8 trasmissione del calore

T

3 stabile, e siano quindi dotate di una

temperatura locale.

L’insieme dei valori della temperatura

T locale di parti infinitesime del corpo

2

z materiale formano un campo scalare

detto campo di temperatura

T

1 T ( x , y , z , t )

y

x 4

La densità di flusso termico

La densità di flusso termico è un campo vettoriale che esprime il

trasporto di calore attraverso un materiale. Sia S una qualsiasi superficie

n all’interno di un dato materiale

S ( )

solido, liquido o gas e

sia n il versore normale ad S.

òò ·n =

q dS Q

S

=

Q potenza termica che

=

q densità di flusso attraversa la superficie S

termico; è un campo vettoriale nella direzione del

é ù

W

ê ú versore n [W]

2

ë û

m 5

La legge di Fourier

La legge di Fourier esprime la proporzionalità tra il vettore densità

di flusso termico ed il vettore gradiente di temperatura

= - ÑT

q k Matematicamente,

k è una quantità

scalare sempre

DT positiva

= -

qx k Dx

k è una proprietà termodinamica del

mezzo materiale che prende il nome di

conduttività termica

La conduttività termica si misura

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)  

W

 

in m K

  6

La legge di Fourier stabilisce che il trasporto di calore attraverso un corpo

materiale è causato dalla disuniformità del campo di temperatura.

DT

= -

q k Dx

x DT

= - ÑT = -

q k q k Dy

y DT

= -

q k Dz

z

Non ci può essere trasporto di calore attraverso un mezzo materiale

se il campo di temperatura all’interno del materiale è uniforme,

DT DT DT

, ,

ovvero se le tre quantità sono tutte nulle.

Dx Dy Dz 7

DT

= -

q k Dx

x DT

= -

= - ÑT q k

q k Dy

y DT

= -

q k

la costante di proporzionalità è Dz

z

negativa: il calore fluisce nel verso

in cui la temperatura diminuisce

 

T T

calore 8

6 Trasmissione del Calore

Conduzione:

regime stazionario 9

Regime stazionario.

La conduzione termica è in regime stazionario se il campo di temperatura

all’interno del corpo solido non varia nel tempo. In regime stazionario,

l’energia di qualunque sottosistema all’interno del corpo solido non può

variare nel tempo. n



T dU

   V

0 0



t dt S 10

Superfici isoterme.

n q =

n versore normale

=

s versore tangente

s

La densità di flusso termico 

T costante

è perpendicolare ad una

superficie isoterma

il flusso termico normale ad una

superficie isoterma è uniforme sulla

superficie isoterma. 11

Siano S ed S due superfici isoterme all'interno

1 2

del corpo solido e V la regione di spazio compresa

tra S ed S .

1 2

n

2 S

2 Equazione di bilancio



T T dell’energia in regime

2 stazionario

n

S 1

1



T T

1 V 12

adiabatico Dall’analogia elettrica tra la conduzione

termica in una parete piana e la conduzione

elettrica in un resistore, si può formulare la

k definizione di resistenza termica.

T T -T

1 2 T K

=

S S 1 2

Q [R]=

R W

-T

T L

= =

1 2

R Q kS

L

adiabatico circuito elettrico equivalente

   

V

T T V

1

1 2 2



-T V V

T 

= 1 2

I

1 2

Q k S R

L 13

Parete piana multistrato e resistenze termiche

adiabatico in serie. -T

T

= 1 ab

k k R

a b a Q

-T

T T T

=

1 2 ab 2

R

b Q

S S resistenza

-T

T

Q 

+ = = R

termica

1 2

R R

a b Q totale

L L

= + = +

a b

R R R

a b k S k S

L

L a b

b

a 

T Q

T ( x ) 

L kS

T la pendenza è

1

adiabatico T inversamente

ab proporzionale

T

ab

 



T T alla conduttività

T

1 2 2

L L

 

a b   

R R x

a b 

0

k S k S L L L

a b a a b 14

adiabatico Parete piana multistrato e

resistenze termiche in serie.

k k

k k

1 n

2 3 resistenza

termica

Q totale

n n L

 

L L L

L   i

R R

2 3 n

1 i k S

 

i 1 i 1 i

adiabatico

 

  



R R R R

1 2 3 n 15

adiabatico Parete piana multistrato e resistenze termiche

in parallelo. -T

T

L

k = = 1 2

R R

a a a

k S Q

a a a

S -T

a T

L

= = 1 2

R R

b b

k S Q

b b b

æ ö

-T -T ( )

T T 1 1

= + = + = + -T

1 2 1 2

Q Q Q T

ç ÷

è ø

a b 1 2

R R R R

T T a b a b

L

1 2 -T

T

= 1 2

Q R

S R R

1 1 1

b = + = a b

R +

R R R R R

k a b a b

b

adiabatico Generalizzazione per n strati in parallelo

R n n kS

1 1

 

a   i i

  R R L

T T  

i 1 i 1

i

1 2

R

b 16

7 Trasmissione del Calore

Convezione: la legge

del raffreddamento di

Newton

[alcune delle figure riportate in queste slide sono tratte dal volume:

