Affidabilità e controllo della qualità T-A - Appunti

A

1

e t

1 t = λ

0 t = λ

1 1

Per t = , R(t) = ; risulta possibile dimostrare che i valori delle costanti valgono:

λ e

K K K

2 2

= 2 λ = 2 λ = 2 λ

0 1

Zona A: K 2

t

1

K

– t +

0

R(t) 2

= e 1

per t = , z*(t) tende a 0 per la zona A

λ

K K

z*(t) = – t

0 1

K K K K

K K

0 0 0 1

1 1

– + – + – +

1 1 –1

= e = e = e

R( ) e 2

2 2

λ λ λ 2 λ

2 λ 2 λ

λ e

1 1 1

K K K K K K

– = 0 – = 0 – = 0

0 1 0 1 0 1

λ λ λ

K 1 K K

K K K

λ 1 1

0 1 1

– 1 = – + – 1 = – + – 1 = – +

2 2

2 2

λ λ

λ 2 λ

2 λ 2 λ

K 1

K " "

=

0 λ K K K

– 2 +

1 1 K

K

1 2

2 = 2 λ

– 1 = – 1 = – = 2 λ 1

1

2 2

2 λ 2 λ K 2

2 λ

1 K

" " K = 2 λ

= = = 2 λ 0

0 λ

λ

Affidabilità e controllo della qualità T-A – modulo 7 Parametri affidabilistici – Simone Benassi 36

Zona C: K 2

t

–

R(t) = e 2 1

K 2 K K

λ K

– – –

1

1 K 2

–1

2 2 – = 2 λ

R( ) e –1 =

= e = e = e

2λ 2 λ

2 2

e

λ 2 λ

Classificazione dei tempi

MTTF – Mean Time To Failures

tempo medio operativo al guasto.

Detto anche

Definizione generale: valore atteso del tempo operativo fra guasti o, se il componente non è

riparabile, tempo medio fra la messa in funzione e il primo e definitivo guasto.

È definito come il rapporto, per uno specificato periodo di vita di un dispositivo, tra il tempo

cumulativo rilevato per il campione considerato e il numero totale di guasti in esso manifestatasi

durante il periodo specificato, in prefissate condizioni di impiego.

Somma di tutti i tempi in cui ogni componente ha

fornito la funzione richiesta (tempo cumulativo)

MTTF = Numero di componenti guasti

Dove: r t N N t

tempo cumulativo = + [( – ) ]

∑ i 0 g p

i=1

Quindi: r t N N t

+ [( – ) ]

∑ i 0 g p

i=1

MTTF = N g

In termini probabilistici il MTTF è definito come il valore atteso dei tempi di guasto di una

popolazione: ∞

∫

def

MTTF = E{t} = t f(t) dt

0

Dimostrazione:

dR(t) dR(t)

– 1 – 1 dR(t)

z(t) = e f(t) = z(t) R(t) f(t) = R(t) = –

dt dt

R(t) R(t) dt

Andando a sostituire: Un esponenziale fra 0 e ∞, vale 0

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∞

dR(t)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

MTTF = t f(t) dt = – t dt = – t dR(t) = – t R(t) + R(t) dt = R(t) dt

dt

0 0 0 0 0

0

∞ Integrando per parti

∫

MTTF = R(t) dt

Quindi: 0

Affidabilità e controllo della qualità T-A – modulo 7 Parametri affidabilistici – Simone Benassi 37

Calcoliamo ora il MTTF nel periodo dei guasti casuali (zona B) in cui z*(t) = λ:

– λ t – λ t

R(t) = f(t) = λ

e e Un esponenziale fra 0 e ∞, vale 0

∞

∞ ∞ ∞ ∞

– λ t – λ t – λ t – λ t

∫ ∫ ∫ ∫

e e e e

MTTF = t f(t) dt = t λ dt = – – t λ dt = – t + dt =

0 0 0 0

0

Integrando per parti

∞

∞ – λ t – λ t

– 1 – 1 1

∫ e e

= – λ dt = =

λ λ λ

0 0 1

Quindi nel periodo dei guasti casuali il MTTF è una costante pari a (inverso del tasso di guasto λ).

λ

MTBF – Mean Time Between Failures

tempo medio operativo fra guasti.

Detto anche

Definizione generale: valore atteso del tempo operativo fra guasti o, se il componente non è

riparabile, tempo medio fra la messa in funzione e il primo e definitivo guasto.

È definito come il valore medio degli intervalli di tempo fra guasti consecutivi, per uno specificato

periodo di vita di un dispositivo, calcolato come rapporto tra il tempo cumulativo osservato ed il

numero di guasti rilevati nelle condizioni precisate.

componenti riparabili:

Questa definizione è applicabile a non è detto che tutti i componenti

riparabili siano convenienti da riparare.

MTTR – Mean Time To Repair

tempo medio di ripristino.

Detto anche

È definito come il valore atteso del tempo di ripristino.

Quando un componente si guasta, bisogna tenere conto del tempo di riparazione, ossia il tempo in

cui il sistema rimane inoperoso. comportamento di un dispositivo riparabile.

