Algebra e Geometria

Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21

I prodotti scalari sono rappresentati da matrici simmetriche. Una matrice simmetrica rappresenta un prodotto scalare.

A ϕ B V (K )

Chiaramente, la matrice dipende dalla forma e da una base fissata di .nB ?

Come cambia la matrice al variare della base

Supponiamo di avere due basi

B = (e , . . . , e )1 nB

′ = (e′ , . . . e′ )n1 A B A′

Calcoliamo, data rispetto alla base , come deve essere .u = (u′ , . . . , u′ ) B′, rispetto .n1⇒ u′ , . . . , u′ )

P = (u , . . . u ) B, rispetto .n 1 n1 Pagina 63       fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21

TA′ = PA PDa cui

Questo cambio matriciale ci descrive i passaggi da effettuare.

Le matrici bilineari simmetriche, la trasposta coincide con l’inversa.

PNB: La matrice è una matrice di cambiamento di base e, dunque, invertibile.

V(K )Sia uno spazio vettoriale e ● u prodotto scalare

(=forma bilineare simmetrica).v v ⋅ v = 0

Si dice che un vettore è isotropo per ● se .⊥ |v ∈ V(K ) v v v = x ∈ V v ⋅ x = 0

Dato si legge ortogonale o “ perp” { }.⊥ |X ⊆ V(K ) ⇒ X := v ∈ V ∀x ∈ X : x ⋅ v = 0

Se si de nisce { ]Lemma⊥X ≤ V(K ) è un sottospazio vettoriale⊥vDifatti, dimostrami che è sottospazio, poi poiché siamo a posto.⊥⊥v ∈ v ∀ v ∈ V(K ) .⊥ ⊥ ⊥⊥|v = x ∈ V(K ) x ⋅ v = 0 ⇒ ∀x ∈ v , v ⋅ x = 0 → v ∈ vInfatti, { }⊥ ⊥A ⊆ B ⊆ V(K ) → B ⊆ A l’ortogonalità “inverte” le inclusioni.SianoLemmav ∈ V(K ), w ∈ V(K ) w ⋅ w ≠ 0 ⇒ v v = v + vSia con si può sempre scrivere come . Ove|| ⊥⊥v w v w wè un vettore proporzionale a e è un vettore ortogonale a , cioè un elemento di

.|| ⊥Dimostrazione: Pagina 64 fi ffMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21Venerdì 30 Ottobre 2020→Forme bilineari simmetriche prodotti scalariv, w V (K ) v ≠ w w ⋅ w ≠ 0 ⇒ ∃v , vSiano due vettori di , supponiamo tale che tali che||n ⊥v = v + v v ⋅ w = 0e||⊥ ⊥v = α w α ∈ Rcon|| nKSu si può sempre de nire un prodotto scalare “canonico”b : V (K ) × V (K ) → KSia una forma bilinearen n bsimmetrica. Si dice forma quadratica associata a lafunzione:Prodotto scalare Forma Quadraticax ⋅ y → q(x ) := x ⋅ x→ K = RSupponiamo Pagina 65fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21⋅ : V(R) × V(R) → RUn prodotto scalare è detto de nito positivo se∀x ∈ V(R) : x ⋅ x ≥ 0 ∧ x ⋅ x = 0 ⟺ x = 0| | | |x := x ⋅ x ∈ RIn tale caso poniamo .V(R) V(R) d : V × V

Rdistanza è uno spazio vettoriale. Si dice d una funzione tale che valgano le seguenti proprietà:

1. ∀x, y ∈ V: d(x, y) ≥ 0 & d(x, y) = 0 ⟺ x = y
2. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ V

(V(K)) d: V × V → R è uno spazio metrico.

Uno spazio vettoriale con una distanza è detto Distanza di Hamming (importante quando si studiano i canali di comunicazione).

d(x, y) ≥ 0 & d(x, y) = 0 ⟺ x = y ∀i

NB: H H i i| | | | | d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) i x ≠ z = i x ≠ y & y = z{ } { }i i i i i

Vogliamo ora ragionare su distanze associate a prodotti scalari (definiti positivi).

⋅: V × V → R è un prodotto scalare definito positivo e sia

Teoremi

| | | | u ⋅ v ≤ u ⋅ v

I. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

| | | | u + v ≤ u + v

II. Disuguaglianza triangolare

| | | | v = 0 ⟺ v = 0

Se vale II. + E da questo, usando le

proprietà delle radici quadrate, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)²

2Δ = d(x, y) + d(y, z) + 2d(x, y)d(y, z)

Pagina 66fi fi fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21

u · v ≤ u · vCauchy-Schwarz:

u = 0 ∨ v = 0 ⟹ u · v = 0 ≤ 0 · v = 0

• Se u + αv, v ≠ 0,

• Consideriamo il vettore con

u + αv = (u + αv) · (u + αv) = u · u + α(v · v) + 2uαv ≥ 0 ∀α ∈ R

Δ ≤ 0

Disuguaglianza triangolare: V(R)

Uno spazio vettoriale reale, dotato di un

spazio

prodotto scalare definito positivo, è detto

V(R)

euclideo, che indichiamo con . Pagina 67fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21

A cosa serve una distanza o un prodotto scalare definito positivo

V(R)

Sia uno spazio vettoriale reale dotato di prodotto scalare definito positivo. Una sequenza di

(e , . . . , e , . . .