9 Calcolo integrale

Metodi di integrazione: polinomi di grado superiore

Se il grado del polinomio a(x) è maggiore del grado del polinomio b(x):

• Divisione euclidea: restringo il problema dividendo a(x) per b(x) e ottenendo il quoziente q(x) e il resto r(x).

Se il grado del polinomio a(x) è minore del grado del polinomio b(x):

• Divisione euclidea: riconduco il problema a una forma più semplice dividendo b(x) per a(x) e ottenendo il quoziente q(x) e il resto r(x).

Se il grado del polinomio a(x) è uguale al grado del polinomio b(x):

• Utilizzo dei parametri: decompongo il numeratore a(x) in termini di b(x) e trovo i parametri c che rendono il resto uguale a zero.

Metodi di integrazione: integrazioni per parti

Utilizzando la regola di derivazione:

• Dati due funzioni f(x) e g(x), calcolo la derivata di f(x) e la primitiva di g(x).

Teorema della convergenza (funzioni illimitate): sia DER O d Ocoeeseconvergeimpropriol'integrale b 1asediverge

Dimostrazione: È 11 finito nella1a afi IC lulla In5 b a 00Finzione non e divergentiintegrabile a1bÈ ftp.xidxa fine p.fi a1aabMb aea aaab altri Funzionea 1osaise convergenteFinzionea1 00 ase non integrabile1 e divergenti

Teorema delle funzioni non negative (funzioni illimitate): b Rinasia 0f negativaai nonfremianeAllora dx èFG regolare divergeovvero o convergeo

Dimostrazione: FlaIftp.f fesdxgnam ep.fI.ufFCM ff.phFGTQuesto ricorda daintegralela fenianaproprio xefa.itVt'GderivabileFG 0è e fax bè èpoiF f omentocrescente me positiva sesempreAnne Feidemente1) Criterio di integrazione delle funzioni illimitate: confrontoRSiano taleD continue cheaf g btxt sottoEffy0ftp.flx egli Iaifigli 00 eese guidi alloraaneeeffglxidxcanuerg .seconvergebgcxidx Sbagli didiverge allora avere divergeDimostrazione: fafaiEla EY bfu Hpe

glip feo comeEf manatdi teoremadiFGoe gg 10000tagli di dse 7W le2) Criterio di integrazione delle funzioni illimitate: confronto asintoticoR taleSiano b continuef ai cheg fai bOHEquifuftp.flxt ffnfglx too fqsngeypeex.seIglxIdxaneeeffglxidxcanuerg .sealloraconvergebgcxidx didiverge allora anne divergeDimostrazione: b e oganga fine IIxpa e11teso txt b 8 Ebte e 178 O prendevaE1 1 fE ee moltiplicare0 dunquema g possomembriiambo cambiaresenza segnocomoditàE fix ee quiprendo glipernell'Icio b 8vale solo l'integrale sima comportamodi 8b8Dnello binsianocolmava uaa8 seICE allora fixgli lo avevafaconvergecomeDe nizione: convergenza assoluta => convergenza semplicecontinuasia IRb è integrabileatrocementeessaf ai èR ossiaintegrabileb1ft quandoquando adx integrabilitàintegrabilità11411 converge amuleto semplice3) Criterio di integrazione delle funzioni illimitate: convergenza assolutakDsiano ècontinua arcolatomenesea integrabileffallora

integrabileAnne è semplicementealloraOssia Mld fondise convergex coverageDimostrazione: integrabile11411Hp e convergevaYa staseraIIIIµvu se Il fai Rtbcon1 18 Egli cantinecome costruzionefnotiamo sano eenon negative perè relacianiimediatee valgono questefa.isIn ftxselfcxyeftxseecxyttxpiù fil ceiterio1per sonodel integrabili poichéconfronto CHIIfCHI GIf4 cantinef Ee8 e0 en diAttraverso i FIfini somma lo èdunque offende ggcheposero integrabilidxxfff.CNfix dxdidi G poiché18411 I'G f convergentip dell'Ifaggi linearitàdi Peefix84 line didipass eidxIifnfiaIEmIFIpuianefgciuffi dx.fip b è cavergenteOss!: tutti questi teoremi valgono per gli integrali con estremi (a;b]Esempi: It'effe egessoÈ da1 0 E84 42e0,13 senxe.is aiefase convergenteI criterioe È fineathedi2 I Nonse 271fu o integrabile91 Inimicodivergente faI o INte InizioI3 dx Selex 171se ase 2 2divergeso d 1dase