Y. A. Çengel, Heat Transfer: A Practical Approach, McGraw-Hill] 17

 

La convezione  

Q h S (

T T ) W

È il processo di trasmissione del calore 

nei materiali fluidi (liquidi o gas). 

h coefficiente di convezione



S area di scambio termico

Al contrario di quanto accade nella 

T temperatura della superficie calda

conduzione, il flusso di calore nella 

convezione è associato ad un campo di T temperatura indisturbata del fluido



moto del fluido.

Convezione forzata

Il campo di moto ha cause puramente

meccaniche, indipendenti dal processo

di trasmissione del calore (è dovuto ad

un ventilatore, o ad una pompa, … )

Convezione naturale

Il campo di moto è dovuto alla disuniformità della temperatura del fluido ed al

fenomeno di galleggiamento delle parti di fluido più leggere (più calde) rispetto

alle parti di fluido più pesanti (più fredde). 18

Legge del raffreddamento di Newton. éë ùû

= -T

Q h S (T ) W

¥

Q é ù

= = -T 2

q h(T ) W m

ë û

¥

S

h = coefficiente di convezione

L = lunghezza di riferimento

k = conduttività termica del fluido

Il numero di Nusselt rappresenta la

hL

 

Nu numero di Nusselt forma adimensionale del coefficiente di

k convezione. 19

Moto interno, moto esterno. Si ha moto interno quando il

fluido scorre dentro un condotto,

cioè dentro un dominio con

sezione trasversale al moto

limitata.

Si ha moto esterno quando il

fluido scorre all’esterno di un

corpo solido, cioè quando il

dominio spaziale accessibile al

fluido ha una sezione trasversale

al moto virtualmente infinita.

moto esterno di aria intorno ad un condotto,

moto interno dell’acqua dentro il condotto 20

Moto laminare, moto turbolento. Si ha regime laminare quando un

colorante iniettato nel campo di moto

del fluido segue un tracciato

corrispondente ad una traiettoria

regolare .

Quando il colorante subisce la

diffusione perdendo ogni

localizzazione spaziale, si parla di

regime turbolento.

In regime turbolento il campo di

velocità ed il campo di temperatura

subiscono fluttuazioni temporali di

natura statistica 21

Lo strato limite dinamico.



u 

 u



Quando un fluido lambisce un corpo solido, la velocità del fluido tende a zero

all’interfaccia tra fluido e solido (aderenza alla parete).

La regione di spazio in cui la velocità varia da zero (all’interfaccia) fino al 99% della

velocità indisturbata è detta strato limite dinamico. 22

La regione di spazio in cui la velocità varia da zero (all’interfaccia) fino al 99% della

velocità indisturbata è detta strato limite dinamico.

 

u u

 d

 = spessore dello strato

limite dinamico



u

 Sviluppo dello strato limite dinamico intorno ad una lamina piana e diversi regimi di moto. 23

La posizione x nella quale inizia la transizione da moto laminare

cr

a moto turbolento è determinata dalla condizione

u x

  

 5

cr

Re 5 10 ,



cr 

dove u è la velocità indisturbata del fluido che lambisce la lamina.

 

u

 24

Lo strato limite termico. La regione di spazio in cui

Si consideri una corrente fluida con 

velocità indisturbata u e temperatura T T

  

s

0 0.99



indisturbata T , che lambisce una T T

  s

parete solida alla temperatura T . è detta strato limite termico.

s d = spessore dello

t

strato limite termico 25

Nel moto dentro un condotto, la velocità



u 0 media deve essere tale da garantire la

stessa portata in massa che si ha nel

reale profilo di velocità. Quest’ultimo è

u non uniforme sulla sezione del condotto,

max a causa del fenomeno di aderenza alla

parete.

u Si assume che il moto sia a densità

m costante (incomprimibile).

La portata in massa, in regime stazionario, deve essere la stessa in tutte le



u S costante

sezioni del condotto. Pertanto .

m

In un condotto a sezione costante, la velocità media è la stessa in tutte le



u costante

sezioni .

m 26

Nel moto dentro un condotto, anche la

temperatura media deve essere tale da

garantire lo stesso flusso di energia termica

che si ha nel reale profilo di temperatura.

Quest’ultimo è non uniforme sulla sezione

del condotto, a causa della differenza di

temperatura tra parete e fluido interno.

La temperatura media è anche nota come

temperatura di bulk.

Il flusso di energia termica che attraversa le varie sezioni S di un condotto è

variabile da sezione a sezione per effetto del calore scambiato con l’ambiente

esterno attraverso la parete del condotto.