Con riferimento al MTBF e al MTTR vediamo ora il t

Il componente funziona per un tempo , si

f1

t t

f1 f2

sano t

guasta e per ripararlo occorre un tempo .

r1

Nuovamente il componente funziona per un

t

tempo , si guasta e per ripararlo occorre un

f2

t t

tempo , e così via.

r2

t tempo di funzionamento i-esimo

à

fi

guasto t tempo di riparazione i-esimo (in cui il

à

ri

t t

r1 r2 sistema non funziona)

Affidabilità e controllo della qualità T-A – modulo 7 Parametri affidabilistici – Simone Benassi 38

Un componente di guasterà r volte (con r numero di guasti verificati)

à

r

1 t

MTBF = somma dei tempi di funzionamento del componente / numero di guasti

∑ à

fi

r i=1

Non è semplice andare a capire quale sia il componente del sistema che si è guastato.

Inoltre può risultare difficoltoso estrarre il componente guasto, che potrebbe essere molto piccolo

(se si guasta un cip di una scheda madre può risultare conveniente sostituire l’intera scheda madre).

Una volta terminata la riparazione del componente guasto è necessario procedere con un periodo

collaudo.

più o meno lungo di

r

1 t

MTTR = somma dei tempi di riparazione del componente / numero di guasti

∑ à

ri

r i=1 indice di manutenibilità

Il MTTR è detto anche di un componente, cioè di tutte quelle azioni che

ripristinano il funzionamento (manutenzione).

Disponibilità (Availability)

Probabilità che un dispositivo sia funzionante al tempo t in prefissate condizioni di impiego.

La definizione di disponibilità implica che un dispositivo possa anche non funzionare in determinati

periodi: l’affidabilità dei dispositivi riparabili si chiama disponibilità.

MTBF

A = MTBF + MTTR

Le analisi riguardanti i parametri affidabilistici devono essere effettuate congiuntamente dal

progettista, dal produttore e dall’utilizzatore.

Affidabilità di missione

Parte dell’affidabilità che si occupa di valutare l’affidabilità di un sistema a partire da un certo

istante di tempo in poi.

Questa branchia dell’affidabilità nasce durante la seconda guerra mondiale per studiare l’affidabilità

dei mezzi meccanici: per esempio è studiata l’affidabilità di un carro armato dal momento in cui va

in missione, non dal momento della sua costruzione.

f(x) La domanda a cui bisogna rispondere è:

“Un sistema è acceso ma non sta

funzionando. Quando lo metteremo in

funzione, funzionerà?”

x

t t

1 2

Qual è la probabilità fra t e t che il sistema, essendo partito in 0, funzioni?

1 2

Questa non è l’affidabilità di missione:

t

2

∫

G t t t

ed

= F( ) – F( ) = f(t) dt probabilità che il sistema si guasti fra t e t è sano in .

à

12 2 1 1

1 2

t

1

Affidabilità e controllo della qualità T-A – modulo 7 Parametri affidabilistici – Simone Benassi 39

t

ed

L’errore è sottolineato nella condizione il sistema deve essere sano in affinché valga quella

à 1

relazione, che quindi implica che il sistema abbia sempre funzionato fino a quell’istante (ma in

realtà può guastarsi prima).

Siano: t t

B probabilità che il componente si guasti fra e ;

à 1 2

t

A probabilità che il componente si guasti dopo .

à 1

di missione

L’inaffidabilità è: t t t t

G F( ) – F( ) 1 – R( ) – [1 – R( )]

P[BA] 2 1 2 1

12

P[B|A] = = = = =

P[A] t t

P[A] ) )

R( R(

1 1

t t t t t t

1 – R( ) – 1 + R( ) – R( ) + R( ) – R( ) R( )

2 1 2 1 2 1

= = = + =

t t t t

R( ) R( ) R( ) R( )

1 1 1 1

t t

– R( ) R( )

2 2

= + 1 = 1 –

t t

R( ) R( )

1 1 t t dato

L’inaffidabilità di missione così definita è la probabilità che il componente si guasti fra e ,

1 2

t

che è sano in .

1 Supponendo che il componente è

nel periodo dei guasti casuali

di missione

L’affidabilità è quindi: t

– λ

t t

t R( ) R( )

R( ) 2 t t

e – λ ( – )

2 2

2

R e 2 1

= 1 – P[B|A] = 1 – 1 – = 1 – 1 + = = =

t t

t t

t – λ

R( ) R( )

)

R( e 1

1 1

1

Se il componente è nel periodo dei guasti casuali allora la sua affidabilità di missione è

t t – t

indipendente da ma dipende solo da quanto tempo opererà ( ).

1 2 1

Affidabilità e controllo della qualità T-A – modulo 7 Parametri affidabilistici – Simone Benassi 40

8. AFFIDABILITA’ COMBINATORIA

“Si deve progettare per l’affidabilità”.

Già in fase di progettazione di un componente bisogna valutare il tutto in funzione dell’affidabilità

(l’affidabilità nasce in fase di progettazione e ha notevoli costi).

valutazione dell’affidabilità di un sistema

La prevede:

1. Scomposizione del sistema nei suoi componenti elementari;

2. Individuazione delle modalità di connessione dei singoli componenti.

Sotto questo aspetto si possono individuare tre condizioni operative limite fra i componenti

(che non fanno riferimento alla connessione circuitale):

serie;

Componenti