordine superiore, ovvero si manipola la matrice in

modo tale da portarla alla forma da noi desiderata.. 15

1.2. MATRICI

1.2.11 Matrici inverse ed invertbili

−

Si definisce matrice inversa M di una matrice M, una matrice, se esiste, che

moltiplicata per M dia come risul