Esercitazione 9 Statistica e calcolo delle probabilità

Esercizio 6

Siano U e V due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme in [0, 1]. Siano X = max(U, V) e Y = min(U, V). Determinare la distribuzione e la densità di X e Y. Il vettore aleatorio è detto uniformemente distribuito sulla regione del piano se, per qualche costante c, la sua densità congiunta vale: f(x, y) = c, se (x, y) è nella regione, altrimenti f(x, y) = 0. Mostrare che l'area della regione R è 1/c. Si supponga che (X, Y) sia uniformemente distribuito sul quadrato centrato in (0, 0) e con lati di lunghezza 2. (A) Mostrare che X e Y sono indipendenti e, entrambe, distribuite uniformemente su (-1, 1). (B) Calcolare la probabilità che (X, Y) cada nel cerchio di raggio 1 centrato nell'origine, ovvero calcolare P(X^2 + Y^2 ≤ 1).

Esercizio 8

Due numeri sono scelti indipendentemente e uniformemente a caso nell'intervallo [0, 1]. Calcolare la probabilità che la loro somma sia maggiore di 1/2. Inoltre, calcolare il valore atteso e la

varianza della somma. La densità congiunta di e èX YEsercizio 9 ( y-(x+1 ) ≥ ≥e x 0, y 022f (x, y) =X,Y otherwise.0• Determinare se and sono indipendenti e calcolareX Y E[XY ].• Calcolare Var(2X -+ Y 1).• Calcolare Cov(X -+ Y, X Y ).• Calcolare {min(X,P Y ) > 2}Siano e , rispettivamente, la coordinata orizzontale e verticaleX YEsercizio 10di un punto scelto uniformemente a caso nel rettangolo con vertici(0, 0), (2, 0),and12 12(0, ) (2, )• Calcolare la probabilità che Y > XPag. 2 di 3• Calcolare la probabilità che sia al massimo 1Y 4• Calcolare la probabilità che sapendo che1Y < Y > X4• Determinare E[X]• e sono indipendenti?X Y La densità congiunta di e è data daX YEsercizio 11 6 xy2f (x, y) = (x + ) 0 < x < 1, 0 < y < 27 2(A) Verificare che si tratta di una densità;(B) Calcolare la marginale di X.(C) Determinare {X }.P > Y(D)

Determinare 12 12{Y |X }.P > <(E) Determinare E[X].(F) Determinare E[Y ]. Pag. 3 di 3